题设新定义：区间值域配对与局部等式存在

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新名称的含义由题面规定。先辨认量词、区间是否允许单点以及输入合法性，再用已有的单调、方程和换元方法解决；端点等式成立不等于整段值域已经证明。

一、知识点概念与依据

1. 先把临时名称翻译成已有条件

题设称某函数为“高斯函数”“闭函数”或“局部反比例对称函数”，这些是本题专用名称，不能按其他领域的同名概念推断。逐字列出定义要求：是全定义域单调，还是只要求某一段单调？是存在一个输入，还是任意输入？区间必须有长度吗？

“存在 $x$ 使 $f(1/x)=-f(x)$ ”只是一个方程有合法解，不是全域恒等，也不是通常奇偶对称。确认一个合法解就能肯定；否定则须证明所有合法输入都失败，不能只试一两个点。

2. 单调方向决定输入端点与输出端点怎样配对

设 $a<b$ 、 $t>0$ ，要求 $[a,b]$ 上的值域恰为 $[ta,tb]$ 。若函数严格增，则最小在 $a$ 、最大在 $b$ ，必须同配 $f(a)=ta,f(b)=tb$ ；若严格减，必须交叉配 $f(a)=tb,f(b)=ta$ 。

理由是每个合法输入都夹在两端之间，单调性将全部输出夹在对应端值之间，而 $ta<tb$ 已规定哪一个是低端。不能为方程好解而交换角色。实际区间也必须整个包含于自然域，不能只核部分端点。

3. 两个端点、两个合法根、完整可达范围

端点方程若经过换元，必须同时检查判别式、根和根积、根是否在换元实际范围以及两端次序。题目明确 $a<b$ 时，需要两个不同合法端点；重根、负根、开域端点或禁值不能凑数。相减后约去 $b-a$ 或根差，只能在已知其非零时进行。

但两个正确端值只证明输出的上下界，不保证中间每个数都能取得。一般严格单调函数也可能跳跃。下面对二次、根式和分式用反解给出合法输入，完成值域恰等于整个目标区间的充分证明，不默默给题目添加连续性假设。

4. 未说明非退化时，单点是一种不同读法

若题面只写闭区间 $[a,b]$ ，未说明 $a<b$ ，而又把单点上的单调性视为满足，则 $a=b$ 的情况应另列。单点值域只有 $\{f(a)\}$ ，要求 $[ta,tb]$ 就变为 $f(a)=ta$ 。 $t=1$ 时只需一个不动点 $f(a)=a$ ，不再需要两个不同根。

单点上没有两个不同输入可比较，不能用除端点差的方法覆盖这一支。若两种读法改变答案，应如实标出原题缺少约定，分别回答，不为复现参考答案把未写出的 $a<b$ 冒充题设。本页例02即保留这种歧义。

5. 局部等式先保证两次调用都合法

要讨论 $f(1/x)=-f(x)$ ，须 $x\ne0$ ，且 $x,1/x$ 都在该问的定义域。实数域函数也不能在该等式中取 $x=0$ ；正域函数的正倒数仍在域内。去分母、平方或开根时保留等价条件，单向变形最后筛根。

题目说局部存在，并不会让另一问的普通单调性证明变成只检查一对输入：证明严格增仍须任取两不同合法输入。各小问按各自给定函数处理，不随意继承前问的结论或表达式。

6. 换元范围要正向限制，也要反向恢复

在正域令 $s=x+1/x$ 。由 $(x-1)^2\ge0$ 除以正 $x$ ，有 $s\ge2$ ； $x=1$ 取得等号。任意 $s\ge2$ ，取

x=\frac{s+\sqrt{s^2-4}}2>0,

它满足 $x^2-sx+1=0$ ，故 $x+1/x=s$ 。这才证明新范围恰为 $[2,+\infty)$ ，而非仅给出必要界。利用 $x^2+1/x^2=s^2-2$ 可把四次结构降为二次。

新方程判别式非负只保证实根，不保证某根在 $[2,+\infty)$ 。按顶点与该范围的位置分类，再给一个合法根；最后回换原输入并检验定义。要求只存在一个输入时，闭端 $s=2$ 或新方程重根都可能合法，不要套用“两不同端点”的排除规则。

二、考点方法与例题

方法一：配端点，筛根位置，反解补完整值域

核 $a<b$ 与 $t>0$ ，证明实际区间的单调方向，同配或交叉配。解方程时保留根号、分母和换元范围；反向恢复端点后，再给任意目标输出的合法原输入。未说明非退化，单点另算。

方法二：存在问题只求合法根，但范围不能放宽

定义翻译成方程，先写两输入合法条件；换元证明实际范围，按轴的位置筛合法根，给出回换输入。若否定存在，用配方或根范围排除全部输入；若肯定，明确一个见证即可。

函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为 $D$ ，若满足：① $f\left( x\right)$ 在 $D$ 内是单调函数；②存在 $\left[ a,b\right]\subseteq D\left( a<b\right)$ ，使得 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ a,b\right]$ 上的值域也是 $\left[ a,b\right]$ ，则称 $y=f\left( x\right)$ 为高斯函数．若 $f\left( x\right)=k+\sqrt{x-3}$ 是高斯函数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A． $\left[ \frac{11}{4},3\right]$ B． $\left( \frac{1}{2},\frac{11}{4}\right)$ C． $\left( \frac{11}{4},+\infty \right)$ D． $\left( \frac{11}{4},3\right]$

答案与解析

解析

自然域为 $[3,+\infty)$ ，根号随输入严格增，加 $k$ 不改方向，满足定义的全域单调要求。原题明确 $a<b$ ，端点只能同配 $f(a)=a,f(b)=b$ 。

令 $u=\sqrt{x-3}\ge0$ ，有 $x=u^2+3$ 。不动点方程变成

k+u=u^2+3\iff u^2-u+3-k=0.

非负侧 $u\mapsto u^2+3$ 严格增，所以需要两个不同非负根。判别式 $4k-11>0$ ，根和1，根积 $3-k\ge0$ 。实根、正根和、非负根积共同保证两根非负，故 $11/4<k\le3$ 。

反向取 $u_\pm=(1\pm\sqrt{4k-11})/2$ ，上述范围保证 $0\le u_-<u_+\le1$ 。令 $a=u_-^2+3,b=u_+^2+3$ ，合法且不同，两端固定。任意 $y\in[a,b]$ ，由端点关系有 $y-k\in[u_-,u_+]$ ，于是取 $x=3+(y-k)^2\in[a,b]$ ，就得 $f(x)=y$ 。完整值域条件已验证。

选 D。 $k=11/4$ 只有重根，A 错含此点；B 纳入低于阈值的范围又漏合法3；C 纳入 $k>3$ 的一负根情形。 $k=3$ 对应两根0、1，输入端点3、4，确实允许。

本题结论

D， $(11/4,3]$ 。

例题 02 缩放值域定义中的区间约定

题目

若函数 $f\left( x\right)$ 在定义域内存在区间 $\left[ a,b\right]$ 满足以下条件：①函数在区间 $\left[ a,b\right]$ 上是单调函数；②函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left[ a,b\right]$ 上的值域为 $\left[ ta,tb\right]$ （ $t$ 为常数且 $t>0$ ），则称函数 $f\left( x\right)$ 在定义域内为“闭函数”．

(1)当 $t=1$ 时，证明： $f\left( x\right)={x}^{2}-2x+2\left( x\ge 1\right)$ 为“闭函数”，并求出区间 $\left[ a,b\right]$ ；

(2)当 $t=2$ 时，若函数 $f\left( x\right)=m-\sqrt{2x+1}$ 是“闭函数”，求 $m$ 的取值范围；

(3)若定义在 $\left( 0,2\sqrt{3}\right)$ 上的函数 $f\left( x\right)=\left| x+\frac{12}{x}-8\right|$ 是“闭函数”，求实数 $t$ 的取值范围．

答案与解析

解析

先说明原题歧义。题面未明确 $a<b$ ，原解析却按两个不同端点约差。以下先按非退化区间 $a<b$ 回答完整三问，再列允许单点时的不同结果。不能静默补题设。

（1）非退化区间。 $f(x)=(x-1)^2+1$ 在 $[1,+\infty)$ 严格增。 $t=1$ 需 $f(a)=a,f(b)=b$ ，两端都解 $(x-1)(x-2)=0$ ，所以 $a=1,b=2$ 。全部输出在 $[1,2]$ ；任意 $y\in[1,2]$ 取 $x=1+\sqrt{y-1}\in[1,2]$ ，得到 $f(x)=y$ ，故完整值域确为 $[1,2]$ 。

（2）非退化区间。根式自然域 $[-1/2,+\infty)$ ， $f=m-\sqrt{2x+1}$ 严格减。交叉配 $f(a)=2b,f(b)=2a$ 。令 $u=\sqrt{2a+1},v=\sqrt{2b+1}$ ，则 $0\le u<v$ 。相减得 $v^2-u^2=v-u$ ，由 $v-u>0$ 才能约去，得到 $u+v=1$ 。原方程再给 $m=u^2-u=v^2-v$ 。

因此 $u,v$ 是 $z^2-z-m=0$ 的两个不同非负根。根和1，根积 $-m\ge0$ ，判别式 $1+4m>0$ ，充要条件 $-1/4<m\le0$ 。反向取两根，再设 $a=(u^2-1)/2,b=(v^2-1)/2$ ，两端合法并满足全部原式。 $m=0$ 时允许 $u=0$ ，即 $a=-1/2$ 。

完整值域也可反解：任意 $y\in[2a,2b]$ ，端点式保证 $m-y\in[u,v]$ ，取 $x=((m-y)^2-1)/2\in[a,b]$ ，就得 $f(x)=y$ 。故上述参数充分。

（3）非退化区间。自然域 $(0,2\sqrt3)$ 。分解 $x+12/x-8=(x-2)(x-6)/x$ ，得 $f$ 在 $(0,2]$ 严格减，在 $[2,2\sqrt3)$ 严格增：原 $x+12/x$ 的差为 $(v-u)(1-12/(uv))$ ，在这一整个正域严格负，绝对值过2后变号。跨过2的非退化区间先减后增，不单调。

减段若 $0<a<b\le2$ ，交叉配 $f(a)=tb,f(b)=ta$ 。分别乘 $a,b$ 后相减，得 $(a-b)(a+b-8)=0$ 。因 $a<b$ ，只能 $a+b=8$ ，与两端都不超过2矛盾； $b=2$ 也会给 $0=ta$ ，与 $t,a>0$ 冲突。

增段 $2\le a<b<2\sqrt3$ ，同配 $f(a)=ta,f(b)=tb$ 。两输入都解 $-x-12/x+8=tx$ 。令 $z=1/x\in(1/(2\sqrt3),1/2]$ ，得到

t=H(z)=-12(z-1/3)^2+1/3.

需要两个不同根分别位于顶点两侧。记 $L=4\sqrt3/3-2$ ，它是被排除左端的高度，且 $L>0=H(1/2)$ 。因此必须 $L<t<1/3$ ：上端对应重根，下端使左根落到禁用外端。

反向可直接取 $z_\pm=1/3\pm\sqrt{(1/3-t)/12}$ 。 $t>L$ 保证左根严格大于 $1/(2\sqrt3)$ ；同时平方根小于 $1/3-1/(2\sqrt3)<1/6$ ，故右根小于 $1/2$ 。取 $a=1/z_+,b=1/z_-$ ，得到 $2<a<b<2\sqrt3$ ，两端满足方程。

还需确认中间输出没有缺口。令 $y\in[f(a),f(b)]$ ，则 $0<y<8-4\sqrt3$ 。方程 $8-x-12/x=y$ 的较小正根为

r=\frac{24}{8-y+\sqrt{(8-y)^2-48}}.

此时 $2<r<2\sqrt3$ ：分母小于12给前者，两正根不同且积12给较小根小于 $\sqrt{12}$ 。它满足 $f(r)=y$ ；本段严格增且 $f(a)\le y\le f(b)$ ，所以 $a\le r\le b$ 。完整值域恰为 $[ta,tb]$ ，非退化答案为 $(4\sqrt3/3-2,1/3)$ 。

若允许单点 $a=b$ 。

（1）另外允许 $[1,1]$ 、 $[2,2]$ ，故全部区间为这两个单点及 $[1,2]$ 。
（2）单点只需 $m=2a+\sqrt{2a+1}$ 。令 $u=\sqrt{2a+1}\ge0$ ，得 $m=u^2+u-1$ 。它取遍 $[-1,+\infty)$ ：给定 $m\ge-1$ ，取 $u=(-1+\sqrt{4m+5})/2\ge0$ 即可。因此允许单点后的整体参数范围为 $[-1,+\infty)$ 。
（3）任意 $t>0$ ，取 $a=b=24/(8+\sqrt{16+48t})$ ，就有 $0<a<2$ ，且 $(t-1)a^2+8a-12=0$ ，于是 $f(a)/a=1+12/a^2-8/a=t$ 。所以全部 $t>0$ 都能由单点实现。

原参考答案对应非退化口径；这项缺失约定会实质改变答案，本轮只有知识库正文，不能代称已查原扫描或已获命题者确认。

本题结论

按 $a<b$ ：（1） $[1,2]$ ；（2） $(-1/4,0]$ ；（3） $(4\sqrt3/3-2,1/3)$ 。若允许单点，另按解析三支回答。

例题 03 变换输入等式的合法存在条件

题目

对于函数 $f(x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，满足 $f\left( \frac{1}{x}\right)=-f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为“局部反比例对称函数”.

(1)已知函数 $f(x)=x+\frac{1}{2}$ ，试判断 $f(x)$ 是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由；

(2)用定义证明函数 $f(x)=\frac{1}{x}+x$ 在 $(1,+\infty )$ 为单调递增函数；

(3)若 $f(x)={x}^{2}-2mx+{m}^{2}-7$ 是定义在区间 $\left( 0,+\infty \right)$ 上的“局部反比例对称函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

本题只需存在一个合法 $x$ ，且两次调用均有定义；它不是全域对称恒等式。

（1） $x\ne0$ 下，代入得到 $x+1/x+1=0$ 。乘非零 $x$ 等价于 $x^2+x+1=0$ 。配方为 $(x+1/2)^2+3/4>0$ ，故全部实数输入都不可能；也可用判别式 $-3<0$ 。因此不是局部反比例对称函数。仅尝试某一个输入失败不足以否定。

（2）任取 $1<u<v$ ，

f(v)-f(u)=\frac{(v-u)(uv-1)}{uv}>0.

三个因子符号已明确，所以在 $(1,+\infty)$ 严格增。此问的单调性仍需任意两点证明，并不是前问局部存在的量词。

（3） $x>0$ 保证 $1/x$ 同样合法。定义等式化为

x^2+\frac1{x^2}-2m\left(x+\frac1x\right)+2(m^2-7)=0.

令 $s=x+1/x$ ，实际范围恰为 $[2,+\infty)$ ，正向不等式与反向正根构造见知识部分。由 $x^2+1/x^2=s^2-2$ 得

G(s)=s^2-2ms+2m^2-16=(s-m)^2+m^2-16=0,\qquad s\ge2.

若 $m\le2$ ，轴在允许段左端或左侧，最小 $G(2)=2m^2-4m-12$ 。必须 $G(2)\le0$ ，即 $(m-1)^2\le7$ ，与 $m\le2$ 取交得 $1-\sqrt7\le m\le2$ 。这一范围内 $m^2\le16$ ，且 $16-m^2\ge(2-m)^2$ ，所以较大根 $s=m+\sqrt{16-m^2}\ge2$ ，直接证明充分，无须只凭图线碰到横轴。

若 $m>2$ ，轴在允许段内，最小 $m^2-16$ 必须非正，得到 $2<m\le4$ ；此时同一较大根 $s\ge m>2$ 合法，充分成立。合并为 $m\in[1-\sqrt7,4]$ 。

对每个允许 $m$ ，选上述根 $s$ ，再选 $x=(s+\sqrt{s^2-4})/2>0$ ，逐步等价变形便恢复原定义。下端 $m=1-\sqrt7$ 可取 $s=2,x=1$ ，原 $f(1)=0$ ；上端 $m=4$ 为新方程重根 $s=4$ ，仍给合法 $x=2+\sqrt3$ 。本题只要求一个解，故重根允许，不能套用例01两个不同端点的排除条件。

本题结论

（1）不是；（2）严格增；（3） $[1-\sqrt7,4]$ 。