范围求解与共同取值

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求出一个上下界，还没有证明它就是完整取值范围。换元能否反解、各端点能否同时实现、区间中间是否有遗漏，都要回答；分子跨零与相关量拼接尤其需要把“算界”与“可达”分开。

一、知识点概念与依据

1. 有效界、最值与完整范围是不同要求

若能证明每个合法对象都使 $L\le F\le U$ ，只说明实际范围包含在 $[L,U]$ 中。声称 $L,U$ 是最小最大值，还须分别找到合法对象取到它们；声称完整范围恰为整个区间，还须说明区间内每个值都能实现。

严格端点通常来自原条件不取等，但不能仅凭某一步严格就机械决定最终端点。若量只有下界而没有最小值，不能说“最小值等于下界”。分别可以趋近或取到的多个界，也不保证在同一组变量下能一起实现。

本文变量均按题目指定的实数域讨论。若另有整数、正性或等式限制，必须与所得范围合并检查；不能把实数区间的每一点都当成整数问题的可取值。

2. 组合量换元，独立性由反解保证

已知的是 $a+b$ 、 $a-b$ 时，设 $u=a+b,v=a-b$ ，则

a=\frac{u+v}{2},\qquad b=\frac{u-v}{2}.

这既能重写目标，又证明：在没有其他限制时，任取各自区间内的 $u,v$ ，反解得到的实数 $a,b$ 都满足原两条组合关系。因此此时 $u,v$ 可以独立选择。

若原题还要求 $a>0$ 、 $b$ 为整数或 $ab$ 满足另一个条件，反解后须继续检查，不能仅见可逆线性式就宣布任意配对合法。“各自范围已知”不等于天然独立。

把目标写为 $F=\alpha u+\beta v$ 后，系数正就取同方向界，系数负就取反方向界，系数为零则该变量不影响目标。必须在原约束下检查相应取界组合是否共同可行。

3. 倒数区间要反序，跨零必须拆开

倒数只在非零数上定义。由

\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}

可知同号时取倒数反序，异号时正倒数仍大于负倒数； $ab=0$ 不是“差为零”的分支，而是无定义。 $a=b\ne0$ 时两倒数相等。也可对同号的 $a>b$ 除以正数 $ab$ ，得到的是 $1/b>1/a$ ，注意消去位置。

若 $l<x<r$ 且 $0<l<r$ 或 $l<r<0$ ，则

\frac1r<\frac1x<\frac1l.

两端交换位置，原哪个端点含等号，倒数区间对应端点就含等号。反过来，任取此区间内的 $y$ ，令 $x=1/y$ ，同号反序便能恢复 $l<x<r$ ，且 $1/x=y$ ，说明不只是界，而是完整范围。

若 $l<0<r$ 且 $l<x<r$ ，先排除 $x=0$ ，分为 $(l,0)$ 、 $(0,r)$ ：

\left\{\frac1x:l<x<r,\ x\ne0\right\} =\left(-\infty,\frac1l\right)\cup\left(\frac1r,+\infty\right).

每支仍可用 $x=1/y$ 反代验证。越靠近零倒数绝对值越大，零处没有可填入的值；原有限外端点若包含，才将对应倒数端点包含，无穷大永远不取。

同一分子为正时，按上述倒数关系同乘正数；分子为负时须反向；分子为零时，所有合法分母所得商均为零。

4. 平方范围先确认所在的符号区间

正区间内平方保序，负区间内平方反序。跨零区间平方可能取到 $0$ ，不能把两个端点平方直接当成最小最大。例如一般区间的平方范围，应先判断是否包含零，再比较端点绝对值及对应端点是否允许。

目标含乘积时常用

2ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2}=\frac{u^2-v^2}{2}.

这只是恒等式；平方后的范围和相减时上下界的选取还须按实际符号处理。若 $u,v$ 独立且同为正，可先分别平方，再对差选择 $u^2$ 下界与 $v^2$ 上界。但仍需证明中间值都能实现。

5. 分子跨零、分母为正时分三支

设 $L<a<U$ 、 $p<b<q$ ，其中 $L<0<U$ 、 $0<p<q$ ，且 $a,b$ 可以独立取值。

$a>0$ 时， $0<a/b<a/p<U/p$ 。
$a=0$ 时， $a/b=0$ 。
$a<0$ 时， $a/b>a/p>L/p$ ，且 $a/b<0$ 。

合起来只有得到界 $L/p<a/b<U/p$ 。为证明每个内点 $r$ 可达：

若 $0<r<U/p$ ，则 $U/r>p$ ，可选

p<b<\min\{q,U/r\},\qquad a=rb,

从而 $0<a<U$ 。若 $L/p<r<0$ ，除以负数 $r$ 得 $L/r>p$ ，可选

p<b<\min\{q,L/r\},\qquad a=rb,

这时 $a>L$ 且 $a<0$ 。 $r=0$ 则取 $a=0$ 和任意合法 $b$ 。因此完整范围确实是 $(L/p,U/p)$ 。

最终端点只出现 $p$ ，不等于 $q$ 没作用；构造每个合法分母仍需满足 $b<q$ 。也不能先把 $a/b$ 当作两个正量相乘，因为 $a$ 允许为负。

6. 证明全区间可达，可以给一条合法路径

对独立矩形范围中的线性目标，沿两个可行点之间作线性插值，仍满足原区间约束，目标也随参数线性变化。因此不仅能找端点，还能给出中间值的共同构造。

例如用 $0\le t\le1$ 将一对最小端点和最大端点同时连接，若目标变成 $L+(U-L)t$ ，就覆盖闭区间 $[L,U]$ ；若 $0<t<1$ 且原端点不允许，便覆盖对应开区间。非线性目标也可寻找适合的平方量路径，但不能未经检验就宣称任意连续外形一定覆盖所需区间。

二、考点方法与例题

1. 先在原组合量中表达目标，再证明可达

设组合变量，写出反解检查独立性；把目标完整改写，按系数与符号求界；最后给端点见证或一条覆盖所有内点的合法路径。相减时使用“左量下界减右量上界”，不要把同向不等式直接逐边相减。

例题 01 线性目标与两端见证

题目

已知实数x，y满足 $1\le x+y\le 4$ ， $-1\le x-y\le 2$ ，则 $4x-2y$ 的取值范围是（）

A． $\left[ -4,10\right]$ B． $\left[ -3,6\right]$ C． $\left[ -5,13\right]$ D． $\left[ -2,10\right]$

答案与解析

解析

设 $u=x+y\in[1,4]$ ， $v=x-y\in[-1,2]$ 。任取这两个区间内的值，由 $x=(u+v)/2,y=(u-v)/2$ 都得到合法实数，因此两量可独立取值。

目标为 $4x-2y=u+3v$ ，于是

1+3(-1)\le u+3v\le4+3\cdot2,

得到 $[-2,10]$ 。下端取 $(u,v)=(1,-1)$ ，对应 $(x,y)=(0,1)$ ；上端取 $(4,2)$ ，对应 $(3,1)$ ，均符合原条件。

完整范围的验证：令 $u=1+3t,v=-1+3t$ ， $0\le t\le1$ ，则原两区间条件始终成立，目标为 $-2+12t$ ，覆盖全部 $[-2,10]$ 。

本题结论

D， $[-2,10]$ 。

例题 02 平方量的界与反向构造

题目

已知 $3<a+b<4,1<a-b<2$ ，则 $2ab$ 的取值范围是（）

A． $\left( 4,18\right)$ B． $\left( 2,9\right)$ C． $\left( 5,15\right)$ D． $\left( \frac{5}{2},\frac{15}{2}\right)$

答案与解析

解析

设 $u=a+b\in(3,4)$ ， $v=a-b\in(1,2)$ 。反解 $a=(u+v)/2,b=(u-v)/2$ ，说明任意合法 $u,v$ 配对都可以实现。

两区间为正，所以 $9<u^2<16$ ， $1<v^2<4$ 。因此

5<u^2-v^2<15,\qquad \frac52<2ab=\frac{u^2-v^2}{2}<\frac{15}2.

原两区间开，端点只能趋近而不能取得。

要证明所有内点可达，令 $0<t<1$ ，取

u=\sqrt{9+7t},\qquad v=\sqrt{4-3t}.

有 $3<u<4,1<v<2$ ，反解得到原题允许的 $a,b$ ，且 $u^2-v^2=5+10t$ 。故 $2ab=5/2+5t$ 覆盖全部 $(5/2,15/2)$ 。

另一种按目标反向构造：给 $5<w<15$ ，可选 $\max\{1,9-w\}<s<\min\{4,16-w\}$ 。这个区间非空，因为 $1<4$ 、 $1<16-w$ 、 $9-w<4$ 、 $9-w<16-w$ 同时成立。令 $v=\sqrt s,u=\sqrt{w+s}$ ，则原范围成立且 $u^2-v^2=w$ 。两种构造都补足“中间没有空缺”。

本题结论

D， $\left(\dfrac52,\dfrac{15}2\right)$ 。

2. 商先分符号，多小问分别给可达证明

分子跨零而分母始终为正，先分负、零、正求界，再对任意目标商反选一个合法分母。若一题同时求几个表达式的范围，每个范围可以由不同的变量组合实现，不能误要求几个最值同时发生，也不能借此忽略各自的可达检查。

例题 03 三个范围与一个分式比较

题目

（1）已知 $-3<a<4$ ， $2<b<5$ ，求 $2a+b$ ， $a-b$ 及 $\frac{a}{b}$ 的取值范围．

（2）设 $x$ 、 $y$ 均为正实数，试比较 $\frac{x}{1+x}$ 和 $\frac{y}{1+y}$ 的大小．

答案与解析

解析

（1）由 $-3<a<4,2<b<5$ ：

-4<2a+b<13,\qquad -8<a-b<2.

第一式可由 $a=-3+7t,b=2+3t$ 、 $0<t<1$ 实现 $2a+b=-4+17t$ ，覆盖整个 $(-4,13)$ 。第二式改取 $a=-3+7t,b=5-3t$ ，得到 $a-b=-8+10t$ ，覆盖整个 $(-8,2)$ 。两条路径分别用于不同目标，不要求同一组变量同时达到它们的端点。

对商分支： $a>0$ 时 $0<a/b<a/2<2$ ； $a<0$ 时 $-3/2<a/2<a/b<0$ ； $a=0$ 时商为零。故 $-3/2<a/b<2$ 。

任给 $0<r<2$ ，选 $2<b<\min\{5,4/r\}$ ，令 $a=rb$ ，则 $0<a<4$ 且商为 $r$ 。任给 $-3/2<r<0$ ，选 $2<b<\min\{5,-3/r\}$ ，令 $a=rb$ ，则 $-3<a<0$ 且商为 $r$ ；这两个选取区间都非空，因为其上界严格大于 $2$ 。 $r=0$ 取 $a=0,b=3$ 。所以商完整范围是 $(-3/2,2)$ ，并非只得到估计界。

（2） $x,y>0$ 保证 $(1+x)(1+y)>0$ 。固定作差：

\frac{x}{1+x}-\frac{y}{1+y}=\frac{x(1+y)-y(1+x)}{(1+x)(1+y)}=\frac{x-y}{(1+x)(1+y)}.

因此大小与 $x-y$ 同号： $x>y$ 时前式大， $x=y$ 时相等， $x<y$ 时前式小。题干未给 $x,y$ 的顺序，必须保留三种结果。

本题结论

（1）依次为 $(-4,13)$ 、 $(-8,2)$ 、 $(-3/2,2)$ ；（2）两分式的顺序与 $x,y$ 的顺序相同。

3. 相关变量回到原条件，不拼接独立端点

单独求得 $a$ 、 $b$ 的范围，是把原可行对象分别投影到两条数轴。投影范围中的每个数分别可取，不代表任意配对可取。新目标优先直接写回原组合量，或将拟取等的 $(a,b)$ 代回全部原条件。

例题 04 单变量范围不等于独立矩形

题目

实数 $a$ 、 $b$ 满足 $-3\le a+b\le 2$ ， $-1\le a-b\le 4$ .

(1)求实数 $a$ 、 $b$ 的取值范围；

(2)求 $3a-2b$ 的取值范围．

答案与解析

解析

设 $u=a+b\in[-3,2]$ ， $v=a-b\in[-1,4]$ ，反解 $a=(u+v)/2,b=(u-v)/2$ 。 $u,v$ 可独立取值。

（1）分别计算：

-2\le a=\frac{u+v}{2}\le3,\qquad -\frac72\le b=\frac{u-v}{2}\le\frac32.

$a$ 的下、上端由 $(u,v)=(-3,-1),(2,4)$ 取得； $b$ 的下、上端由 $(-3,4),(2,-1)$ 取得。完整可达性也可直接给路径：取 $u=-3+5t,v=-1+5t$ 得 $a=-2+5t$ ；取 $u=-3+5t,v=4-5t$ 得 $b=-7/2+5t$ ，其中 $0\le t\le1$ ，各自覆盖相应闭区间。

（2）不能把上一问两个投影当成独立范围。直接回到原组合量：

3a-2b=\frac{u+5v}{2},\qquad -4\le\frac{u+5v}{2}\le11.

下端 $(u,v)=(-3,-1)$ 对应 $(a,b)=(-2,-1)$ ；上端 $(2,4)$ 对应 $(3,-1)$ ，都合法。沿 $u=-3+5t,v=-1+5t$ ，目标为 $-4+15t$ ，覆盖全部 $[-4,11]$ 。

辨析错误拼接：若只把 $a\in[-2,3]$ 、 $b\in[-7/2,3/2]$ 当作独立条件，会得到宽界 $[-9,16]$ 。这个界仍包住实际值，却不是精确范围。其拟最小点 $(-2,3/2)$ 给 $a-b=-7/2<-1$ ；拟最大点 $(3,-7/2)$ 给 $a-b=13/2>4$ ，都违反原条件。分别可取端点不代表能同时配对。

本题结论

（1） $a\in[-2,3]$ ， $b\in[-7/2,3/2]$ ；（2） $3a-2b\in[-4,11]$ 。