对数大小比较：固定对象、有效中间量与乘积上界

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先看变化的是真数还是底数，再选择单调性、换底作差或中间值。同号不等于已经排好次序；用基本不等式得到一个界之后，还要证明这个界足够跨过真正的比较阈值。

一、知识点概念与依据

1. 同底比较输入，参数底先分两支

底 $b$ 固定， $b>1$ 时 $\log_bu$ 随正输入 $u$ 增大而增大， $0<b<1$ 时随之减小。这是在同一个函数里比较两个输入。如果只知 $b>0,b\ne1$ ，两支都必须保留。

变的是底数而非输入时，不可直接说“对数函数递增，所以底越大结果越大”。比较前还要检查每个底正非1、每个真数正，嵌套对数的内层输出也必须正，不能只查最里面的原输入。

2. 同真数变底，用一个差式同时照看三种符号

设 $u>0$ ， $b_1,b_2$ 是合法底，换到自然对数后作差：

\log_{b_1}u-\log_{b_2}u=\frac{\ln u(\ln b_2-\ln b_1)}{\ln b_1\ln b_2}.

三个因素分别来自：真数在1哪一侧、两个底的次序、两个底在1同侧还是异侧。 $u=1$ 时两项都为0； $b_1=b_2$ 时也相等。其余情形应结合三个符号判断，不能省去相等边界。

两底均大于1时，分母正；若 $b_1<b_2$ ，第二个分子因子正，所以 $u>1$ 时第一项较大， $0<u<1$ 时第一项较小。两底都在 $(0,1)$ 时分母仍正，同样按差式判别。两底跨过1时分母负，也可先由各商的正负把它们分开。

两底均小于1的参数短例。原题 $0<a<b<1<c$ ， $m=\log_ac,n=\log_bc$ 。两值都负，但这还不能排序。直接作差

m-n=\frac{\lg c(\lg b-\lg a)}{\lg a\lg b}>0,

因为两个分子因子均正，分母是两个非零负数的积。所以 $m>n$ ；底数小于1不会让换底公式失效，只是需要核符号。

3. 0和1是入口，不是每题的终点

每个合法底满足 $\log_b1=0,\log_bb=1$ ，指数又有 $b^0=1$ ，可用于连接指对混合量。

可被基准完全分开的短例。原题 $a=\log_{0.3}e,b=\log_\pi3,c=3^{0.3}$ ，四候选为 $a>b>c,b>a>c,b>c>a,c>b>a$ 。底0.3递减且 $e>1$ 给 $a<0$ ； $1<3<\pi$ 给 $0<b<1$ ；底3递增且指数0.3正给 $c>1$ 。因此 $c>1>b>0>a$ ，只有最后一个候选吻合，其他三项分别错把负a列最大、把a置于c前、把b置于c前。

若两量都负或都在 $(0,1)$ ，这些界没有分开它们，还须找到同一函数或有依据的中间量。中间量应来自可证明的幂或对数关系，不能凭近似小数猜结论。数值计算可用于检查，却不能替代普遍参数的证明。

4. 乘积上界要同时核符号、阈值和取等

两个正数 $p,q$ 满足 $\sqrt{pq}\le(p+q)/2$ ，等号当且仅当 $p=q$ 。平方形式

pq\le\left(\frac{p+q}{2}\right)^2,\qquad \left(\frac{p+q}{2}\right)^2-pq=\frac{(p-q)^2}{4}

其实对任意实数成立，但不能因此不查正性就把它解释成正数均值，或对负量平方任意保序。同底严格单调对数的真数不等，才可推出对数不等并给严格号；若允许相等，就须保留等号。

先以 $\log_bu=\ln u/\ln b$ 判对数符号：底与真数在1同侧时为正，在异侧时为负，真数为1时为0。一个合法零对数可以留在分子，却不能作为作商的除数。

换底作差后，先查分母正负；作商后与1比较，先查除数正，才可按相同方向返回原量。合并正对数和得到平方上界之后，仍须证明它比目标阈值小；若要平方后小于1，必须确认底层量在 $(0,1)$ ，而不只是“小于1”。

把参数方法具体化的短例。对 $a=\log_23,b=\log_34,c=\log_45$ ，都为正。因 $1<\sqrt8<3$ 、 $1<\sqrt{15}<4$ ，

\ln2\ln4<(\ln\sqrt8)^2<(\ln3)^2,\qquad\ln3\ln5<(\ln\sqrt{15})^2<(\ln4)^2.

前一个严格号来自两正对数不等，后一个来自正数平方保序。因此换底作差的两个正分母分别为 $\ln2\ln3$ 、 $\ln3\ln4$ ，得 $a-b>0,b-c>0$ ，所以 $a>b>c$ 。原四候选 $a>b>c,b>c>a,c>a>b,b>a>c$ 中仅第一项正确；第二、三项错在 $c>a$ ，第四项错在 $b>a$ 。这是参数式两问的同一乘积阈值方法，三数排序必须完成两段，不能只算一差。

二、考点方法与例题

1. 先确定固定对象，再连接完整大小链

合法性优先。同底看真数和底数方向，同真数换底作差，两者都不同先试0、1，再构造共同底、共同指数或同底对数的中间量。两量仍在同一段就继续比较。最后逐个确认每个不等号的依据，补齐参数两支与相等边界，再核候选。

2. 把对数差或商转成正乘积的上界

先统一到底、通分，检查所有除数非零及符号。找待估乘积 $pq$ ，按已证条件使用基本不等式并指出严格性来源；再合并 $p+q$ 成同底对数，证明所得平方确实位于阈值所需一侧。返回差或商的判断，三数排序另补另一段，不把第一问可取等照搬给第二问。

例题 01 四组底数与真数关系

题目

比较下列各组中两个值的大小．

(1) $\ln 0.3,\ln 2$ ；

(2) ${\log }_{a}1.5,{\log }_{a}2.3$ （ $a>0$ ，且 $a\ne 1$ ）；

(3) ${\log }_{3}0.2,{\log }_{4}0.2$ ；

(4) ${\log }_{3}\pi ,{\log }_{\pi }3$ ．

答案与解析

解析

（1）底 $e>1$ 递增，两个真数都正且 $0.3<2$ ，故 $\ln0.3<\ln2$ 。

（2） $a>1$ 时递增， $\log_a1.5<\log_a2.3$ ； $0<a<1$ 时递减， $\log_a1.5>\log_a2.3$ 。非法的 $a\le0$ 或1已由题设排除。

（3）共同真数0.2小于1，换底分子负，不能套用真数大于1时的方向：

\log_30.2-\log_40.2=\frac{\ln0.2(\ln4-\ln3)}{\ln3\ln4}<0.

也可按原解先用底0.2递减得 $0>\log_{0.2}3>\log_{0.2}4$ ，再取这两个非零负数的倒数，顺序反向，得到同一结论。

（4） $\pi>3>1$ 给 $\log_3\pi>1$ ，又 $0<\log_\pi3<1$ ，所以前者较大。这里0与1已足够把两者分开。

本题结论

（1）小于；（2） $a>1$ 时小于， $0<a<1$ 时大于；（3）小于；（4）大于。

例题 02 嵌套对数的合法性与排序

题目

已知 $a=\ln \left( \lg 3\right)$ ， $b=\lg \left( \ln 3\right)$ ， $c=\ln \frac{1}{3}$ ，则 $a,b,c$ 的大小关系是（）

A． $a<c<b$ B． $b<a<c$

C． $c<a<b$ D． $b<c<a$

答案与解析

解析

先查外层真数： $3>1$ 给 $\lg3>0,\ln3>0$ ，两个嵌套式都合法。由 $e<3$ 得 $\ln3>1$ ，所以 $b=\lg(\ln3)>0$ 。

$3<10$ 给 $\lg3<1$ ，所以 $a<0$ ； $1/3<1$ 给 $c<0$ 。但两者同负还未比较完。

利用 $3^3=27>10$ ，常用对数递增得 $3\lg3=\lg27>1$ ，所以 $1/3<\lg3<1$ 。自然对数递增，因此

c=\ln(1/3)<\ln(\lg3)=a<0<b.

故C正确；A把 $a,c$ 反置，B、D都把正数 $b$ 列在负量前作为最小，不符。每一步均为精确关系，无需用近似小数比较两个负量。

本题结论

C，即 $c<a<b$ 。

例题 03 不同底与不同指数的中间幂

题目

已知 $a={0.2}^{0.6}$ ， $b={0.6}^{0.2}$ ， $c={\log }_{0.6}0.2$ ，则（）

A． $c>a>b$ B． $c>b>a$ C． $a>c>b$ D． $b>a>c$

答案与解析

解析

引入 $0.6^{0.6}$ 。先固定正指数 $0.6=3/5$ ： $0.2<0.6$ ，正数立方保序、正五次根也保序，故

0.2^{0.6}<0.6^{0.6}.

再固定底0.6，其指数函数递减，且 $0.6>0.2>0$ ，所以

a=0.2^{0.6}<0.6^{0.6}<0.6^{0.2}=b<0.6^0=1.

底0.6的对数递减，真数 $0.2<0.6$ ，故 $c=\log_{0.6}0.2>\log_{0.6}0.6=1$ 。连接为 $c>1>b>a$ ，选B。A把 $a,b$ 反置，C把大于1的 $c$ 夹在小于1两数之间，D把它放最小，都不符。

这两次比较固定的对象不同：先固定指数看正幂，再固定底看指数，不能只比较0.2与0.6就跨过中间推理。

本题结论

B，即 $c>b>a$ 。

例题 04 正数幂乘积与参数对数的两问

题目

（1）比较 ${a}^{a}{b}^{b}$ 与 ${b}^{a}{a}^{b}(a>0,b>0)$ 的大小；

（2）已知 $a>2$ ，比较 ${\log }_{(a-1)}a$ 与 ${\log }_{a}(a+1)$ 大小

答案与解析

解析

（1）原两乘积均正，可作商：

\frac{a^ab^b}{b^aa^b}=\left(\frac ab\right)^{a-b}.

$a=b$ 时商1； $a>b$ 时底大于1且指数正，商大于1； $a<b$ 时底在0与1间且指数负，商也大于1。故 $a^ab^b\ge b^aa^b$ ，等号当且仅当 $a=b$ 。

（2） $a>2$ 使 $a-1,a,a+1$ 全大于1，各对数合法且为正。换底作差：

\log_{a-1}a-\log_a(a+1)=\frac{(\ln a)^2-\ln(a-1)\ln(a+1)}{\ln(a-1)\ln a}.

分母正。两个正对数 $\ln(a-1),\ln(a+1)$ 不等，严格基本不等式给

\ln(a-1)\ln(a+1)<\left[\frac{\ln(a^2-1)}2\right]^2<\left[\frac{\ln(a^2)}2\right]^2=(\ln a)^2.

第二个严格号还用了 $0<\ln(a^2-1)<\ln(a^2)$ ，两正量平方保序。故分子正，差正， $\log_{a-1}a>\log_a(a+1)$ 。第（1）问可以取等，第（2）问在 $a>2$ 内始终严格，不能互相搬用等号。

本题结论

（1） $a^ab^b\ge b^aa^b$ ，等号当且仅当 $a=b$ ；（2） $\log_{a-1}a>\log_a(a+1)$ 。

例题 05 对数形成的两种均值

题目

设 $a=\lg \frac{3}{5}, b=\sqrt{\lg 3\cdot \lg 5}, c=\frac{1}{2}\lg 15$ ，则（）

A． $a<b<c$ B． $b<a<c$ C． $a<c<b$ D． $b<c<a$

答案与解析

解析

$0<3/5<1$ ，所以 $a=\lg(3/5)<0$ 。又 $\lg3,\lg5$ 都正， $b=\sqrt{\lg3\lg5}>0$ 。积法则给

c=\frac12\lg15=\frac{\lg3+\lg5}{2}.

这正是同一对正数的算术均值，而 $b$ 是几何均值。 $3\ne5$ 和对数严格单调保证 $\lg3\ne\lg5$ ，故 $b<c$ 严格成立。因此 $a<0<b<c$ ，选A。

B把正b放在负a前作为较小，C错把 $c<b$ ，D错把正c放在负a前作为较小，均不符。仅写“由基本不等式 $b\le c$ ”还不够，须用不等条件排除取等。

本题结论

A，即 $a<b<c$ 。