离散分布列：取值事件与概率约束

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分布列把原试验的结果按数值归组。先列得全、分得清，再计算各组概率；总和为1只是检查，不是免去建模的捷径。

知识点

分布列为何非负且归一

有限离散变量 $X$ 的不同值为 $x_1,\ldots,x_n$ ，概率 $p_i=P(X=x_i)$ 。每个样本点恰有一个数值，所以这些取值事件两两互斥且覆盖样本空间。由概率公理得到

p_i\ge0,\qquad \sum_{i=1}^n p_i=1.

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
概率	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

列值必须覆盖模型全部结果的赋值。零概率项可加入作统一表示，“正概率支持”只指概率大于0的值。常量分布只有一个正概率值，概率为1；可列无限分布则以非负无穷级数和1，任意有限截断不能代替完整分布。连续模型也不能只用单点概率表代替区间分布。

一个数值不等于一个等可能样本点

原试验可能有许多样本点，同一个数值事件可能包含许多结果。离散不等于等可能，要先把 $X=x_i$ 翻译成原试验事件，再按实际机制求概率。等机会抽取的计数须统一有序或无序口径，不能分子有序而分母无序。

对任意数值集合 $S$ ，由互斥加法有

P(X\in S)=\sum_{x_i\in S}p_i.

计算区间概率时，先筛符合条件的列，再加概率；不能按数值大小、金额或实区间长度重新赋权。

考点

从完整事件分类建立分布

说明变量记录什么，逐个核可能值能否由合法试验实现。
写出每个值对应的事件；相同数值来自不同方案时，先合并方案。
用一致的身份、顺序与抽取口径计算各项概率。
核对端点、无成功结果、非负与概率和。单一事件概率不代替完整分布列。

例题 01 两枚骰子的偶数个数

题目

投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为 $X$ ，则 $X$ 的分布列为（）

A．

\begin{array}{c|cc} X & 1 & 2 \\ P & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}

B．

\begin{array}{c|cc} X & 0 & 1 \\ P & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}

C．

\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ P & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}

D．

\begin{array}{c|ccc} X & 0 & 1 & 2 \\ P & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}

答案与解析

解析

按通常相互独立的均匀骰子模型，36个有序点数组合等可能。两枚都奇有 $3\times3=9$ 种，两枚都偶也9种，恰一偶则有 $3\times3+3\times3=18$ 种。

$X$	0	1	2
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

故选C。A漏0，B漏2；D虽也和为1，却与各事件概率不符。每枚均匀本身只说明各自边际概率，联合计算采用相互独立的通常投掷模型。

本题结论

C。

例题 02 四张卡片中的偶数

题目

盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为 $X$ ．

(1)求 $P\left( X=1\right)$ ；

(2)求 $X$ 的分布列．

答案与解析

解析

（1）不计序的二元子集共 $\binom42=6$ 个。恰一偶可从2偶中选1、2奇中选1，共4种，所以 $P(X=1)=4/6=2/3$ 。

（2）两奇只有 $\{1,3\}$ ，两偶只有 $\{2,4\}$ ，各占 $1/6$ 。

$X$	0	1	2
$P$	$1/6$	$2/3$	$1/6$

三事件互斥且覆盖六种结果，概率和为1。

本题结论

（1）2/3；（2）分布列见表。

例题 03 两张购物奖券

题目

在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值 $X$ 的分布列，并求出 $P\left( 5\le X\le 25\right)$ 的值.

答案与解析

解析

10张不同身份的券中任抽2张，共 $\binom{10}2=45$ 个等可能子集。

（1）全不中奖有 $\binom62=15$ 种，至少中奖一次的概率为 $1-15/45=2/3$ 。

（2）按奖额列全部类型：

总额 $X$ /元	0	10	20	50	60
类型	两空	二等加空	两二等	一等加空	一等加二等
选法数	15	$3\times6=18$	$\binom32=3$	$1\times6=6$	$1\times3=3$
概率	$1/3$	$2/5$	$1/15$	$2/15$	$1/15$

选法和为45，概率和为1。一等奖仅一张，所以100元不可取。 $5\le X\le25$ 只包含10与20，因此 $P(5\le X\le25)=2/5+1/15=7/15$ 。

本题结论

（1）2/3；（2）完整分布见表，区间概率7/15。

先解归一，再筛每个概率

只有完整表才令概率和1；部分表只能要求已列和不超过1。解方程得到全部候选，再逐项代回检查非负。非负与和1共同保证每项不超过1。参数未必本身是概率，不能只因参数负就舍去；若要求每个值都以正概率出现，才需额外严格正性。

例题 04 四个取值的概率表

题目

下表是离散型随机变量 $X$ 的概率分布，则常数a的值是（）

\begin{array}{c|cccc} X & 3 & 4 & 5 & 6 \\ P & \frac{a}{2} & \frac{1}{6}+a & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}

A． $\frac{1}{6}$ B． $\frac{1}{12}$ C． $\frac{1}{9}$ D． $\frac{1}{2}$

答案与解析

解析

归一方程为

\frac a2+\left(\frac16+a\right)+\frac12+\frac16=1, \qquad \frac32a=\frac16,\qquad a=\frac19.

代回四项为 $1/18,5/18,1/2,1/6$ ，全部非负且和1。其他选项均不满足归一等式。

本题结论

C，a=1/9。

例题 05 含二次参数的分布

题目

设 $X$ 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 $P(|X|=1)$ 等于（）

\begin{array}{c|ccc} X & -1 & 0 & 1 \\ P & \frac{1}{3} & 1-2q & 3{q}^{2}-q+\frac{1}{3} \end{array}

A． $\frac{2}{3}$ B． $\frac{1}{3}$ C． $\frac{1}{4}$ D． $\frac{3}{4}$

答案与解析

解析

归一得

\frac13+(1-2q)+(3q^2-q+\frac13)=1 \iff (3q-1)(3q-2)=0.

候选 $q=1/3,2/3$ 。当 $q=2/3$ 时， $P(X=0)=-1/3$ ，不合法； $q=1/3$ 时各项均为 $1/3$ 。事件 $|X|=1$ 包含 $X=-1$ 和 $X=1$ 两列，所以概率 $1/3+1/3=2/3$ 。B只取一边，C、D均不是对应事件之和。

本题结论

A，2/3。