题目指定删点时，比较的是两套数据。先更新均值，再分别比较方向、线性强弱及拟合误差。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

何为异常点，为什么不能任意删

相对于样本主要模式明显偏离的观测称异常点。可能是测量、录入问题，也可能是真实有意义的情况；不能只为提高 $|r|$ 删除真实数据。实际研究须检查原因，说明保留、删除两种结果与局限；题目明确指定才按该删除条件作数学比较。

两套样本分别中心化

删点通常改变样本量及两均值，必须分别计算 $\bar x,\bar y$ 和

$$S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2,\quad S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2,\quad S_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y).$$

剩余至少两对且两列不恒定才计算 $r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$。不能只从旧积和中扣该点旧偏差乘积，因其余点也换了中心。

比较目标	需比较
方向	新旧 $r$ 的符号
线性强弱	新旧 $\lvert r\rvert$
带符号数值大小	新旧 $r$ 本身，负相关增强可变小
原单位残差平方和	同一拟合定义及单位下另算，不仅看 $\lvert r\rvert$

最小竖直残差平方和

残差是观测 $y_i$ 减直线预测 $a+bx_i$，不是垂距。固定 $b$，记 $z_i=y_i-bx_i$、$\bar z=\bar y-b\bar x$，

$$\sum(z_i-a)^2=\sum(z_i-\bar z)^2+n(\bar z-a)^2,$$

因为 $\sum(z_i-\bar z)=0$，交叉项消失。故固定斜率时截距 $a=\bar y-b\bar x$ 最优，余下平方和

$$S_{yy}-2bS_{xy}+b^2S_{xx}=S_{xx}\left(b-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}.$$

当 $S_{xx}>0$，最小值为 $S_{yy}-S_{xy}^2/S_{xx}$，单位为原 $y$ 单位的平方。若 $y$ 放大 $c$ 倍且按相同含截距最小二乘重拟合，平方和放大 $c^2$ 倍，而非零正缩放不改 $|r|$；所以跨不同数据集、单位不能用强相关代替小平方误差。

同一单位、同一拟合类型删点时：旧线在剩余点上的平方和不大于原全点平方和；重拟合的最小值又不大于旧线在剩余点上的值。因此最小残差平方和不会增大，但未必严格下降，更不按固定比例变化。这个结论来自删点与重新最小化，不来自 $|r|$ 增大。

考点

依题指定对象完成比较

1. 实读原图坐标及删除的整对对象，核剩余数据量和非恒定条件。
2. 两批各算均值与三项和，不沿用旧中心。
3. 算 $r$ 后分开比较符号、绝对值、带符号大小。
4. 涉及残差另按同一单位和最小二乘定义求平方和；最后对应每个选项，不把本例结论推广成删点动作定律。

例题 01 去掉指定观测点

题目

已知5个成对数据$\left( x,y\right)$的散点图如下，若去掉点$D\left( 4,3\right)$，则下列说法正确的是（ ）

原题图image18

A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强

C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大

答案与解析

解析

图中五点完整为 $A(1,4),B(2,3.5),C(3,2.5),D(4,3),E(5,1)$。题定去D，分别计算：

量	删除前	删除后
数据量	5	4
$\bar x$	3	2.75
$\bar y$	2.8	2.75
$S_{xx}$	10	8.75
$S_{yy}$	5.3	5.25
$S_{xy}$	-6.5	-6.75
$r$	$-6.5/\sqrt{53}\approx-0.8928$	$-6.75/\sqrt{8.75\times5.25}\approx-0.9959$
最小残差平方和	$5.3-6.5^2/10=43/40$	$5.25-6.75^2/8.75=3/70$

两次均负，A错误；绝对值增大，B正确；最小残差平方和确实变小，C错误；$r$ 数值更负、变小，D错误。故选B。

C是按实际坐标和相同最小二乘口径复算，不以“线性更强”单独推出。相关系数不含单位尺度，而残差平方和随响应单位平方改变，不能跨数据集仅按 $|r|$ 排序它。其他删点数据可能有别的 $r$ 或 $|r|$ 变化，不能为追求更大系数随意删真实点。

本题结论

B

方向与强弱的对照题

两组相关系数完整题分别比较正负、绝对值和带符号数值；这些不同问题不因出现删点而合成一个判断。

坑点

新数据必须有新中心

删掉整对数据后重新计算剩余均值，不能仅扣旧偏差乘积。先保证两列仍非恒定，才比较合法的新系数。

不把方法变成想要结论的工具

不因删除某点便断言关联增强或 $r$ 增加；也不只为改善统计量删除真实点。检验可能的测量或录入原因，并报告敏感性和范围。

上一页相关系数的变换：配对、平移与缩放

下一页三列相关系数：界与可达性（拓展）