直线交点、降次与相切判别

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只有一个点不一定相切，先核方程次数才能正确比较参数集合。

一、知识点理解概念

真抛物线 $y^2=2px$ 、 $p>0$ 与有效直线可有0、1、2个公共点。切线是在曲线接触点的切线，不能只按“一个公共点”定义：与轴平行的直线也有唯一交点，却不是切线。弦必须有两不同端点，0点或1点不能套两根弦长公式。

本页“相交”可包括平行轴直线穿过曲线的单交点情形；这是上传KB采用的广义口径，不把单交点与相切强行等同。题问点数、相切或弦，先区分目标。

直线 $Ax+By+C=0$ 满足 $(A,B)\ne(0,0)$ 。当 $A\ne0$ 时，代 $x=-(By+C)/A$ 到曲线，乘非零 $A$ 得

Ay^2+2pBy+2pC=0,\qquad\Delta=(2pB)^2-8pAC.

每个实根 $y$ 决定唯一 $x$ ，所以根数就是点数： $\Delta>0$ 两点， $\Delta=0$ 一个二重根对应切线， $\Delta<0$ 无点。求有公共点用 $\Delta\ge0$ ，求弦端点须 $\Delta>0$ ，都以此二次分支为前提。

令曲线点 $T=(x_0,y_0)$ ， $y_0^2=2px_0$ ，其切线为

y_0y=p(x+x_0).

可不靠“一个点就是切线”说明：另一个曲线点用纵坐标 $s$ 表示，割线方向可取 $((s+y_0)/(2p),1)$ ，当 $s\to y_0$ ，方向趋于 $(y_0/p,1)$ ，得到上式。将曲线 $x=y^2/(2p)$ 代到线式左移项，

p(x+x_0)-y_0y=\frac12(y-y_0)^2\ge0,

曲线同侧接触且只有 $y=y_0$ 重根。反过来，一般式二次分支若 $\Delta=0$ ，重根 $y_0=-pB/A$ ，系数关系给 $C/A=y_0^2/(2p)=x_0$ ；原线化为 $x-(y_0/p)y+x_0=0$ ，恰是该点切线。

当 $y_0=0$ 时，上式为顶点切线 $x=0$ ，不是轴线 $y=0$ 。

$A=0$ 时，因有效直线 $B\ne0$ ，所以 $y=-C/B$ 为常数，平行于轴或与轴重合，代曲线得唯一 $x=C^2/(2pB^2)$ 。曲线的纵坐标能在此常数两侧变化，实际穿过此横线；其切线方向 $(y_0/p,1)$ 也不水平，故不是切线。

若用斜截式 $y=kx+m$ ，消元为

k^2x^2+(2km-2p)x+m^2=0.

$k\ne0$ 时才用二次判别式 $\Delta=4p(p-2km)$ ； $k=0$ 时为 $-2px+m^2=0$ ，一次系数非零，仍唯一交点 $(m^2/(2p),m)$ ，不能用二次韦达或重根判据。

$x=c$ 代曲线得 $y^2=2pc$ ： $c>0$ 两点， $c=0$ 顶点相切， $c<0$ 无点。一般式中已包含它；斜截式若用于全部直线分类则须另补。若题只问给定有限斜率参数的集合，就不把竖直方向编成所谓“无穷大斜率”。

上下开口交换坐标处理； $x=my+b$ 常可覆盖原竖直方向，但仍要核其遗漏方向是否符合原题，不能把换一种设法当自动全覆盖。

确认 $p>0$ 和直线有效，检查消元最高次系数：真正二次式才看判别式，一次式看非零一次系数。若化成常数 $0=0$ 或非零数等于0，须回原方程确认等价变形和退化情况，不能继续套二次公式。

每根须决定唯一另一个坐标并回代。目标是单交点则合并接触与轴平行分支；目标是切线则剔除轴平行穿过分支；目标是弦则保两不同点。最后按充分、必要、充要等逻辑量词比较完整集合，不能只找到一类充分条件就说它唯一。

直线 $y=2$ 与抛物线 ${y}^{2}=8x$ 的公共点的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．无数

答案与解析

代入 $y=2$ 得 $4=8x$ ，唯一解 $x=1/2$ ，公共点为 $(1/2,2)$ ，所以个数为1，选 B。A/C/D的0、2、无数均不符直接联立。

原思路也可看 $y=2$ 与横轴平行，应用一次消元的唯一交点结论。但这个点数并不表示相切：此处 $2p=8,p=4$ ，实际切线为

2y=4(x+1/2)\quad\Longleftrightarrow\quad y=2x+1,

其斜率2，与横线 $y=2$ 不同。直接把此切线代曲线得 $(2x+1)^2-8x=(2x-1)^2=0$ ，才是接触重根。

“ $k=\frac{1}{2}$ ”是“直线 $y=kx+1$ 与抛物线 ${y}^{2}=2x$ 只有一个公共点”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

联立 $(kx+1)^2=2x$ 得

k^2x^2+(2k-2)x+1=0.

$k=0$ ：二次项消失， $-2x+1=0$ 仍有唯一根，公共点 $(1/2,1)$ 。原线 $y=1$ 平行轴，不是切线。
$k\ne0$ ：才可用判别式。唯一根要求 $\Delta=(2k-2)^2-4k^2=4-8k=0$ ，得 $k=1/2$ 。此时二次式为 $(x-2)^2/4=0$ ，切点 $(2,2)$ 代两原方程均成立。

因此“只有一个公共点”的完整参数集为 $\{0,1/2\}$ ，而前提集合为 $\{1/2\}$ ，后者是前者的真子集。 $k=1/2$ 一定推出单交点，单交点不一定推出 $k=1/2$ （反例 $k=0$ ），所以充分不必要，选A。

B把方向反了；C漏降次 $k=0$ ；D否定了已成立的充分性。若只问相切才仅保 $k=1/2$ ，不能把这个不同目标偷换进原题。