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外观

抛物线定值、定点与定直线的全参数证明

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参数不是只为计算方便，还要承载原题的合法范围；先保住所有条件，再消去它。

一、知识点 理解概念

1. 定值命题针对全部合法构型

定点、定值、定直线，是对原条件允许的全部运动位置都不改变的结论。画几种位置或代几个数，只能帮助猜测，不能代替证明。参数域包括哪些点必须不同、哪些斜率存在、哪些分母非零，都是命题的一部分。

2. 曲线参数把坐标差分解出来

对 y2=2pxy^2=2px、p>0p>0，点可统一写 T(t)=(t2/(2p),t)T(t)=(t^2/(2p),t)，t∈Rt\in\mathbb R，顶点 t=0t=0 也在内。两不同点的参数 s≠ts\ne t，故

Δx=(s−t)(s+t)2p,Δy=s−t.\Delta x=\frac{(s-t)(s+t)}{2p},\qquad\Delta y=s-t.

若 s+t≠0s+t\ne0，弦斜率为 2p/(s+t)2p/(s+t)；若 s+t=0s+t=0，横坐标相同，弦为真实竖直线，不能把它随意删掉。除端点差要先有两点不同，除坐标和要先有斜率存在。

3. 用韦达与恒等线式消参

右开口两点弦不水平，可写 x=my+bx=my+b，包括竖直 m=0m=0；联立

y2−2pmy−2pb=0,y1+y2=2pm,y1y2=−2pb.y^2-2pmy-2pb=0,\qquad y_1+y_2=2pm,\quad y_1y_2=-2pb.

先验 Δ>0\Delta>0，再把目标中的端点和积替换掉。若直线族最终整理为 y=k(x+a)+by=k(x+a)+b，这里 a,ba,b 是固定常数，则代 (−a,b)(-a,b) 对全部合法 kk 恒成立，故得定点。原参数没覆盖的竖直方向仍要另验证，不能把此有限斜率族误说成全部直线。

4. “落在定直线上”不等于“轨迹是整条线”

若只需证明动点 QQ 在某固定直线上，消参得到该线的方程即可。若声称完整轨迹，还需反向验证：线上每个候选点能否对应合法原构型，有没有零分母、重合点、切线或遗漏方向使某些点必须删除。必要性与覆盖性要分开说。

二、考点 方法与例题

方法：参数化、保条件、再消参

  1. 选覆盖合法运动的参数：曲线点用纵坐标参数，非水平两点弦用 x=my+bx=my+b。轴线或顶点能否排除，要由原题条件解释，不能为了计算方便删除。
  2. 把斜率相反、乘积或向量关系转成端点和积。乘分母前先证非零，约端点差前先证点不同；坐标和为0时保留竖直分支。
  3. 完整写出目标式，再逐步代约束消参数。定点还要将固定坐标代回恒等线式，定值要确认原式一直有意义。
  4. 定直线题先求交点参数坐标再消参；若还求完整轨迹，另给全部候选点的合法构型。

例题 01 相反斜率条件下的动弦

已知点P(1,2)P\left( 1,2\right)是抛物线CC：y2=2px(p>0){y}^{2}=2px\left( p>0\right)上的一点，点MM，NN是CC上异于点PP的不同的两点．

(1)求CC的标准方程；

(2)若直线PMPM，PNPN的斜率互为相反数，求证：直线MNMN的斜率为定值，并求出此定值．

答案与解析

（1）C:y2=4xC:y^2=4x。 把 P=(1,2)P=(1,2) 代入 y2=2pxy^2=2px，得 4=2p4=2p，所以 p=2p=2。

（2）定值为 −1-1。 设 PMPM 斜率 kk，PNPN 斜率 −k-k。题意已经要求两斜率存在；水平线 y=2y=2 只有 PP 一个交点，故 k≠0k\ne0。PP 处切线斜率是1，M,NM,N 都异于 PP，所以还须 k≠1k\ne1 且 k≠−1k\ne-1。上传KB指出原解只显列 k≠1k\ne1，这里把另一侧条件一并保留。

原解示意中的P、M、N和相应连线
原解示意中的P、M、N和相应连线

保留设线联立的原方法：PM:y−2=k(x−1)PM:y-2=k(x-1)，与曲线联立得

ky2−4y+8−4k=0,Δ=16(k−1)2>0.ky^2-4y+8-4k=0,\qquad\Delta=16(k-1)^2>0.

其中一个根是 yP=2y_P=2，由根积得 yM=(4−2k)/ky_M=(4-2k)/k。另一条线的参数为 −k-k，同理 yN=−(4+2k)/ky_N=-(4+2k)/k，所以 yM+yN=−4y_M+y_N=-4。

除法依据必须写清：M≠NM\ne N 给 yM−yN≠0y_M-y_N\ne0，而

xM−xN=(yM−yN)(yM+yN)4=−(yM−yN)≠0.x_M-x_N=\frac{(y_M-y_N)(y_M+y_N)}4=-(y_M-y_N)\ne0.

因此 MNMN 的斜率确实存在，且

kMN=yM−yNxM−xN=4yM+yN=−1.k_{MN}=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\frac4{y_M+y_N}=-1.

也可用端点参数直接核：另点 T=(t2/4,t)T=(t^2/4,t) 满足 t≠2t\ne2；PTPT 斜率存在还要求 t≠−2t\ne-2，此时 kPT=4/(t+2)k_{PT}=4/(t+2)。相反斜率给 4/(yM+2)+4/(yN+2)=04/(y_M+2)+4/(y_N+2)=0，乘非零分母即得同一关系 yM+yN=−4y_M+y_N=-4。结论覆盖全部合法 kk，并非读图猜测。

例题 02 焦点弦长度与两切线交点

已知抛物线CC：y2=4x{y}^{2}=4x.

(1)过抛物线的焦点，且斜率为3\sqrt{3}的直线l1{l}_{1}交抛物线CC于AA，BB两点，求∣AB∣\left| AB\right|；

(2)直线l2{l}_{2}过点P(2,0)P\left( 2,0\right)且与抛物线交于MM，NN两点，过MM，NN分别作抛物线的切线，这两条切线交于点QQ.证明：点QQ在定直线上.

答案与解析

（1）AB=16/3AB=16/3。 焦点 F=(1,0)F=(1,0)、准线 x=−1x=-1，给定直线 y=3(x−1)y=\sqrt3(x-1)。联立 y2=4xy^2=4x 得

3x2−10x+3=0,x1+x2=103,x1x2=1.3x^2-10x+3=0,\quad x_1+x_2=\frac{10}3,\quad x_1x_2=1.

两点横坐标为 1/3,31/3,3，纵坐标分别 −23/3,23-2\sqrt3/3,2\sqrt3，异号保证焦点在两端点间。因此

AB=AF+BF=x1+x2+2=163.AB=AF+BF=x_1+x_2+2=\frac{16}3.

原解焦点弦与准线的示意
原解焦点弦与准线的示意

（2）QQ 在定直线 x=−2x=-2 上。 过 P=(2,0)P=(2,0) 的水平轴线只有一个曲线点，不合两点条件。其余全部用 x=my+2x=my+2，m∈Rm\in\mathbb R，包括竖直线。联立得

y2−4my−8=0,Δ=16m2+32>0,y3+y4=4m,y3y4=−8.y^2-4my-8=0,\quad\Delta=16m^2+32>0,\quad y_3+y_4=4m,\quad y_3y_4=-8.

根积非零，两个端点都不是顶点，原法设有限非零切线斜率因此合法。设 MM 处切线为 y−y3=k(x−x3)y-y_3=k(x-x_3)，联立曲线得 ky2−4y+4y3−4kx3=0ky^2-4y+4y_3-4kx_3=0。重根条件及 y32=4x3y_3^2=4x_3 给

1−ky3+k2y324=(ky32−1)2=0,1-ky_3+\frac{k^2y_3^2}4=\left(\frac{ky_3}2-1\right)^2=0,

故 k=2/y3k=2/y_3，切线 y3y=2x+2x3y_3y=2x+2x_3；同理另一条是 y4y=2x+2x4y_4y=2x+2x_4。

原解中端点切线交点Q与弦MN的示意
原解中端点切线交点Q与弦MN的示意

两线相减，因 y3≠y4y_3\ne y_4 可除其差，得 yQ=(y3+y4)/2=2my_Q=(y_3+y_4)/2=2m。代回一条切线得

xQ=y4x3−y3x4y3−y4=y3y44=−2.x_Q=\frac{y_4x_3-y_3x_4}{y_3-y_4}=\frac{y_3y_4}4=-2.

故所求定直线为 x=−2x=-2。若进一步说完整轨迹，任取线上点 (−2,q)(-2,q)，取 m=q/2m=q/2，上述正判别式保证真实两端点与两切线交点，确得该点；因此这里轨迹恰为整条线，也包含 m=0m=0。图仅作构型示意，不从图中追加坐标或方向限制。

三、坑点 辨析与纠错

1. 两个另点条件要同时保留

相反斜率涉及两条线，排除一侧的切线参数不够；另点与固定点不同，还要结合“斜率存在”及水平线的交点情况判断。不能笼统说“异于固定点就保证所有分母非零”。约分后的简式看似恒定，也不赋予原式零分母处新的意义。

2. 特殊方向与完整轨迹不可省

坐标和为0可能只是竖直弦，不是无构型。参数法要么覆盖它，要么由题意排除并说明理由。证明“在某直线上”不自动证明每一点都能到达；声称整条轨迹时，必须反找合法参数并检查原条件。