两圆位置、公切线与切点间距

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半径和、差决定位置；有向距离解释公切线的种类、条数与长度。

一、知识点理解概念

1. 两个不同圆的五种关系，重合另列

先确认两圆半径 $r_1,r_2>0$ ，中心距 $d\ge0$ 。两个不同圆分为：

外离： $d>r_1+r_2$ ，无公共点；
外切： $d=r_1+r_2$ ，一个公共点；
相交： $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ ，两个不同公共点；
内切： $d=|r_1-r_2|$ 且 $d>0$ ，一个公共点；
内含： $0\le d<|r_1-r_2|$ ，无公共点。

$d=0,r_1\ne r_2$ 是同心不等半径，属于内含； $d=0,r_1=r_2$ 是重合，有无穷公共点，不能归入内切。

2. 圆周上到另一圆心的距离给出边界

先设 $d>0$ ，将圆心连线取作横向，用 $O_1=(0,0),O_2=(d,0)$ ，第一圆上点 $X=(r_1\cos\theta,r_1\sin\theta)$ 。则

XO_2^2=d^2+r_1^2-2dr_1\cos\theta.

在 $0\le\theta\le\pi$ 的半圆上，距离由 $|d-r_1|$ 严格增加到 $d+r_1$ ；另一半圆关于圆心连线对称。 $r_2$ 严格处在两界之间时各半圆有一个交点；等于边界时只有一个共线接触点；超出范围则无交点。将这些半径与距离不等式等价整理，得到上面的五种分类。

$d=0$ 时距离恒为 $r_1$ ，不能用上述严格变化论证；第二圆半径相同则整圆重合，不同则无公共点。

3. 外、内公切线看圆心同侧或异侧

公切线必须与两圆都相切。两圆心在该线同侧，为外公切线；在异侧，为内公切线。外切时经过公共接触点的那条切线，两圆心在异侧，属于内公切线。

公切线“长”约定为两个切点之间的线段长，不是无限直线的长度。圆心差在切线法向上的分量，同侧是半径差，异侧是半径和；与沿切线的切点间距作勾股分解，得

\ell_{\text{外}}=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2},\qquad \ell_{\text{内}}=\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}.

先确认相应切线存在再套公式。等号时两切点重合、线段长零，但切线仍存在；根号负表示这种公切线不存在。

4. 公切线条数来自单位法向量的投影

设 $d>0$ 。写公切线为 $\boldsymbol n\cdot X=c$ ， $|\boldsymbol n|=1$ ，选择朝向使 $\boldsymbol n\cdot O_1-c=r_1$ 。外公切线的第二有向距离为 $r_2$ ，内公切线为 $-r_2$ ，相减得到

\boldsymbol n\cdot(O_2-O_1)=r_2-r_1\quad\text{或}\quad -(r_1+r_2).

长度 $d$ 的圆心差在单位法向上的指定投影：绝对值小于 $d$ 时有两个对称方向，等于 $d$ 合为一个，超过 $d$ 无方向。每个方向由 $c=\boldsymbol n\cdot O_1-r_1$ 定一条线；已固定第一有向距离为正，不能再把反号表示重复计数。

由此，两个不同圆依次为：外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含0条。重合圆的每条切线都同时切两圆，公切线无穷；同心不等半径没有公切线，均须单列。

二、考点方法与例题

1. 先配方，再比较中心距与半径和、差

两圆都先核正半径，求中心距；同心情形先分重合和不等半径。中心不同时再比较和、差，既可判位置，也可预判公切线条数。参数题须把关系条件与真圆条件取交集，保留平方的非负前提并解释端点。

例题 01 两圆的位置关系

已知圆 ${C}_{1}$ ： ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ ， ${C}_{2}$ ： ${x}^{2}+{y}^{2}-6x-8y+9=0$ ，则两圆的位置关系为（）

A．相交 B．外切 C．内切 D．内含

答案与解析

第一圆圆心 $O_1=(0,0)$ 、半径 $2$ 。第二圆配方： $x^2-6x=(x-3)^2-9$ ， $y^2-8y=(y-4)^2-16$ ，所以

(x-3)^2+(y-4)^2=25-9=16.

圆心 $O_2=(3,4)$ 、半径 $4$ ，中心距 $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。由于

|4-2|=2<5<6=4+2,

两圆有两个不同公共点，选 A。严格不等式排除了内、外切及内含。圆心不同也排除了同心与重合；另题若 $d=0,r_1=r_2$ ，虽满足差为零，却是重合，不是内切。

例题 02 内公切线两切点之间的长度

圆 ${C}_{1}$ ： ${\left( x+1\right)}^{2}+{\left( y+2\right)}^{2}=1$ 与圆 ${C}_{2}$ ： ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=4$ 的内公切线长为（）

A．3 B．5 C． $\sqrt{26}$ D．4

答案与解析

两圆心 $O_1=(-1,-2),O_2=(2,2)$ ，半径为 $1,2$ ，均是真圆。中心距 $d=\sqrt{3^2+4^2}=5>3=r_1+r_2$ ，外离，确有两条内公切线。

原解的轴线法： $y$ 轴 $x=0$ 到两个圆心的距离分别为 $1,2$ ，恰等于各自半径，所以真的同时相切，而不是只凭图。图中切点 $A=(0,2),B=(0,-2)$ ，其间长度 $|2-(-2)|=4$ 。两圆心分居 $x=0$ 两侧，因此是内公切线。

原解的距离分解法：异侧半径法向分量是和 $1+2=3$ ，切点间距沿切线，故

\ell_{\text{内}}=\sqrt{5^2-3^2}=4.

另一条内公切线的切点间距也为 $4$ ，选 D。A的 $3$ 是半径和，B的 $5$ 是圆心距，C不满足此勾股关系；直线本身并没有有限长度。

2. 公切线要同时验两圆，特殊方向不漏

可设 $Ax+By+C=0,A^2+B^2>0$ ，同时令到两个圆心的距离等于各自半径。若改设斜率式，另查竖直线 $x=c$ 是否同时满足 $|c-a_1|=r_1,|c-a_2|=r_2$ 。平方前两边非负，解后验原绝对值；整体成非零倍数的方程合并，再与公切线条数核对。

相切圆在公共接触点处的那条公切线，可先沿圆心连线求 $T$ 、代两圆验证，再用非零半径作法向量写过 $T$ 的线。注意外切圆另有两条外公切线，不能因为接触点唯一就说所有公切线仅一条。

例题 03 两个圆的公切线方程

圆 ${C}_{1}:{x}^{2}+{y}^{2}+8x-2y+9=0$ 和圆 ${C}_{2}:{x}^{2}+{y}^{2}+6x-4y+11=0$ 的公切线方程是（）

A． $y=-x+1$ B． $y=-x+1$ 或 $y=x+5$

C． $y=-x+5$ D． $y=x+1$ 或 $y=2x+5$

答案与解析

配方为

(x+4)^2+(y-1)^2=8,\qquad (x+3)^2+(y-2)^2=2.

于是 $O_1=(-4,1),r_1=2\sqrt2$ ， $O_2=(-3,2),r_2=\sqrt2$ ，中心距 $d=\sqrt2>0$ ，恰等于半径差。两个不同圆内切，公切线只有一条。

保留原解联立求接触点的路线：两圆原式相减得 $2x+2y-2=0$ ，即 $y=1-x$ 。代第一圆得 $2(x+2)^2=0$ ，所以 $T=(-2,3)$ ；到两圆心的距离平方分别 $8,2$ ，两原方程也都为零。

圆心连线方向 $(1,1)$ 是切线法向量，故 $(x+2)+(y-3)=0$ ，即

x+y-1=0\quad\text{或写作}\quad y=-x+1.

原斜率法中圆心连线斜率 $1$ ，切线斜率 $-1$ ，得同式。再验两个圆心距分别为 $|-4+1-1|/\sqrt2=2\sqrt2$ 、 $|-3+2-1|/\sqrt2=\sqrt2$ ，确实同时相切。

选 A。B多列的 $y=x+5$ 穿过两个圆心，不是切线；C、D均不是已证明唯一的公切线，不能另取。唯一性分类与线的两圆验距相互核对，结果完整。

3. 参数范围先保圆存在，再判断关系

半径平方严格为正与所需位置是两份条件。含根号不等式先说明两边非负，才能平方而不改解集；最终回到两个圆和所需位置，端点外切、内切、重合或退化的含义分别写明。

例题 04 两圆外离时的参数范围

已知圆 ${C}_{1}:{\left( x+4\right)}^{2}+{\left( y-3\right)}^{2}=9$ 与圆 ${C}_{2}:{x}^{2}+{y}^{2}-4x+10y+m=0$ 外离，则 $m$ 的取值范围是（）

A． $\left( -\infty ,29\right)$ B． $\left( -20,+\infty \right)$

C． $\left( -20,29\right)$ D． $\left( -28,29\right)$

答案与解析

第一圆心 $O_1=(-4,3)$ 、半径 $3$ 。第二圆配方为 $(x-2)^2+(y+5)^2=29-m$ ，所以 $O_2=(2,-5)$ ，要求 $m<29$ 才有正半径 $\sqrt{29-m}$ 。

中心距 $d=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$ 。外离要求 $10>3+\sqrt{29-m}$ ，连同真圆条件为

0<\sqrt{29-m}<7.

两端非负，等价于 $0<29-m<49$ ，故

-20<m<29,

选 C。 $m=-20$ 为外切，不满足外离； $m=29$ 使第二圆退化为一点，也不允许。A、D收入非外离值，B还收入不成圆值；不能只解其中一份条件。