YouthNote

外观

正项等比与对数等差：定义域、还原及求和

约 1499 字大约 5 分钟

先确认每个实对数都有意义，再把固定公比变为固定差。对数等差可以反向恢复正项等比；求对数和时，常能用等差的下标关系绕开未知首项与公差。

一、知识点 概念与依据

1. 正项、合法底，是转换的起点

实对数 bn=log⁡canb_n=\log_c a_n 要求c>0、c≠1且每个aₙ>0。若正项等比列首项a₁>0、公比q>0，则

bn=log⁡c(a1qn−1)=log⁡ca1+(n−1)log⁡cq,b_n=\log_c\bigl(a_1q^{n-1}\bigr)=\log_c a_1+(n-1)\log_c q,

所以b是等差列，首项log_c a₁、公差log_c q。这不是因为两列同增或同减，而是乘法转加法、固定公比转固定差。

q=1对应公差0，是合法常数列；aₙ=1对应bₙ=0，也不妨碍等差定义。若0<c<1，对数随真数递减，增减方向甚至会反转，等差性仍成立。

2. 反向恢复，要把差还原成比

若所有 bn=log⁡canb_n=\log_c a_n 均有定义，且b为公差d的等差列，则

d=bn+1−bn=log⁡can+1an,an+1an=cd>0.d=b_{n+1}-b_n=\log_c\frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=c^d>0.

相邻比为不随n改变的正数，因此a为正项等比。每一项的正性由原实对数存在保证，不必另猜符号。

3. 对数和的两条路线

已知条件可用路线必须检查
可求a₁、q求b₁与公差，再用等差和 n(b1+bn)/2n(b_1+b_n)/2a₁>0、q>0、底合法
已知aᵣaₛ且r+s=1+n下标关系给b₁+bₙ=bᵣ+bₛ，再合并对数每个真数分别正、下标合法
已知b等差可直接用b的项和性质，也可先恢复a的公比b可含0，公差可为0

前n项和的n取正整数，有限列不越界。求和无需总是求出未知首项、公差，能由端点和确定就直接使用。

二、考点 方法与例题

1. 先由移位求公比，再转为等差求和

同公比使同一组项整体后移一位时，总和乘q。若用两组和相除求q，分母必须非零。得到首项、公比后，先核正项，再取对数。

例题 01 由两组项和确定对数数列

题目

设等比数列{an}\left\{ {a}_{n}\right\}满足a1+a3=10,a2+a4=5{a}_{1}+{a}_{3}=10,{a}_{2}+{a}_{4}=5，则log⁡2a1+log⁡2a2+⋯+log⁡2an={\log }_{2}{a}_{1}+{\log }_{2}{a}_{2}+\cdots +{\log }_{2}{a}_{n}= ________ .

答案与解析

解析

等比关系给a₂+a₄=q(a₁+a₃)。原给a₁+a₃=10≠0，故q=5/10=1/2。

再由a₁(1+q²)=10，得a₁=8。于是

an=8(12)n−1=24−n>0,bn=log⁡2an=4−n.a_n=8\left(\frac12\right)^{n-1}=2^{4-n}>0,\qquad b_n=\log_2a_n=4-n.

所有对数均合法，b为首项3、公差−1的等差列，因此

∑k=1nlog⁡2ak=n[3+(4−n)]2=−n2+7n2.\sum_{k=1}^n\log_2a_k=\frac{n[3+(4-n)]}{2}=\frac{-n^2+7n}{2}.

回核a₁=8、a₂=4、a₃=2、a₄=1，两组和分别10与5。n=1时和式给3，等于log₂8；b₄=0只是a₄=1，不是原数列出现零项。

本题结论

对数前n项和为−n2+7n2\dfrac{-n^2+7n}{2}。

2. 已知乘积时，直接锁定端点和

核实两个已知下标之和与所需首尾下标之和一致。实对数既然存在，每个真数已为正；利用等差下标关系和对数乘积公式得到端点和，再乘项数的一半。

例题 02 不求首项、公差也能求和

题目

已知数列{an}\left\{ {a}_{n}\right\}、{bn}\left\{ {b}_{n}\right\}满足bn=log⁡2an(n∈N∗){b}_{n}={\log }_{2}{a}_{n}\left( n\in {N}^{*}\right).其中{bn}\left\{ {b}_{n}\right\}是等差数列，若a10a2013=2{a}_{10}{a}_{2013}=2，则b1+b2+⋯+b2022={b}_{1}+{b}_{2}+\cdots +{b}_{2022}= ________ .

答案与解析

解析

由bₙ=log₂aₙ在正整数下标均有定义，知aₙ>0。若b的公差为d，则

log⁡2an+1an=d,an+1an=2d>0,\log_2\frac{a_{n+1}}{a_n}=d,\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=2^d>0,

故a确是正项等比列。

也可直接在b中用等差下标关系：1+2022=10+2013=2023，所以

b1+b2022=b10+b2013=log⁡2(a10a2013)=log⁡22=1.b_1+b_{2022}=b_{10}+b_{2013}=\log_2(a_{10}a_{2013})=\log_2 2=1.

所求有2022项，和为2022×1/2=1011。

这里无需确定未知首项或公差。若走a列的乘积性质，则同样有a₁a₂₀₂₂=a₁₀a₂₀₁₃=2，取对数也得到相同端点和。

本题结论

所求和为1011。

三、坑点 边界与纠错

1. 两个负数乘积为正，仍不能分别取实对数

先核每个真数，再合并对数。只有乘积正，不足以使两个原对数合法；非法表达式不能靠合并变合法。

2. 乘法变加法，不是加法也变加法

合法时log_c(xy)=log_c x+log_c y；log_c(x+y)没有这一拆分法。两列同增同减也不是转换判据，应展示相邻比或相邻差的恒定性。