对数图象：方向、反射与真实定义域

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看对数图象，不靠线条斜率猜底数。先找定义域、定点和边界，再分清固定底的输入变化与不同底的曲线排序；复合函数的各支性质必须回到原输入域核验。

底数	正侧全域方向	$0<x<1$	$x>1$
$a>1$	严格递增	输出负	输出正
$0<a<1$	严格递减	输出正	输出负

令 $y_i=\log_ax_i$ ， $0<x_1<x_2$ ，便有 $a^{y_i}=x_i$ 。若 $a>1$ 而 $y_1\ge y_2$ ，指数递增会推出 $x_1\ge x_2$ ，矛盾，因此 $y_1<y_2$ 。若 $0<a<1$ 而 $y_1\le y_2$ ，指数递减仍推出 $x_1\ge x_2$ ，矛盾，因此 $y_1>y_2$ 。方向由已学指数性质推得，不靠导数或示意角度。

每个实数 $y$ 都对应正输入 $x=a^y$ ，说明输出确实取遍所有实数，不只是无上界、无下界。 $a^0=1,a^1=a$ 给定点；比较输入与1再结合单调性，便得到输出符号表。输入0没有实对数，不能画纵轴交点。

2. 边界趋势不能当作边界取值

标准对数函数在正侧连续。 $a>1$ 时，输入从正侧趋近0，输出向负无穷变化；输入增大无界，输出也增大无界。 $0<a<1$ 时两端方向相反。这可由 $a^y=x$ 的指数变化解释：要让正输出 $a^y$ 趋近0或增大无界，指数 $y$ 必须沿对应方向变化。

也可不用极限计算理解“无界”：以 $a>1$ 为例，任意给定实阈值 $M$ ，当 $0<x<a^M$ 时有 $\log_ax<M$ ；当 $x>a^M$ 时有 $\log_ax>M$ 。这没有给0处定义一个函数值。纵轴是标准图象的边界，但复合式的边界应由其真数与分母重新求出。

3. 两种反射的轴不同

互为倒数的底数满足

\log_{1/a}x=\frac{\ln x}{\ln(1/a)}=-\frac{\ln x}{\ln a}=-\log_ax,

同一正输入输出互为相反数，所以两条对数曲线关于 $x$ 轴反射。

另一种是同底指数与对数的反函数关系： $a^{\log_ax}=x$ 对 $x>0$ 成立， $\log_a(a^t)=t$ 对全部实 $t$ 成立。若指数图象有点 $(t,x)$ ，对数图象就有点 $(x,t)$ ；坐标交换说明两条完整图象关于 $y=x$ 对称。

指数的输入实数、输出正数，恰好交换为对数的输入正数、输出实数。一般函数只有每个可达输出对应唯一输入时，才能把这次反求建立成函数。反函数符号 $f^{-1}$ 不表示 $1/f$ 。过点互化的直接例子见负输出与平移输入。

4. 多个底数应统一水平线或竖线比较

标准函数与水平线 $y=1$ 相交时， $\log_ax=1\iff x=a$ 。因此可以作出同一条辅助水平线，以交点横坐标的左右次序读底数顺序，不必测量精确长度。

若固定同一 $x$ 看高低，则 $\log_ax=\ln x/\ln a$ 。例如两底都大于1， $x>1$ 时分子正，底越大，正分母越大，商越小； $0<x<1$ 时分子负，方向相反。底跨过1或都小于1应再看分母符号，不能固定背“底大值小”。

编号可能放在曲线另一侧，应沿同一条曲线认到指定输入处，不能只看数字旁的局部高度。图中没有标明的坐标或倾角不能自行充当精确数据。

5. 复合式先找原域，再传递方向

对 $\log_a g(x)$ ，必须先满足 $g(x)>0$ ，还要保留 $g$ 自身的分母等限制。标准对数的“正侧全域”指真数变量，并不是说原变量 $x$ 一定正。

在原域某一区间上，若 $g$ 递增，底大于1时外层保持方向，底小于1时反向；若 $g$ 递减，结论相应反过来。这来自两次输入比较，不是不用条件的口令。

若原域有两支，各支都递减也不能直接称并集上递减；还须任取左支与右支输入，比较其输出。下面分式真数图象会给出各支递减、跨支却上升的具体情况。

二、考点方法与例题

1. 从真实定义域筛图，再核对参数能否同时成立

求真数正与分母非零的交集，找禁值边界和分支；由真数等于1求零点，标准函数还可用 $y=1$ 的交点读底。再在原域证明符号、奇偶与反射关系，奇性要先核域对称。最后逐图找具体冲突，剩下的图也要核方向及同一组参数是否兼容。只给区间位置就只能推出参数区间，不能造一个精确截距。

2. 复合单调区间须完整保留合法端点

先解 $g(x)>0$ ，再在该域按内层转折点分段。合法的转折点可能作为单调区间端点；真数为0的点却必须排除。题目给某个开放子区间成立，不代表最大单调区间绝不能含端点。

例题 01 分式真数的候选图象

题目

函数 $f\left( x\right)=\ln \left( 1+\frac{2}{x-1}\right)$ 的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

解析

真数 $1+2/(x-1)=(x+1)/(x-1)$ 。要求分母非零且整商正，得

D=(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

不仅 $x=1$ 禁止， $x=-1$ 使真数0也禁止。域关于原点对称，对域内输入

f(-x)=\ln\frac{x-1}{x+1}=-\ln\frac{x+1}{x-1}=-f(x).

两个商互为正数倒数，故图象关于原点对称。 $x>1$ 时真数大于1、函数正； $x<-1$ 时真数在0与1间、函数负。

A左右符号与中心对称均符合；B两侧符号倒置；C两支都正、D两支都负，不合所需奇对称。因此A。

各支上 $x_1<x_2$ 时，两个 $x_i-1$ 同号，由

\frac2{x_1-1}-\frac2{x_2-1}=\frac{2(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}>0

得内层递减，外层 $\ln$ 递增，故两支各自递减。但跨支例如−2<2，却有 $f(-2)=\ln(1/3)<\ln3=f(2)$ ，不能说整个并集递减。

本题结论

A；两支分别递减，不是原定义域并集上递减。

例题 02 平移曲线中的底数与横向参数

题目

函数 $f\left( x\right)={\log }_{a}\left( x+b\right)(a>0$ 且 $a\ne 1)$ 的图象如图所示，则必有（）

A． $a>1,1<b<2$ B． $0<a<1,1<b<2$

C． $a>1,-2<b<-1$ D． $0<a<1,-2<b<-1$

答案与解析

解析

内层 $x+b$ 递增，图中曲线上升，所以 $a>1$ 。设横轴交点为 $r$ ，图明示 $-1<r<0$ 。零输出要求 $r+b=1$ ，所以 $r=1-b$ ，由

-1<1-b<0

得到 $1<b<2$ ，选A。B、D的底小于1应为下降曲线；C的 $b$ 为负，与零点条件冲突。

图示纵轴截距还在0与1之间，故 $0<\log_ab<1$ ，在 $a>1$ 下得到 $1<b<a$ 。这是额外兼容关系，不是某个精确的 $a,b$ 值。原域 $x>-b$ 的边界满足 $-2<-b<-1$ ，也与图示范围相容。

本题结论

A，即 $a>1,1<b<2$ ；图中纵截距还给 $b<a$ 。

例题 03 沿曲线识别不同底数

题目

如图，①②③④中不属于函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x, y={\log }_{2}x, y={\log }_{3}x$ 的一个是（）

A．① B．② C．③ D．④

答案与解析

解析

底1/2的标准对数递减，底2、3的递增。固定同一 $x>1$ ，有 $\ln x>0$ 和 $0<\ln2<\ln3$ ，因此

\log_2x>\log_3x.

沿图中完整曲线看右侧上升支，较高者④为底2，较低者③为底3。由 $\log_{1/2}x=-\log_2x$ ，底1/2曲线是④关于横轴的反射，图中对应①。

故①、③、④分别属于底1/2、3、2，不在题列中的为②，选B；A、C、D分别排除已有对应的①、③、④，均不对。图上编号放在左侧，不能用编号附近的上下位置直接替代右侧曲线高度。

本题结论

B，即②。

例题 04 同图四条曲线的底数次序

题目

如图所示的曲线是对数函数 $y={\log }_{a}x$ ， $y={\log }_{b}x$ ， $y={\log }_{c}x$ ， $y={\log }_{d}x$ 的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（）

A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c

答案与解析

解析

上升的两条给 $a,b>1$ ，下降的两条给 $0<c,d<1$ 。可另作辅助水平线 $y=1$ ，每条曲线在该高度的横坐标恰是自身底数；由图中曲线延续，可得交点从左到右对应 $c,d,a,b$ ，其中 $c,d<1<a,b$ 。因此

0<c<d<1<a<b,

反写 $b>a>1>d>c$ ，选C。A把 $c,d$ 反置，B两组都反置，D把 $a,b$ 反置。

也可取右侧同一 $x>1$ ：上升支 $\log_ax>\log_bx$ 给 $\ln a<\ln b$ ，即 $a<b$ ；下降支 $\log_cx>\log_dx$ ，两分母均负，作差或同号倒数比较给 $\ln c<\ln d$ ，即 $c<d$ 。

原说明的图文修正：源图并未实际画出或标出 $y=1$ 水平线，它是可以添加的辅助线，不应称为原图已标注的线。排序来自函数关系与曲线位置，不是测量图上倾角或长度。

本题结论

C，即 $b>a>1>d>c$ 。

例题 05 二次真数的单调区间

题目

函数 $y=\lg \left( 10x-{x}^{2}\right)$ 的单调递增区间是（）

A． $\left( 0,5\right)$ B． $\left( -\infty ,5\right)$ C． $\left( 5,10\right)$ D． $\left( 5,+\infty \right)$

答案与解析

解析

先求 $10x-x^2=x(10-x)>0$ ，得到原域 $(0,10)$ 。内层配方

10x-x^2=25-(x-5)^2,

在轴5左侧递增、右侧递减；外层常用对数递增，保持内层方向。A的 $(0,5)$ 全在原域且递增，正确。B含 $x\le0$ 的非法输入；C在轴右侧递减；D还含 $x\ge10$ 的非法输入。

$x=5$ 真数25，合法；若求最大递增区间可写 $(0,5]$ ，最大递减区间可写 $[5,10)$ 。原题按开放区间列A，A当然成立，不能因此教成“5一定不能加入”。

本题结论

A；最大递增区间还可包含轴点，写 $(0,5]$ 。