部分圆、交点筛选与有限路线

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整圆只能给候选；原弧的符号、边界与有限路线共同决定答案。

一、知识点理解概念

1. 平方后的整圆，必须带回原符号与范围

例如

y=-\sqrt{r^2-(x-a)^2},\qquad r>0,

要求 $a-r\le x\le a+r$ 且 $y\le0$ 。平方得到 $(x-a)^2+y^2=r^2$ 只是必要条件；反过来，圆方程加 $y\le0$ 才能恢复负根号式，坐标区间也随圆方程成立。写成一组条件后，不能再丢掉其中的符号或指定弧段。

完整圆的 $\Delta\ge0$ 只给放宽后的候选交点。原对象若是根号曲线、绝对值分段或指定弧段，都要逐点回查所属部分、边界是否包含以及不同点个数。

2. 参数边界既可能是切点，也可能是弧端

直线族过固定点 $Q=(q_x,q_y)$ 时，若允许弧上点 $P=(x,y)$ 满足 $x\ne q_x$ ，斜率为 $(y-q_y)/(x-q_x)$ ；分母为零的竖直情形须另论。用弧上坐标限制找边界，不能只求完整圆的切线。

求到候选上下界之后，还要证明原弧上都能达到；若斜率函数在连接两个取界点的连续弧上连续，介值性保证两值之间都能取得。端点不属于原弧时不能擅自改成闭区间；图像只能提示位置，不替代这些证明。

3. 有限路线与圆盘覆盖，不是整条直线与圆周

圆周是等距点集；圆形监测区域则是距离不超过半径的圆盘。有限直线路线写为

X(t)=A+t(B-A),\qquad 0\le t\le1.

先解与圆周的边界参数，再判断圆盘内区间并与 $[0,1]$ 相交。即使整线有完整弦，也可能路线只走其中一部分或完全不经过；实际覆盖路程由合法区间决定。

建系先说明两轴互相垂直、正向及统一长度单位。恒速时，覆盖时间等于实际覆盖路程除以速度；km除以km/h得到h。瞬间通过含边界的进出点不改变时长。

二、考点方法与例题

1. 先约束曲线，再求参数并证明可达

原根号符号、定义域与弧范围先写清；将完整圆判别式仅作第一筛选，再逐根回代，或用弧上斜率函数直接求范围。切点、弧端点和所有中间值都要检查；“至少一个公共点”不能擅自改成“两个不同公共点”。

例题 01 直线与根号曲线的公共点

若直线 $y=kx-1$ 与曲线 $y=-\sqrt{1-{\left( x-2\right)}^{2}}$ 有公共点，则实数k的取值范围是（）

A． $\left( 0,\frac{4}{3}\right]$ B． $\left[ \frac{1}{3},\frac{4}{3}\right]$ C． $\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$ D． $\left[ 0,1\right]$

答案与解析

原曲线等价于 $(x-2)^2+y^2=1$ 且 $y\le0$ ，定义域 $1\le x\le3$ 。直线恒过 $C=(0,-1)$ 。原解借最低点 $B=(2,-1)$ 与左端点 $A=(1,0)$ 定位边界，下面补足坐标界与可达性的理由。

曲线上 $-1\le y\le0$ 且 $1\le x\le3$ ，所以

k=\frac{y+1}{x},\qquad 0\le k\le1.

最低点 $(2,-1)$ 给 $k=0$ ，确为原弧上的切点；左端点 $(1,0)$ 给 $k=1$ ，也在原曲线上。连接这两点的半圆弧连续，分母 $x\ge1$ 不为零，斜率函数连续，因此取遍 $0$ 与 $1$ 之间的所有值。故范围为 $[0,1]$ ，选 D。

如果只与完整圆比较，得到 $|2k-1|/\sqrt{k^2+1}\le1$ ；两边非负，平方化为 $3k^2-4k\le0$ ，只会给 $[0,4/3]$ 。其中 $(1,4/3]$ 的交点全在上半圆，不属于原曲线。A、B错误纳入这些值且漏原允许端部；C又漏 $(1/2,1]$ 。只有核回原半圆才不会过计。

2. 几何弦长与路线参数作两次相互核验

根据题给方向与长度建系，求整线圆心距和候选弦长；再写有限路线参数，解边界并求实际覆盖区间。两法得到同一路程后，用题给恒速换时间；若边界参数超出 $[0,1]$ ，先裁去路线未走的部分，不能直接沿用整弦。

例题 02 有限航线中的雷达监测时长

如图，已知一艘停在海面上的海监船 $O$ 上配有雷达，其监测范围是半径为 $25km$ 的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东 $30km$ 的 $A$ 处出发，径直驶向位于海监船正北 $40km$ 的 $B$ 处岛屿，速度为 $28km/h$ ．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（）

A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时

答案与解析

以海监船 $O$ 为原点，正东为 $x$ 正向、正北为 $y$ 正向，两轴互相垂直，长度单位km。题给 $A=(30,0),B=(0,40)$ ，监测圆周 $x^2+y^2=25^2$ ，内部连同边界为监测区域。

航线所在直线的截距式 $x/30+y/40=1$ ，即 $4x+3y-120=0$ 。圆心距 $d=120/\sqrt{4^2+3^2}=24<25$ ，所以整线截出弦。垂足 $H$ 平分弦，候选长度为

2\sqrt{25^2-24^2}=14\ \mathrm{km}.

还须核有限航线：写 $X(t)=(30-30t,40t)$ ， $0\le t\le1$ 。到原点距离平方为 $900-1800t+2500t^2$ ，边界方程

2500t^2-1800t+275=0.

$\Delta=1800^2-4\times2500\times275=490000$ ，故

t=\frac{1800\pm700}{5000}=\frac{11}{50},\ \frac12.

两根都在路线范围内。二次项为正，距离平方不超过 $625$ 恰在两根之间，所以实际完整覆盖区间为 $[11/50,1/2]$ ，两边界之间整条弦确实都被驶过。

$AB=\sqrt{30^2+40^2}=50$ km，参数差为 $1/2-11/50=7/25$ ，覆盖路程 $50\times7/25=14$ km，与半弦法相符。恒速 $28$ km/h，时间 $14/28=0.5$ h，选 C，其余时长不符。