截多面体与切整个空间，都先追踪平面之间的交线：一个要找出真实边界，一个要数新平面上的区域。

01 · 知识点概念、理由与条件02 · 考点方法与完整例题03 · 坑点边界与错因

一、知识点 理解概念

1. 截面边来自逐面的交线

三个不共线点确定一个截平面。当截面有正面积时，平面与凸多面体的交集是凸多边形，其边界由相应表面中的线段首尾闭合而成。通常截平面穿过几何体内部；若与几何体不相交、仅切于一点或沿棱相切而没有正面积，就不是这里讨论的正常多边形截面。三个已知截面点不一定就是全部顶点，不能只连出一个三角形便宣告完成。

同属一个面的两个不同截面点，确定该面上的截线。将截线延长得到的新交点仍在截平面内，可用来追踪下一个面的交线；但几何体外的辅助点不属于实际截面顶点。最后只取落在棱上的有效交点，按相邻面顺序闭合，核对每条边确实位于一个表面。

2. 新平面增加多少空间区域

不同的无限平面切割整个空间，原有每块都是若干半空间的交，因而是凸区域：连接块内两点的线段仍在块内。新平面若穿过其中一块，就把这块分成两块，净增一块。

旧平面在新平面上留下交线。新平面上每个截区的内部不越过任何旧平面，所以落在同一旧空间块内；不同截区至少位于某个旧平面不同侧，属于不同旧块。反过来，旧凸块与新面的相交部分仍是凸的，不会裂成两片被重复计数。因此：

$$\text{新增空间块数}=\text{新平面被旧交线分出的区域数}.$$

从没有平面的空间一块开始，第一个平面增加一块，得到两块。第二个不同平面若与前面平行，增加一块；若相交，新面被一条交线分成两区，增加两块。这种逐次计数避免从透视图上数“看见的块”。

二、考点 方法与例题

1. 先作闭合截面，再算真实边长

从同面两点起步，延长交线找辅助点，再换面确定新交线；只把体内边界上的点计入截面。算边长时回到实际的相似、垂直与长度关系，不量透视图。

例题 01 正四棱柱中的截平面

在正四棱柱$ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$中，$AB=2, A{A}_{1}=3$，$M, N$分别是$AB, AD$的中点，则平面$MN{C}_{1}$截该四棱柱所得截面的周长为（ ）

A．$7\sqrt{2}$ B．$9\sqrt{2}$ C．$5+3\sqrt{2}$ D．$5+5\sqrt{2}$

答案与解析

在底面内延长 $MN$，分别与 $CB,CD$ 的延长线交于 $T,E$。在侧面 $BCC_1B_1$ 内连 $TC_1$，交 $BB_1$ 于 $F$；在侧面 $CDD_1C_1$ 内连 $EC_1$，交 $DD_1$ 于 $Q$。连 $FM,QN$，实际截面为五边形 $C_1QNMF$。

截平面经过M、N、C1，借助体外T、E追踪五边形截面

这些连线都合法：$T,E$ 属于底面截线，也属于截平面；$T,C_1$ 同在一个侧面，$E,C_1$ 同在另一个侧面；$F,M$ 与 $Q,N$ 又各在相应侧面。$T,E$ 位于体外，仅作辅助，不能算入截面顶点。

$AM=AN=BM=1$，所以 $MN=\sqrt2$。底面中 $\triangle BMT\sim\triangle ABD$，由 $BM/AB=1/2$ 得 $BT=1$，故 $CT=3$。侧面中 $\triangle BTF\sim\triangle CTC_1$，于是

$$\frac{BF}{CC_1}=\frac{BT}{CT}=\frac13,\qquad BF=1.$$

矩形侧面内 $BM\perp BF$，故 $MF=\sqrt2$。由交换 $B,D$ 的对称性，$QN=\sqrt2$。又 $B_1F=D_1Q=2$，$B_1C_1=D_1C_1=2$，所以 $C_1F=C_1Q=2\sqrt2$。周长为

$$3\sqrt2+2\times2\sqrt2=7\sqrt2,$$

选 A，其他三个数值均不等于这五条真实边长之和。

为查漏棱，可取 $A=(0,0,0)$、$B=(2,0,0)$、$D=(0,2,0)$，竖直方向为 $z$ 轴。截面方程为 $z=x+y-1$。在底面 $z=0$ 上交出 $x+y=1$ 的线段 $MN$；在 $x=2$、$y=2$ 上分别交出 $FC_1,QC_1$；在 $y=0$、$x=0$ 上分别交出 $MF,NQ$；顶面 $z=3$ 只交于 $C_1$。因此没有遗漏其他截面边。

2. 按交线重合、平行或相交分类

第三个平面上至多出现两条不同交线，须分零条、一条、两条平行、两条相交，同时保留前两个面原有块数。若发现有一对平行面，可先把它们作为前两个面，以减少重复讨论。

例题 02 三个不同平面分割空间

若三个不同平面把空间分成$n$部分，则正整数$n$的值不可能是（ ）

A．8 B．4 C．6 D．5

答案与解析

三面位置可完全分成以下五类。若有一对平行面，前两行覆盖；若无平行面，两两相交，三条交线只能重合、平行不同，或交于同一点且不同，对应后三行。

位置	前两面块数	第三面上的分区数	最后总数
三面互相平行	3	1	4
两面平行，第三面与它们均相交	3	3	6
三面共一条交线	4	2	6
三面两两相交，三交线平行且不同	4	3	7
三面共一点，三交线不同	4	4	8

三个平面分空间的五种排布，图形只辅助辨认位置关系

为什么没有其他两两相交情形？在第三面中，前两面留下的两条交线若相交于 $P$，$P$ 也在前两面的交线上，故三条交线共点；若两线重合，则三面共线；若两线平行不同，前两面的交线不可能与第三面相交，否则交点要同时落在这两条不同平行线上，矛盾，故三交线平行。

所以可能的块数为 $4,6,7,8$。A 的 $8$、B 的 $4$、C 的 $6$ 都可以实现，D 的 $5$ 不可能，选 D。

用具体平面也可核对各类确能实现：$z=0,1,2$；$z=0,z=1,x=0$；$x=0,y=0,x+y=0$；$x=0,y=0,x+y=1$；$x=0,y=0,z=0$，依次对应表中五行。这只是存在性核对；所有情形的排除仍依靠上述分类证明。

三、坑点 辨析与纠错

1. 辅助交点不一定是截面顶点

错把体外的延长线交点计入，会增加虚假的边。应逐条核对：截面边既在截平面上，也在几何体表面内；顶点须在棱的有效线段上。正四棱柱例题中 $T,E$ 只帮助找线，真正的边界经过 $C_1,Q,N,M,F$。跨面随意连线不构成所选表面的交线；正四棱柱的真实直角也不会因透视画斜而消失。

2. 最大分区不能代替具体分区

三面共线时，新面上只有一条不同交线，不能按两条相交线增加四块；三交线平行且不同时，新面分三区，加上原有四块才是七块。平行、重合交线、多线共点都会减少一般位置的分区数。

本页计数针对不同的无限平面切整个空间，不要求各块等大。若改成切有限物体，新面可能根本没有穿过某些块，必须另查是否真正相交，不能直接照搬整个空间的块数。

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