一道综合题中，每次分类或抽样范围改变，都重新写清对象、规则和模型。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

从多组频数合并为二分类

先抄分类界点、单位及 $>,\ge$ 等符号，明确等于界点归哪类。仅当一个原组完全落在新类的一侧，才可把该组全部频数计入；跨界组只知道总数时，不能确定界点两侧人数。

互斥原组的频数可相加，不要求它们相邻，但必须不重不漏。原分组若有空档或单位不一致，应保留给定计数进行题内运算并说明范围，不把未归类值自行消去，也不把题设界点当作已核验的实际标准。

后续抽样须重建范围

$H_0$ 问同一对象两个特征是否独立；后续试验问不同抽取事件是否独立。拒绝前者不会阻止独立放回抽样，未拒绝前者也不会让不放回抽样自动独立。

后续情形	先确定什么	计算方法
同一固定总体独立、等可能并放回	每次目标比例相同；是否只是样本估计	独立事件概率乘积
按比例分层后抽取固定名单	层内人数、总量、整数名额	先分配，再按新名单建模
固定名单等可能不放回	组成随抽取变化，目标取值范围	组合计数、条件概率或超几何分布

放回维持组成，独立抽取机制才给相乘理由。若用调查频率代替总体概率，结果应称估计。分层固定各取同样多，不说明来源总体权重各半；合并估计须使用实际权重或相应代表性条件。

考点

合并、检验与概率的顺序

1. 逐组核新分类规则，跨界组需要原始数据或补充条件，不擅自整组划入。
2. 各行分别相加，核新两类合计等于原行总量，再核全样本数。
3. 建总体独立假设，算卡方并比较指定档位，限定结论与近似前提。
4. 后半若只在某一类内抽人，先缩小样本空间，再计算组人数和比例。
5. 比例分层名额须整数；从固定名单不放回抽取，逐值列有利组合与总组合，检查互斥穷尽、概率和1，再求期望。
6. 分别解释检验中的独立与抽样机制中的独立，不能由一个小问直接挪用另一个模型。

例题 01 钢索分组与二分类检验

题目

（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从$A,B$机器内随机选取了40组（$A,B$各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表：

米数组别	0～20	21～50	51～80	81～100	$>100$
A	1	2	3	8	6
B	0	3	7	8	2

米数超过$80 cm$被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”．

(1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过$100 cm$的概率；

(2)根据题意完成下面的$2\times 2$列联表，并据此判断能否有$90\%$的把握认为“评定类型”与“组别”有关？

	优质	备选	总计
A
B
总计

附：${χ}^{2}=\frac{n{\left( ad-bc\right)}^{2}}{\left( a+b\right)\left( c+d\right)\left( a+c\right)\left( b+d\right)}$，其中$n=a+b+c+d$．

$P\left( {χ}^{2}\ge k\right)$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

答案与解析

解析

（1）按原表超过100的样本数为 $6+2=8$，合并样本频率 $8/40=1/5$。按原题的样本估计口径报告 $1/5$，但A、B固定各抽20组，整个工厂的两机器权重未知。若A的总体占比为 $w$，用两组频率估计合并概率应为

$$w\frac6{20}+(1-w)\frac2{20}=0.1+0.2w.$$

只有等权 $w=1/2$ 或其他已满足相应代表性条件时，该口径给0.2；题未给权重，不能把1/5当已知真实工厂概率。

（2）按题给“超过80”，将81～100和>100两组并为优质。A优质 $8+6=14$、备选 $1+2+3=6$；B优质 $8+2=10$、备选 $0+3+7=10$。

机器	优质	备选	总计
A	14	6	20
B	10	10	20
总计	24	16	40

令 $H_0$ 为总体评定类型与机器组别独立。期望两行均为 $(12,8)$，且

$$\chi^2=\frac{40(14\times10-6\times10)^2}{20\times20\times24\times16}=\frac53\approx1.667<2.706.$$

按 $\alpha=0.1$ 不拒绝 $H_0$，即没有题称“90%的把握”认为有关。不能把未拒绝改写为“零假设已成立、证明无关”；数据只是证据不足。

原题标题称“米数”，阈值却写cm，单位措辞混用，不能自行猜改为一个已经核验的工程标准。0～20、21～50等分组可按题给整数记录理解；若实际连续测量，则20到21等间隙需另补明确边界。本题仅合并原表已给的计数，不让未知或未分类数据悄悄消失。

本题结论

（1）按题给等额样本口径 $1/5$，总体权重另核；（2）$\chi^2=5/3$，不拒绝独立

例题 02 购车意向检验与两阶段抽样

题目

为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍．

(1)完善$2\times 2$列联表，请根据小概率值$\alpha =0.05$的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；

年龄段	购车意向		合计
	愿意购买新能源车	愿意购买燃油车
青年
中老年
合计

(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数$X$的分布列和期望．

附：${χ}^{2}=\frac{n{\left( ad-bc\right)}^{2}}{\left( a+b\right)\left( c+d\right)\left( a+c\right)\left( b+d\right)}$，$n=a+b+c+d$．

$\alpha$	0.05	0.01	0.001
${x}_{\alpha }$	3.841	6.635	10.828

答案与解析

解析

（1）青年125人，新能源:燃油为4:1，分别 $125\times4/5=100$、25。中老年 $200-125=75$ 人，2:1给50、25。

年龄段	新能源	燃油	合计
青年	100	25	125
中老年	50	25	75
合计	150	50	200

令 $H_0$ 为所研究消费者总体中购车意向与年龄类别独立。按题给公式，

$$\chi^2=\frac{200(100\times25-25\times50)^2}{125\times75\times150\times50}=\frac{40}{9}\approx4.444>3.841.$$

在给定0.05水平按题给规则拒绝独立，得到关联证据。原题仅称问卷调查200人，未明示随机样本；外推总体须核调查代表性，不能由检验得出年龄导致偏好。

（2）范围换成愿买新能源的150人，不是全部200人。青年100、中老年50，按题意作比例分层抽6人，固定分配4名青年、2名中老年。若采用不等比例分配，须另给分配方案，不能仍默认4和2。

再从这固定6人等可能不放回取2人，总组合 $\binom62=15$，青年数 $X$ 的取值为0、1、2：

$X$	0	1	2
有利组合数	$\binom22=1$	$\binom41\binom21=8$	$\binom42=6$
$P(X)$	$1/15$	$8/15$	$2/5$

概率和为 $(1+8+6)/15=1$，

$$E(X)=0\cdot\frac1{15}+1\cdot\frac8{15}+2\cdot\frac25=\frac43.$$

两青年概率也可用 $(4/6)(3/5)=2/5$，不能用 $(4/6)^2$，因为不放回后组成改变。前半拒绝年龄与意向独立，不改变后半固定名单的组合规则。

本题结论

（1）按题给0.05水平拒绝独立；（2）分布 $1/15,8/15,2/5$，期望 $4/3$

与放回抽样的对照

消防测试完整三问用样本良好率估计后续独立放回抽取的概率。需要复习基础时，可回到独立事件模型及超几何模型；是否适用仍由本题机制决定。

坑点

界点一改，合并未必可确定

整数记录中81～100和大于100均超过80；若改成不小于80，还需知道前一组恰好80的个数。若阈值切开一个组，整组频数不能提供所需细分。

条件范围与总体估计

愿买新能源者中青年比例与全部受访者中青年比例不同。样本频率估计也不是整个总体的精确概率；每次分母变更都必须说明选择范围，不能由样本等额分配默认总体等额。

上一页临界值、指定水平与结论边界

下一页1. 数学归纳法的逻辑：实际起点、任意递推与合法范围