最值、确界与完整参数范围

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先知道变量真的能取什么，再把界变成有点达到的最值。

一、知识点理解概念

1. 真正的最值要有合法点达到

最大/最小值须在原题合法点或参数上实际取得。先保 $a,b>0$ 的真双曲线、指定支/象限、两不同交点与非零分母，线和向量也须有效。双曲线无界，不等于每个目标都无最大值；须研究目标本身。

本页以 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ， $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ， $e=c/a$ ，左右焦点 $(\mp c,0)$ 为基准；纵焦轴交换坐标。含两交点的参数必须同时保消元不降次、 $\Delta>0$ 和同支/异支要求，不可只看判别式。比值还须保原分母，如 $OP$ 、焦半径、面积、向量分量比或斜率比中的分母非零。

2. 焦半径换元要带上整个实际区间

右支 $x\ge a$ ，近焦半径 $t=PF_2=ex-a\ge c-a>0$ 。这个范围不仅必要，而且充分：对每个 $t\ge c-a$ ，取

x=\frac{t+a}{e}\ge a,\qquad y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}

便得到右支点。若还限第一象限，则 $y>0$ 、顶点排除，实际 $t>c-a$ 。其他额外限制同样保留，不能先在所有正实数中求等号，再默认点合法。

3. 几何不等式的等号有点序

$PA+PB\ge AB$ 的等号要求 $P$ 在线段 $AB$ 上。 $|PA-PB|\le AB$ 在 $A\ne B$ 时等号要求 $P$ 位于直线 $AB$ 上且在开线段外，具体正负差还分两端射线；不能只写“共线”。再把线段/射线与指定支相交，才知道等号能否取得。

若 $A=B$ ，差恒为0，任意 $P$ 都等号；和为 $2PA$ ，仅 $P=A$ 时等于 $AB=0$ ，上述两端射线方向不再有定义。判断交点可联立，也可在有限线段上用连续函数异号并核横坐标支条件，不能拿示意图当存在证明。

4. 开端、确界与无界是不同结论

没有点达到的界不能叫最值；还要证明合法值能任意逼近它，才能叫上/下确界，否则只是普通界。下确界是所有合法值的最大下界，不意味着已取到。

若要证明无某一极值，可证明严格界加合法点序列逼近，或证明沿合法方向目标无界。 $x\to\infty$ 不是一个实际曲线点，不能当作取得等号；开放端点也不能自行补回。

二、考点方法与例题

1. 从原约束到等号反构的完整链

先定合法变量集合，再用焦半径、 $y^2=b^2(x^2/a^2-1)$ 或根和积减少未知量；平方、开根保原符号。配方顶点、基本不等式等号与单调比较都在该实际区间内进行。

得到界后，反构曲线点并回核支/象限、交点、分母等全部条件。若不可达但可任意逼近，端点用开区间；无界则说明合法变量如何使目标无限变化。几何等号先写线段/射线，再证与指定支真实相交。

例题 01 焦半径构成的比值

已知 ${F}_{1}$ ， ${F}_{2}$ 为双曲线 $C:\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$ 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则 $\frac{{\left| P{F}_{1}\right|}^{2}}{\left| P{F}_{2}\right|}$ 的最小值为（）

A．16 B．18 C． $8+4\sqrt{2}$ D． $9+\frac{15\sqrt{2}}{2}$

答案与解析

右支上 $PF_1=PF_2+2a=PF_2+4$ 。令 $t=PF_2\ge\sqrt6-2>0$ ，原式为

\frac{(t+4)^2}{t}=t+8+\frac{16}{t}\ge2\sqrt{16}+8=16.

等号为 $t=16/t$ ，因 $t>0$ 得 $t=4$ ，且 $4>\sqrt6-2$ ，处于实际范围中。显式反构 $e=\sqrt6/2$ ，

x=\frac{4+2}{\sqrt6/2}=2\sqrt6,\qquad y^2=2(x^2/4-1)=10.

所以 $P=(2\sqrt6,\pm\sqrt{10})$ 均合法且达到目标 $16$ ，选 A。B 为18大于16；C 实际为 $8+4\sqrt2<16$ ，不能说它大于已达值；D 为 $9+15\sqrt2/2>16$ 。C 虽小但低于已证下界，故不可能为最小值。

上传KB补讲写“其余选项均大于实际可达值”，其中C的比较有误；本解保原四选项，明确以严格下界及达到点判A，不照抄该比较。

例题 02 焦半径和与原点距离之比

已知点 $P$ 是双曲线 ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$ 上的动点， ${F}_{1}$ ， ${F}_{2}$ 分别为其左，右焦点， $O$ 为坐标原点.则 $\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{|OP|}$ 的最大值是（）

A．7 B．6 C．5 D．4

答案与解析

原点反射交换两焦点，分子距离和与 $OP$ 均不变，所以可取右支 $x\ge1$ 。 $a=1,b^2=3,c=2,e=2$ 。

保留原焦半径推导而不只引用：右支到准线 $x=a^2/c$ 的距离 $d=x-a^2/c>0$ ，利用曲线得

PF_2^2=(x-c)^2+y^2=\left(\frac{cx}{a}-a\right)^2.

因 $cx/a-a\ge c-a>0$ ，取正根得 $PF_2=ex-a$ ；同时 $ed=(c/a)(x-a^2/c)=ex-a$ ，故原解 $PF_2/d=e$ 的除法成立。同理 $PF_1=ex+a$ 。

本题焦半径和为 $4x$ ，曲线给 $y^2=3x^2-3$ ，所以 $OP^2=4x^2-3\ge1$ ，比值分母非零，

R=\frac{4x}{\sqrt{4x^2-3}}=\frac4{\sqrt{4-3/x^2}}.

$x\ge1$ 给 $0<1/x^2\le1$ ，因此 $1\le4-3/x^2<4$ ，得 $2<R\le4$ 。 $x=1,y=0$ 时 $R=4$ ，左顶点反射也取得，最大值4，选 D；A/B/C均超过4。

这还是精确范围：对 $2<r\le4$ ，取 $x^2=3/(4-16/r^2)\ge1$ 并取对应曲线点，便得 $R=r$ 。没有最小值：每个有限点 $R>2$ ，但合法序列 $P_n=(n,\sqrt{3n^2-3})$ ， $n=1,2,\ldots$ ，满足 $R(P_n)\to2$ ，所以下确界2而非最小值2。

例题 03 右支点到两个定点的距离和

已知双曲线C的一条渐近线为直线 $\sqrt{3}x-y=0$ ，C的右顶点坐标为 $\left( 1,0\right)$ ，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为 $\left( 3,5\right)$ ，则 $\left| MA\right|+\left| MF\right|$ 的最小值为（）

A． $\sqrt{26}-1$ B． $\sqrt{26}$ C． $\sqrt{26}+1$ D． $\sqrt{26}+2$

答案与解析

按本节横轴标准位置，右顶点 $(1,0)$ 给 $a=1$ ，渐近线斜率 $b/a=\sqrt3$ 给 $b^2=3$ ，故 $C:x^2-y^2/3=1$ ， $c=2,F=(2,0)$ 。

由三角不等式 $MA+MF\ge AF=\sqrt{(3-2)^2+5^2}=\sqrt{26}$ ，等号须 $M$ 在线段 $FA$ 上且在右支。

原思路以 $x=3$ 的曲线高度 $2\sqrt6<5$ 判断 $A$ 在不含焦点的一侧，不能仅把平面笼统说成“内外”便断定交点。实际设有限线段

M(t)=F+t(A-F)=(2+t,5t),\qquad0\le t\le1.

代曲线左式减1得 $g(t)=3+4t-(22/3)t^2$ 。 $g(0)=3>0,g(1)=-1/3<0$ ，连续性保证某 $t\in(0,1)$ 使 $g(t)=0$ ，而 $x=2+t>0$ ，确在右支。也可直接解得合法根 $t=(6+\sqrt{234})/22\in(0,1)$ ，另一根为负，不在线段内。

因此等号可达，最小值 $\sqrt{26}$ ，选B。A低于已证下界，C/D高于已达值。原示意图只帮助认线段与射线，不替代上述存在证明。