集合的概念与表示

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集合把满足条件的对象作为一个整体；表示法把这些对象准确地交给读者。本章沿“对象是否确定—成员怎样辨认—数集范围—列举与描述互换”建立基本语言，为后面的集合关系和参数讨论作准备。

一、知识点概念与依据

1. 确定性、互异性与无序性

由一些确定的对象组成的总体叫作集合，其中每个对象叫作元素。对象可以是数、点、字母或其他含义明确的事物。通常用大写字母表示集合、小写字母表示元素，但实际身份由题意决定。

确定性指给定对象是否入选，已经由条件规定；不是要求我们立刻算出答案，也不是要求能列完所有成员。“大于 $1$ 的所有实数”无限但确定；“所有很小的正数”未给“小”的界限，尚未确定集合。到两个定点距离相等的点也有明确归属：不同定点对应垂直平分线；即便两点重合，条件仍然确定。

互异性指同一对象只算一次，无序性指成员列出次序不影响集合。 $\frac23=\frac69$ ，写在两个位置仍只贡献一个数； $\{1,2\}=\{2,1\}$ ，因为没有增删成员。去重不表示“不能构成集合”： $1,0,5,2/3,3/7,6/9,4/5$ 实际构成六元素集合。资料解析曾用没有列在这里的 $4/6$ 说明重复，正确核验应回到实际列出的 $6/9$ 。

只写三项不等于明说三个不同元素；若题干明确“有三个元素 $a,b,c$ ，且为三角形三边长”，才能推出三边两两不同，从而不是等腰三角形。参数取定后按实际值检查即可，成员随参数改变不等于标准不明确。

一个点是完整有序数对， $(1,2)\ne(2,1)$ ；无序的是多个点在集合中排列的先后，不是一个点内横纵坐标的顺序。

2. 有限、无限、空集与归属

成员数为有限非负整数的叫有限集；有无限多个不同成员的叫无限集。空集 $\varnothing$ 没有成员，数目为 $0$ ，也是有限集。标准明确却没有合法对象，得到空集；标准没有说清，则不能把它当空集。

例如大于 $0$ 且小于 $25$ 的偶数是 $2,4,\ldots,24$ ，共 $12$ 个； $x-1>0$ 的实数解有无限多个；平面内两条不同平行直线的交点集合为空；“所有伟大的人”则缺少统一标准，不能与前三类并列按个数判定。

$a\in A$ 表示 $a$ 是 A 的成员， $a\notin A$ 表示不是。列举式查完整对象是否等于某成员；条件式查对象范围、表达式合法性与全部条件。 $\{x\in\mathbb R\mid x>2\}$ 含 $3$ 与 $\sqrt5$ ，不含 $2$ 或 $0$ ；比较 $\sqrt5>2$ 用到两边非负且 $5>4$ 。不属于是完整否定，不是机械把严格大于改成严格小于。

属于问一个对象的身份，包含问一个集合每个成员的归属。集合本身也可以成为别的集合的元素，不能把“集合绝不能在属于符号左边”当规则。

3. 常用数集及其关系

符号	定义与边界
$\mathbb N$	自然数，本手册含 $0$
$\mathbb N^*$ 或 $\mathbb N_+$	正整数，不含 $0$
$\mathbb Z$	负整数、 $0$ 、正整数
$\mathbb Q$	$p/q$ ， $p,q\in\mathbb Z$ 且 $q\ne0$
$\mathbb R$	有理数与无理数

任意整数 $m=m/1$ ，所以整数也是有理数；每个有理数又是实数。由定义得到

\mathbb N^*\subseteq\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R.

这里 $\subseteq$ 表示每个成员也在后一个集合中。数类不是互斥标签， $2$ 同时属于上述五类；只知道是实数，却不能反推一定是整数。看表达式时先算整体值： $\sqrt4=2$ ， $\lvert-2\rvert=2$ 都是整数； $\pi$ 不是有理数。原表达式若分母为零或实数根号不合法，不能先当作实数再分类。

4. 有理数与无理数：结论的理由

有限小数可化为分母为 $10$ 的整数次幂的分数。设循环小数 $t=0.\overline B$ ，循环节长度为正整数 $k$ ，B 为该段数字组成的整数，移位后尾部相同，故

10^kt=B+t,\qquad (10^k-1)t=B,\qquad t=\frac B{10^k-1}.

因为 $10^k-1>0$ ，除法合法。有整数部分或有限不循环前段时，先分开这些部分，再处理循环尾部，不能因无限位就断言无理。

$\sqrt2$ 的无理性可用反证：假设 $\sqrt2=p/q$ 是最简正分数，则 $p^2=2q^2$ 。奇数平方为奇数，故 $p$ 为偶数；令 $p=2r$ ，代入得 $q^2=2r^2$ ，q 也为偶数，与最简矛盾。

$\sqrt3$ 同理：整数除以 $3$ 的余数为 $1$ 或 $2$ 时，平方都余 $1$ ；因此 $3\mid p^2$ 必有 $3\mid p$ 。若 $p^2=3q^2$ ，先得 $p=3r$ ，再得 $q^2=3r^2$ ，p、q 都被 $3$ 整除，仍与最简矛盾。 $\pi$ 无理是已有数学结论，其证明超出本章，不能凭观察若干位小数证明。

5. 列举法与描述法说的是同一批对象

列举法把所有不同的完整成员放进花括号。例如 $\{0,2,4\}$ 收三个数， $\{(0,2),(2,4)\}$ 收两个点。方程解集应列根，不列系数；交点集合应列完整坐标，不只列横坐标；重根或重复字母均只列一次。

描述法通常写成 $A=\{u\in D\mid P(u)\}$ ：u 是完整对象，D 是允许范围，P 是筛选条件，竖线读作“满足”。 $\mathbb R^2$ 是两个坐标均为实数的有序数对全体。条件出现两个字母，不等于必然收集数对，应读竖线前与题目所问对象。

输入和输出也要区分：参数 $t$ 取 $\{0,1,2\}$ ，输出 $3t$ 构成的是 $\{0,3,6\}$ ；不同参数可能给同一输出，最终仍须去重。

有限成员便于列举，多或无限成员常适合描述。省略号只有在生成规则已明确时才可用，不能据前几项猜任意规律。两种写法转换时，既要证明原成员全被收进来，也要证明新条件不会多收对象；这两个方向共同保证等价。

6. 范围、端点、坐标轴与原分母

“非负”“不大于”含等号，“正”“小于”不含。第一、三象限恰有 $xy>0$ ，坐标轴有 $xy=0$ ，所以“不在第一、三象限”是 $xy\le0$ ，不能漏轴。

余数表达的参数也有范围：被 $7$ 除余 $1$ 的正整数可写 $7k+1$ ，其中 $k\in\mathbb N$ ； $k=0$ 给合法的 $1$ ，负整数 k 给负数而被排除。若说被 $3$ 除余 $1$ 的所有整数，则写 $3n+1,n\in\mathbb Z$ ，不能排除负参数。

分式要求原分母非零，乘积分母的每个因子都必须非零。表示法改变或约分都不能解除原限制。韦恩图只直观表达成员、包含和运算，区域面积、圆半径和比例通常不代表元素个数，不能代替定义。

二、考点方法与例题

1. 判定确定性与数的归属

先核入选标准是否明确，再核题目附带的个数或性质。数值先化简，再按数集定义判断；原式属于/不属于、问正确/错误要最后再次核对。确定性不要求先查清所有成员，重复数值也不使集合失效。

例题 01 整句判断不能只看前半句

题目

给出下列说法：

①所有接近于 $0$ 的数构成一个集合；

② $2019$ 年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；

③高科技产品构成一个集合；

④所有不大于 $3$ 的自然数构成一个集合；

⑤ $1$ ， $0.5$ ， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ 组成的集合含有 $4$ 个元素．

其中正确的是（）

A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④

答案与解析

解析

①“接近”没有界限，③“高科技”没有统一判定标准，均不成立。②指定试卷的指定题型，标准明确；不需要先把试题全部查出才承认确定性。④成员是 $\{0,1,2,3\}$ 。⑤中 $0.5=1/2$ ，去重后仅 $1,1/2,3/2$ 三个成员，所以“含 $4$ 个元素”错误。

正确的是②④。A 多①；B、C 都含错误的③⑤；只有 D 符合。资料将⑤解释为“不能构成集合”不准确：这些数能组成集合，只是没有四个不同元素。

本题结论

选 D。

例题 02 错误关系的个数

题目

给出下列关系：① $\left| -2\right|\notin {N}^{*}$ ；② $0\notin Z$ ；③ $\sqrt{2}\in Q$ ；④ $-\frac{3}{2}\in R$ ；⑤ $1.\dot{2}\dot{1}\in Q$ .其中错误的个数是（）

A． $1$ B． $2$ C． $3$ D． $4$

答案与解析

解析

① $\lvert-2\rvert=2\in\mathbb N^*$ ，原“不属于”错误。② $0\in\mathbb Z$ ，原“不属于”错误。③ $\sqrt2$ 无理，原“属于 $\mathbb Q$ ”错误。④ $-3/2$ 是实数，正确。⑤两循环点标出循环节 $21$ ，所以 $1.\overline{21}=1+21/99=40/33$ ，为有理数，正确。错误共三条；A、B 少计，D 多计。

本题结论

选 C，错误的是①②③。

2. 从条件找齐成员，再列举

先读对象和范围，保留合法性；方程求全部不同根，交点联立方程。输入为整数时，整商可转成整数因数，正负因数要列全。逐个回代、筛选并去重；既要证明候选合法，也要说明没有遗漏。

例题 03 整数因数筛选

题目

已知集合 $A=\left\{ x\in N\left| \frac{3}{x-1}\in Z\right.\right\}$ ，则用列举法表示 $A=$ （）

A． $\left\{ -2,0,1,2,4\right\}$ B． $\left\{ -2,0,2,4\right\}$ C． $\left\{ 0,2,4\right\}$ D． $\left\{ 2,4\right\}$

答案与解析

解析

$x\in\mathbb N$ ，故 $d=x-1$ 为整数；原式要求 $d\ne0$ 。 $3/d\in\mathbb Z$ 等价于非零整数 $d$ 整除 $3$ ，于是 $d=-3,-1,1,3$ ，得到 $x=-2,0,2,4$ 。这些是全部整数因数，故候选没有遗漏。

按自然数范围删除 $-2$ ，余下 $0,2,4$ 代回原商分别为 $-3,3,1$ ，都合法。A 多了负数 $-2$ 和使分母为零的 $1$ ；B 仍多 $-2$ ；D 漏 $0$ 。

本题结论

选 C， $A=\{0,2,4\}$ 。

例题 04 数、根与交点

题目

用列举法表示下列集合．

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程 $2{x}^{2}-x-3=0$ 的实数根组成的集合C；

(4)一次函数 $y=x+3$ 与 $y=-2x+6$ 的图象的交点组成的集合D．

答案与解析

解析

（1）非负包含 $0$ ，不大于 $10$ 包含 $10$ ，所以 $A=\{0,2,4,6,8,10\}$ 。（2）质数大于 $1$ ，小于 $8$ 的质数是 $2,3,5,7$ ，所以 $B=\{2,3,5,7\}$ 。

（3） $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$ ，乘积为零给 $x=3/2$ 或 $x=-1$ ，代回均为零，故 $C=\{-1,3/2\}$ 。

（4）交点同时在两条直线上，故 $x+3=-2x+6$ ，解得 $x=1$ ，继而 $y=4$ 。另一方程也给 $y=4$ ，所以 $D=\{(1,4)\}$ 。这是一个点，不能拆成 $\{1,4\}$ 两个数。

本题结论

$A=\{0,2,4,6,8,10\}$ ， $B=\{2,3,5,7\}$ ， $C=\{-1,3/2\}$ ， $D=\{(1,4)\}$ 。

例题 05 重根、重复字母与两条坐标轴

题目

用列举法表示下列集合：

(1)方程 ${\left( x-1\right)}^{2}\left( x-2\right)=0$ 的解组成的集合；

(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；

(3)函数 $y=2x-1$ 的图象与坐标轴的交点组成的集合．

答案与解析

解析

（1）乘积为零意味着 $(x-1)^2=0$ 或 $x-2=0$ ，故根是 $1,2$ 。 $1$ 虽为重根，集合仍只列一次，解集为 $\{1,2\}$ 。资料称此为“一元二次方程”不准确，整个方程为三次；这里依据的是乘积为零。

（2）Welcome 的第二个 e 与第一个重复，保留大写 W，得到 $\{W,e,l,c,o,m\}$ ，共六个成员。

（3）与 $x$ 轴相交时 $y=0$ ，由 $0=2x-1$ 得 $(1/2,0)$ ；与 $y$ 轴相交时 $x=0$ ，得到 $(0,-1)$ 。两个点都要列出。

本题结论

依次为 $\{1,2\}$ ； $\{W,e,l,c,o,m\}$ ； $\{(1/2,0),(0,-1)\}$ 。

3. 从文字写出等价描述式

先写一个成员的类型和范围，再翻译全部条件。轴上点写坐标约束，图象点写原方程，余数写合法整数参数，分式写原分母非零。反向核验每个新成员都符合题意，用零值、负参数和坐标轴检查有无多收或漏收。

例题 06 点集与自变量集合

题目

用描述法表示下列集合：

(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；

(2)抛物线 $y={x}^{2}-4$ 上的点组成的集合；

(3)使函数 $y=\frac{2}{x-1}$ 有意义的实数x组成的集合．

答案与解析

解析

（1） $x$ 轴上的点纵坐标为 $0$ ，横坐标任意，写为 $\{(x,0)\mid x\in\mathbb R\}$ 。

（2）抛物线上的点同时满足实数平面范围和方程，写为 $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y=x^2-4\}$ 。不能只收集纵坐标值。

（3）收集的是实数输入 $x$ 。分母 $x-1\ne0$ 等价于 $x\ne1$ ，分子不产生额外限制，写为 $\{x\in\mathbb R\mid x\ne1\}$ 。每个这样的 $x$ 都能使原分式有意义，故并未多收。

本题结论

依次为 $\{(x,0)\mid x\in\mathbb R\}$ ； $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y=x^2-4\}$ ； $\{x\in\mathbb R\mid x\ne1\}$ 。

例题 07 否定条件与同一个未知数

题目

用描述法表示下列集合．

(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；

(2)所有被3除余1的整数组成的集合；

(3)使 $y=\frac{1}{{x}^{2}+x-6}$ 有意义的实数x组成的集合．

(4)方程 ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y+3\right)}^{2}=0$ 的解集．

答案与解析

解析

（1）第一、三象限的条件是 $xy>0$ ，不在其中就是 $xy\le0$ ，包含第二、四象限及全部坐标轴。因此集合为 $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid xy\le0\}$ 。

（2）任意整数被 $3$ 除余 $1$ 可写成 $3n+1$ ， $n\in\mathbb Z$ ；反向每个这样的整数也余 $1$ ，所以为 $\{3n+1\mid n\in\mathbb Z\}$ ，不能把参数限制为非负而漏掉负整数。

（3） $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ ，分母非零当且仅当 $x\ne-3$ 且 $x\ne2$ 。集合为 $\{x\in\mathbb R\mid x\ne-3\text{ 且 }x\ne2\}$ 。资料写 $x_1\ne2$ 、 $x_2\ne-3$ 容易造成误解，这里约束的是同一个 $x$ 同时避开两个数。

（4）实数的两个平方均非负，和为 $0$ 必须各为 $0$ ，得 $x=2,y=-3$ 。解集为 $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x=2,y=-3\}$ ，也就是单点集 $\{(2,-3)\}$ 。

本题结论

依次为 $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid xy\le0\}$ ； $\{3n+1\mid n\in\mathbb Z\}$ ； $\{x\in\mathbb R\mid x\ne-3\text{ 且 }x\ne2\}$ ； $\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x=2,y=-3\}$ 。