平面基底：不共线带来存在与唯一

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两个不共线方向可以表示平面中的任意向量，而且系数唯一。基底不必垂直，也不必是单位向量；真正让系数法成立的是两个方向独立，而不是名称不同或长度不同。

一、知识点概念与依据

1. 基底同时保证表示得出与表示唯一

同一平面内两个不共线向量 $\vec e_1,\vec e_2$ 构成一组基底。对这个平面内任意向量 $\vec a$ ，存在唯一一对实数x、y，使

\vec a=x\vec e_1+y\vec e_2.

不共线自动排除零向量，但不要求模为1或互相垂直。两条夹角60°的非零方向也可作基底；两个同向单位向量却不行。系数依赖所选基底，换基底通常会改变系数，不改变所表示的向量。

2. 存在性来自平行四边形分解

把两基底向量移到共同起点O，给定 $\vec a=\overrightarrow{OA}$ 。分别过A作与两基底方向平行的直线，与另一个基底所在直线相交，得到从O出发的两个分量。

两基底不共线保证这些平行线能作出所需交点。平行四边形法则说明两个分量之和为OA；每个分量与对应的非零基底共线，分别可写成实数倍。A恰在一条基底直线上时，另一个分量取零，仍可表示；A=O时两个系数都为零。

3. 唯一性来自不能互为实数倍

若同一向量有两种表示，相减得

(x_1-x_2)\vec e_1=-(y_1-y_2)\vec e_2.

若 $x_1-x_2\ne0$ ，则e₁可写成e₂的实数倍，与不共线矛盾，所以 $x_1=x_2$ 。代回得到 $(y_1-y_2)\vec e_2=\vec0$ ，因e₂非零，故 $y_1=y_2$ 。

因此只有在同一组不共线基底下，才可由两向量相等逐项比较系数。既换了基底又直接比较两个数，或只因两向量名称不同就比较，均没有依据。

4. 共线的两个向量缺少一个平面方向

若 $\vec b=t\vec a$ ，则

x\vec a+y\vec b=(x+ty)\vec a.

所有组合仍沿一条直线，不能表示整个平面。固定x+ty时，改变y并相应改变x可得到不同系数组合，唯一性也消失。若参照本身为零，问题更明显。

条件	能否保证平面基底
两向量不相等	不能，不同倍数仍可共线
两向量均非零	不能，还可能同向或反向
两向量均为单位向量	不能，仍需方向不共线
两向量不共线	能，不必再要求垂直或等长

非退化三角形的两条相邻边向量不共线，可选作基底；三点退化为一直线时则不可以。判断组合向量能否构成新基底，应检验它们是否共线，不能凭系数看起来不同来判断。

二、考点方法与例题

1. 判断新基底，比较所用的是原基底

先核候选向量是否为零。若两候选都非零，尝试设一个是另一个的实数倍，再用已知不共线的原基底比较系数：同一倍数若能同时满足两式，说明共线；若矛盾，则不共线。

不能把待判断的两个候选直接当基底比较系数，那会用结论证明结论。

例题 01 检验四组组合向量

题目

若 $\vec{a},\vec{b}$ 是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（）

① $\vec{a}-\vec{b}$ 和 $2025\vec{b}-2025\vec{a}$ ② $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$

③ $3\vec{a}-2\vec{b}$ 和 $2\vec{a}-3\vec{b}$ ④ $\vec{a}-3\vec{b}$ 和 $6\vec{b}-2\vec{a}$

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案与解析

解析

原a、b不共线，因此任何非全零的系数组合都不为零，四组候选各向量均非零，可以检验倍数关系。

组别	共线检验	能否作基底
①	第二向量为第一向量的 $-2025$ 倍	不能
②	若 $\vec a+\vec b=t(\vec a-\vec b)$ ，比较a、b系数需t同时为1和−1，矛盾	能
③	若 $3\vec a-2\vec b=t(2\vec a-3\vec b)$ ，需t同时为3/2和2/3，矛盾	能
④	$6\vec b-2\vec a=-2(\vec a-3\vec b)$	不能

恰②③可作基底，选B。A含不合格的①，C含④，D两组都共线。比较系数的依据是原a、b不共线，而不是候选已被默认不共线。

本题结论

选B，②③可作基底。

2. 几何分点先统一到同一基底

选非共线参照并说明依据，非退化三角形可选同顶点两边。
由点在线段内或延长线上确定箭头正负，再将长度比转向量倍数。
用公共起点关系统一表达，例如 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$ 。
同一向量写出两种表示后逐项列方程，解出参数并回查原分点条件。
若只求系数或系数和，不必求与目标无关的全部几何长度。

例题 02 分点比例决定基底系数

题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $M$ 为线段 $AB$ 上的一点， $\vec{CM}=m\vec{CA}+n\vec{CB}$ （ $m$ ， $n\in R$ ）且 $\vec{BM}=4\vec{MA}$ ，则（）

A． $m=\frac{3}{4}$ ， $n=\frac{1}{4}$ B． $m=\frac{4}{5}$ ， $n=\frac{1}{5}$

C． $m=\frac{1}{5}$ ， $n=\frac{4}{5}$ D． $m=\frac{1}{4}$ ， $n=\frac{3}{4}$

答案与解析

解析

三角形ABC非退化，所以CA、CB不共线。M在线段AB上，BM与MA都沿B到A的方向， $\overrightarrow{BM}=4\overrightarrow{MA}$ 给正长度 $BM=4MA$ ，所以 $AB=5AM$ ， $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}/5$ 。

以C为公共起点，

\begin{aligned} \overrightarrow{CM} &=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\\ &=\overrightarrow{CA}+\frac15(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})\\ &=\frac45\overrightarrow{CA}+\frac15\overrightarrow{CB}. \end{aligned}

由同一基底表示唯一， $m=4/5,n=1/5$ ，选B。A、D把整段误分成4份；C将两基底的系数对调。将MA改成AM时方向反转，不能直接把原有符号比例照抄过去。

本题结论

选B， $m=4/5,n=1/5$ 。