先固定所用模型，观测减拟合；再看全部残差的结构，而不只看一个零平均。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

有方向、有单位、依赖模型

在观测 $(x_i,y_i)$ 处，指定模型给拟合值 $\hat y_i$。残差

$$r_i=y_i-\hat y_i,\qquad y_i=\hat y_i+r_i.$$

残差	观测的位置	反求观测
正	拟合值上方	在拟合值上加正数
负	拟合值下方	直接加这个负数，不取绝对值
零	此点观测等于拟合	不代表所有点都吻合

残差与响应同单位。换模型、增删数据后重新拟合，都须用指定的新拟合值重算，不能沿用旧差值。正负可抵消，平方和 $SSE=\sum r_i^2$ 只记录总体偏离大小，不能由平方反推各点符号。

残差与真实随机误差

真实模型 $y_i=a+bx_i+e_i$ 中的 $a,b$ 未知；样本拟合用 $\hat a,\hat b$。因此

$$r_i=y_i-\hat a-\hat bx_i=e_i+(a-\hat a)+(b-\hat b)x_i.$$

残差是可计算的样本拟合偏离，不必等于精确真实误差 $e_i$。含截距OLS的 $\sum r_i=0$ 是代数性质，不表示各残差或真实误差皆0。

若先对正响应取对数 $z_i=\ln y_i$，对数尺度残差 $r_{z,i}=\ln y_i-\hat z_i$ 与原尺度残差 $r_{y,i}=y_i-e^{\hat z_i}$ 不同，不能混用或直接比较平方和。

读残差图

横轴取解释变量 $x_i$ 或拟合值 $\hat y_i$，纵轴取 $r_i$，先标0轴，再考察整组点的形状。

形状	可提示的问题或支持	不能据此宣称
0轴上下无明显规律、带宽较稳定	当前模型形式和稳定波动较合理	已证明模型真实或未来准确
系统弯曲	直线可能漏掉非线性结构	只因平均0就无问题
带宽随横轴扩大、呈扇形	恒定误差波动假定可能不合适	拟合系数公式算得出就无须检查
个别点很远	核查录入、测量与背景	未核查就删除真实观测

同一响应单位和相近背景下窄带表示样本偏离较小；厘米改米使带宽数字除100，并非模型变准。样本内残差小也不保证外推可靠。

考点

先求指定拟合值，再作差

1. 确定使用新线还是旧线，响应是原值还是变换值。
2. 参数不足时用足够信息恢复；增删样本先更新中心，还要核新斜率能否来自真实OLS。
3. 代入 $x_0$ 求 $\hat y_0$，作 $y_0-\hat y_0$ 并保留单位。
4. 反求观测用 $y_0=\hat y_0+r_0$，负号直接代入。代入前先核拟合值与残差使用相同单位。
5. 评价效果再看整组残差结构，单个差值不能代替整体诊断。

例题 01 加入两组成对数据

题目

已知由样本数据$\left( {x}_{i},{y}_{i}\right)\left( i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,8\right)$组成的一个样本，得到经验回归方程为$\hat{y}=2x+0.75$，且$\overline{x}=1.125$，增加两个样本点$\left( -2,5\right)$和$\left( 1,3\right)$后，得到新样本的经验回归方程为$\hat{y}=3x+\hat{b}$．在新的经验回归方程下，样本$\left( 3,8.7\right)$的残差为（    ）

A．$1.1$ B．$0.5$ C．$-0.5$ D．$-1.1$

答案与解析

解析

先核中心法的原题预期。 原8点 $\bar x=1.125$，$\bar y=2\times1.125+0.75=3$，总和分别9、24。加入两点后10点，总和8、32，新中心(0.8,3.2)。取题给新斜率3，截距 $3.2-3\times0.8=0.8$。在 $x=3$ 预测9.8，观测8.7的残差为观测减预测，$8.7-9.8=-1.1$，原预期D。反向核 $9.8+(-1.1)=8.7$；A倒置相减顺序，B/C不是此线下差值。

同时核样本能否产生两条OLS线。 记旧中心平方和为 $T\ge0$，旧斜率2要求旧中心积和 $2T$。于是旧原始量

$$\sum x_i^2=T+8(1.125)^2=T+10.125,\quad\sum x_iy_i=2T+8(1.125)(3)=2T+27.$$

新点加入平方和5、积和-7，再扣新均值项：

$$S_{xx}'=T+15.125-10(0.8)^2=T+8.725,$$

$$S_{xy}'=2T+20-10(0.8)(3.2)=2T-5.6.$$

故真实新OLS斜率应

$$\hat b'=\frac{2T-5.6}{T+8.725}=2-\frac{23.05}{T+8.725}<2,$$

不可能为题给3。强令等于3会得 $T=-31.775<0$，违反平方和非负。原条件不能同时来自一组普通OLS样本，-1.1只是在题给新线形式下的残差；中心法本身正确，但不足以验证数据可实现。

新残差依赖指定新线，不是原线的偏离。

本题结论

原题中心法预期D（-1.1）；严格OLS条件不相容

例题 02 手机销量的拟合与预测

题目

某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示：

时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.7	1.0	1.2	1.6

若y与x线性相关，且线性回归方程为$\hat{y}=0.27x+\hat{a}$，则下列说法不正确的是（    ）

A．由题中数据可知，变量y与x正相关

B．线性回归方程$\hat{y}=0.27x+\hat{a}$中，$\hat{a}=0.21$

C．$x=5$时，残差为0.06

D．可以预测$x=6$时，该商场手机销量约为1.81千只

答案与解析

解析

均值为 $(3,1)$，题给斜率0.27，截距 $\hat a=1-0.27\times3=0.19$，所以B所写0.21错误，应选B。

A整体正方向正确。再按原表核 $S_{xx}=10,S_{xy}=2.7$，斜率恰为0.27。各月拟合值0.46、0.73、1.00、1.27、1.54，残差0.04、-0.03、0、-0.07、0.06，和0；C第五月残差0.06千只，即60只，正确。

D第六月预测 $0.27\times6+0.19=1.81$ 千只，即1810只，按模型继续适用的口径成立。样本只有1至5月，第六月是外推，不是实际销量承诺；各实际相邻增量并非恒0.27，恒定的是预测线的斜率。

本题结论

B

坑点

不把方向丢给绝对值

观测在拟合下方时残差为负；绝对值仅留距离。计算与解释残差都要核对单位，必要时先作单位换算。平方和不能恢复符号。

零平均不代表没有结构

比如关于横轴对称的一组U形残差仍可平均0。OLS零和是计算所保证的性质，不能作为线性模型合理的充分证据；真实误差与样本残差也不能混称。

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