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外观

向量求线线角与线面角

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同样的数量积比值，一个对应余弦，一个对应正弦。

一、知识点 理解概念

1. 几何角的范围先于数量积运算

两直线所成角取较小角 θ∈[0,π/2]\theta\in[0,\pi/2]；异面直线方向不共线，故 θ∈(0,π/2]\theta\in(0,\pi/2]。直线没有指定朝向，所选方向向量夹角却可以到 π\pi，不能直接照搬。

线面角 α∈[0,π/2]\alpha\in[0,\pi/2]：斜线与其在平面的射影直线所成的锐角为线面角；线在面内或平行于面时为 00；线垂直面时为 π/2\pi/2，此时射影退化为点，不存在射影直线方向。

2. 线线角的余弦为何取绝对值

取两线的非零方向 u⃗,v⃗\vec u,\vec v。任取方向可使向量夹角为较小角 θ\theta 或其补角 π−θ\pi-\theta，其余弦互为相反数。较小角余弦非负，所以

cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣.\cos\theta=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}.

反向选向量只改变点积符号，不改变同一两条直线的角。普通三项坐标点积须在单位正交基底下使用。

3. 线面角用法向分量求正弦

取线的非零方向 u⃗\vec u、面的非零法向量 n⃗\vec n。分解成法向与面内两部分：

u⃗⊥=u⃗⋅n⃗n⃗⋅n⃗n⃗,u⃗∥=u⃗−u⃗⊥.\vec u_{\perp}=\frac{\vec u\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\vec n,\qquad \vec u_{\parallel}=\vec u-\vec u_{\perp}.

两部分互垂，法向分量长度为 ∣u⃗⋅n⃗∣/∣n⃗∣|\vec u\cdot\vec n|/|\vec n|。分解直角三角形中，它是线面角对边，∣u⃗∣|\vec u| 是斜边，因此

sin⁡α=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣∣n⃗∣.\sin\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u||\vec n|}.

当 u⃗∥=0⃗\vec u_{\parallel}=\vec0，没有射影方向，但右边等于 11，公式仍给 α=π/2\alpha=\pi/2；当 u⃗⋅n⃗=0\vec u\cdot\vec n=0，给 α=0\alpha=0。也可先求线方向与法向量的较小角 β\beta，再取 α=π/2−β\alpha=\pi/2-\beta；若初算向量夹角为钝角，须先取补角再取余角。上传知识资料将原“补角/余角”的压缩说明展开为这一顺序；这里是把两步对应关系讲清，并不据此判定原说法为确定的数学错误。

二、考点 方法与例题

1. 同一较小角，反向不改变结果

先证三轴互垂，按终点减起点取非零方向；分别算点积和两个模平方，开根后相除，线线角余弦取绝对值。结果应在 [0,1][0,1]。

例题 01 直三棱柱中的两条直线

直三棱柱ABC−A1B1C1ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，AC=BC=AA1=2AC=BC=A{A}_{1}=2，点PP是ACAC的中点，则直线B1C{B}_{1}C与BPBP所成角的余弦值为（    ）

A．15\frac{1}{5} B．1010\frac{\sqrt{10}}{10} C．105\frac{\sqrt{10}}{5} D．31010\frac{3\sqrt{10}}{10}

答案与解析

直三棱柱侧棱垂直底面，且 AC⊥BCAC\perp BC，故以 CC 为原点、沿 CA,CB,CC1CA,CB,CC_1 为三轴正方向有互垂依据。

直三棱柱原解析建系图
直三棱柱原解析建系图

由边长与中点条件得 P=(1,0,0),B=(0,2,0),B1=(0,2,2)P=(1,0,0),B=(0,2,0),B_1=(0,2,2)，因此

u⃗=B1C⃗=(0,−2,−2),v⃗=BP⃗=(1,−2,0).\vec u=\vec{B_1C}=(0,-2,-2),\qquad \vec v=\vec{BP}=(1,-2,0).

u⃗⋅v⃗=4,∣u⃗∣2=8,∣v⃗∣2=5\vec u\cdot\vec v=4,|\vec u|^2=8,|\vec v|^2=5，所以

cos⁡θ=∣4∣85=105,\cos\theta=\frac{|4|}{\sqrt8\sqrt5}=\frac{\sqrt{10}}5,

选 C。两方向不共线，角大于零；余弦在 [0,1][0,1]。A、B、D 分别为 1/5,10/10,310/101/5,\sqrt{10}/10,3\sqrt{10}/10，均不等于上式。若把 B1C⃗\vec{B_1C} 反向，点积变 −4-4，同一两线的所成角仍不变。

2. 法向夹角与线面角别混成同一个角

面内两个不共线方向确定有效非零法向量，线方向与法向量的点积绝对值除以两模，得到的是线面角的正弦。若改求余弦，才按范围用 cos⁡α=1−sin⁡2α\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}。

例题 02 三条互垂棱构成的三棱锥

在三棱锥O−ABCO-ABC中，OA,OB,OCOA,OB,OC两两互相垂直，EE为OCOC的中点，且OB=OC=2OAOB=OC=2OA，则直线AEAE与平面ABCABC所成角的正弦值为（   ）

A．36\frac{\sqrt{3}}{6} B．312\frac{\sqrt{3}}{12} C．66\frac{\sqrt{6}}{6} D．63\frac{\sqrt{6}}{3}

答案与解析

三棱两两垂直，可沿 OA,OB,OCOA,OB,OC 建直角坐标系。统一缩放令 OA=1OA=1，则 OB=OC=2OB=OC=2，这不改变角，不是只改某一棱。

三棱锥原解析建系图
三棱锥原解析建系图

A=(1,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,2),E=(0,0,1)A=(1,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,2),E=(0,0,1)，所以 u⃗=AE⃗=(−1,0,1)\vec u=\vec{AE}=(-1,0,1)。

面内方向 AB⃗=(−1,2,0),AC⃗=(−1,0,2)\vec{AB}=(-1,2,0),\vec{AC}=(-1,0,2) 不共线。设法向量 (x,y,z)(x,y,z)，有 −x+2y=0,−x+2z=0-x+2y=0,-x+2z=0，取 x=2x=2 得 n⃗=(2,1,1)\vec n=(2,1,1)，两数量积均为零且 ∣n⃗∣2=6>0|\vec n|^2=6>0。

u⃗⋅n⃗=−1,∣u⃗∣2=2\vec u\cdot\vec n=-1,|\vec u|^2=2，所以

sin⁡α=∣−1∣26=123=36,\sin\alpha=\frac{|-1|}{\sqrt2\sqrt6}=\frac1{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{6},

选 A。B、C、D 均不等于此值。原方向与法向量的向量夹角为钝角；负点积不表示线面角为负，也不表示这个比值是线面角余弦。先取方向与法向量的较小角，再取余角，才对应所求。

三、坑点 辨析与纠错

1. 相似的两个比值，函数名称不同

线线是方向与方向求余弦，线面是方向与法向量求正弦。算点积后要除两个模，不是除两个模平方；题目问角度时，再由已定范围唯一反求，不报另一个向量夹角。

2. 零角与直角端点都要说明

线面角为零，可能严格平行，也可能线在面内，不能只凭角排除包含。线垂直面时射影为零向量，不给它定义夹角，应用法向公式或定义。所有夹角分母中的方向必须非零，普通坐标公式也不能套未处理度量的斜基底。