函数的界：是否取得、参数边界与统一上界

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把全部输出限制在某个数以下，并不表示能输出那个数。本单元先区分界与最值，再处理开区间参数和整个函数族共同遵守的界。

一、知识点概念与依据

1. 上下界限制所有输出，不承诺取等

设函数的定义域 $D$ 非空。若存在实数 $M$ ，使任意 $x\in D$ 都有 $f(x)\le M$ ，则称 $M$ 是一个上界；若存在实数 $m$ ，使所有 $f(x)\ge m$ ，则称 $m$ 是一个下界。同时有上下界，称函数有界。这里并不要求值域是闭区间：例如值域为 $(0,1)$ 时，0和1仍分别是下界、上界，两个数都未取得。

一个函数可以有很多界： $M$ 是上界，比它大的数也都是； $m$ 是下界，比它小的数也都是。界不必属于值域，更没有自动承诺它最接近全部输出。

最大值则还要求某个合法输入 $x_0$ 取得该上界： $f(x)\le f(x_0)$ 对全部输入成立。最小值同理。若实际最大值为 $A$ ，全部上界恰为 $[A,+\infty)$ ；若实际最小值为 $a$ ，全部下界恰为 $(-\infty,a]$ 。后一情形中，“下界能取的最大值”正是函数的最小值，不是函数的最大值。

2. 题设专用定义必须逐字翻译

有的题将“下界”专门定义成某个实际输出 $f(x_0)$ ，要求存在 $x_0\in D$ ，使全部 $f(x)\ge f(x_0)$ 。这实际上要求取得最小值，比通常“存在实数下界”更强。类比它的“上界”，就必须仍要求存在合法 $x_0$ ，使全部 $f(x)\le f(x_0)$ 。

不能把前一题的专用名称当作通用定义，也不能反过来用通用定义削弱题设。下面两题刻意保留两套原定义：先译成量词，再分别证明。不改变原题来制造一致。

3. 否定有界和否定最值，证据强度不同

“没有最大值”只需证明任何候选实际输出都能被另一个输出超过；函数仍可能有未取到的有限上界。“没有有限上界”则必须对任意实数 $M$ ，构造合法输入使 $f(x)>M$ ，这是更强的结论。下界与最小值同理。

只知道 $f(x)<1$ ，只能说明上方被1限制，不能推出没有下界。要反驳一个最小值候选，应当找更小的合法输出；要反驳全部有限下界，则对任意候选数作构造。

分段函数的一段没有有限上界，就已使全域没有上界；另一段有最大值，不能弥补这一缺陷。每段公式也要先去对绝对值，不能把相反的分支式误当成同一对象。

4. 开区间中的未取到界仍可约束参数

若恒成立条件化为 $c\le H(x)$ 对所有 $x\in D$ 成立，不能只看某个延长端值就宣布精确答案。应当分别证明：候选范围中的每个 $c$ 都小于等于全部实际 $H(x)$ ；范围以外的 $c$ 都能被某个合法输入反驳。

当所有 $H(x)>L$ ，但可任意接近 $L$ ，条件恰为 $c\le L$ ，允许 $c=L$ ，因为它仍低于每个实际输出。若“任意接近”尚未讲，可以直接用 $x=1-\varepsilon$ 等合法输入及明确的 $\varepsilon$ 范围证明必要性，无须借用导数或连续性。

5. 最大可用下界：先找实际最小值

在闭区间上，若已证明函数先减后增，就比较转向点与两端的位置：转向点在左方，整段增，最小值在左端；转向点在右方，整段减，最小值在右端；在内部，最小值在转向点。边界恰好重合时两种公式必须相同。

例如 $x+b/x$ （ $b>0,x>0$ ），对 $0<u<v$ ，

\left(v+\frac bv\right)-\left(u+\frac bu\right)=(v-u)\left(1-\frac b{uv}\right).

在 $(0,\sqrt b]$ 上 $uv<b$ ，所以严格减；在 $[\sqrt b,+\infty)$ 上 $uv>b$ ，所以严格增。不同输入保证乘积严格不等，端点本身不破坏单调性。把这个真实转向点与实际闭区间比较，而不是总把 $2\sqrt b$ 当作区间内的最小值。

6. 一个函数的界与整个函数族的统一界

“每个函数各自有上界”是对每个 $f$ 都存在一个可能随 $f$ 改变的数 $\delta$ ；“整个函数族有统一上界”则先找一个数 $M$ ，它同时限制所有符合条件的函数的所有输出。后一要求不能由前一句直接推出。

证明共同界时，先任取一个合格函数，使用它自己的 $\delta$ 和全体函数共有的结构推出统一结论。证明共同界最优时，要排除每个更小的候选；只需为每个候选找到一个合格函数、一个合法输入，不必让全部函数都违反候选。

题设若要求严格 $f(x)<M$ ，应按严格条件核验。统一界 $M$ 的最小值可以存在，而没有任何函数在任何输入取得输出 $M$ ，两种“最小、最大”讨论的对象不同。

7. 商函数严格增可以放大一个正输出

题设“ $p$ 阶增”若定义为 $f(x)/x^p$ 严格增，就先把这个商当作辅助函数，而不是认定 $f$ 本身增。幂与分母要合法；本页只在正输入讨论阶数1、2。

若 $f(x)/x^2$ 严格增，且某个 $\lambda>0$ 有 $f(\lambda)>0$ ，记 $C=f(\lambda)/\lambda^2>0$ 。任意 $x>\lambda$ 都有 $f(x)>Cx^2$ 。若这个 $f$ 有有限上界 $\delta$ ，取

x>\max\left\{\lambda,1,\sqrt{\frac{\max\{\delta,0\}}C}\right\},

便有 $f(x)>Cx^2>\delta$ ，矛盾。因此不能有正输出。若有零输出，严格增又使任何更大输入的商为正，恢复为正输出，仍矛盾。两步合起来才得到全部输出严格负；仅排除正输出只能得到非正。

二、考点方法与例题

方法一：把“界”写成量词，再证明必要与充分

先确认界是否必须是实际输出。按定义写全部输入的比较；分离参数前核乘除因子符号。得到候选后证明全部输入满足，并为被排除的参数构造反例。若还要求有界，不只证明上界，也补出一个有限下界。

方法二：先排正、再排零，最后排除更小统一界

任取函数，用它自身有限上界与共同增长性质反证；不能把每个函数各自的界当作同一个数。统一结论得到后，用具体合格函数验证最优性，并区分严格不等式与取得最大值。

对于定义在区间D上的函数 $y=f\left( x\right)$ ，若存在 ${x}_{0}\in D$ ，对任意的 $x\in D$ ，都有 $f\left( x\right)\ge f\left( {x}_{0}\right)$ ，则称函数 $f\left( x\right)$ 在区间D上有“下界”，把 $f\left( {x}_{0}\right)$ 称为函数 $f\left( x\right)$ 在D上的“下界”.

(1)分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；

$y=1-2x\left( x>0\right)$ ； $y=x+\frac{16}{x}$ $\left( 0<x\le 5\right)$ .

(2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数 $f\left( x\right)$ 在区间D上有“上界”的定义；并判断函数 $y=\left| x-\frac{16}{x}\right|\left( 0<x\le 5\right)$ 是否有“上界”，且说明理由.

答案与解析

解析

本题的“下界”必须是实际取得的最小值，“上界”类比必须是实际取得的最大值。

（1）对 $1-2x$ ，任取候选输入 $x_0>0$ ，再取 $x=x_0+1$ ，输出少2，所以没有最小值。原资料只用 $y<1$ 推出无下界，理由不成立；它只证明上方有界。事实上本函数连通常有限下界也没有：对任意实数 $m$ ，取 $x>\max\{0,(1-m)/2\}$ 即得 $1-2x<m$ 。

对 $x+16/x$ ，两项正且积16，故和至少8，等号当且仅当 $x=4$ 。它在 $(0,5]$ 内，所以有题设“下界”8。

（2）类比定义：存在 $x_0\in D$ ，对任意 $x\in D$ 都有 $f(x)\le f(x_0)$ ，称其有“上界”，并称实际输出 $f(x_0)$ 为这个“上界”。不能只写存在任意实数 $M$ 。

原绝对值式在 $0<x<4$ 为 $16/x-x$ 。对于任意 $M\ge0$ ，取

x=\min\left\{1,\frac8{M+2}\right\}.

此时 $0<x\le1<4$ ，且 $16/x\ge2(M+2)$ ，因此 $16/x-x\ge2M+3>M$ 。负候选 $M$ 更不可能限制非负输出。故没有任何通常有限上界，也就没有题设要求取得的最大值。

在 $[4,5]$ ，真实公式是 $x-16/x$ ，差为 $(v-u)(1+16/(uv))>0$ ，所以该段最大 $9/5$ 在5取得。但第一段已无上界，局部最大不能压住全域。原解析此处把增函数写成 $16/x-x$ ，实际该式减；应修正分支对象，原题全域无“上界”的结论不变。

本题结论

（1）前者没有，后者有，为8；（2）类比定义须取到最大值，所给绝对值函数没有。

例题 02 开区间上界与闭区间最大可用下界

题目

定义：设函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数 $x\in D$ ，有 $f\left( x\right)\le M$ ，则称函数 $f\left( x\right)$ 为有上界函数，M是 $f\left( x\right)$ 的一个上界；若 $f\left( x\right)\ge m$ ，则称函数 $f\left( x\right)$ 为有下界函数，m是 $f\left( x\right)$ 的一个下界.

(1)若函数 $f\left( x\right)={x}^{2}+cx-2$ 在 $\left( 0,1\right)$ 上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围；

(2)某同学在研究函数 $y=x+\frac{b}{x}\left( b>0\right)$ 单调性时发现该函数在 $\left( 0,\sqrt{b}\right]$ 与 $\left[ \sqrt{b},+\infty \right)$ 具有单调性，

（i）请直接写出函数 $y=x+\frac{b}{x}\left( b>0\right)$ 在 $\left( 0,\sqrt{b}\right]$ 与 $\left[ \sqrt{b},+\infty \right)$ 的单调性，不必证明；

（ii）若函数 $g\left( x\right)=\frac{{x}^{2}+2a}{x}\left( a>0\right)$ 定义域为 $\left[ 4,16\right]$ ，m是函数 $g\left( x\right)$ 的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值 $m\left( a\right)$ .

答案与解析

解析

（1）上界条件。本题使用通用定义，上界2不要求被输出。 $0<x<1$ ，于是

x^2+cx-2\le2\iff c\le\frac4x-x=H(x).

$H(v)-H(u)=-(v-u)(4/(uv)+1)<0$ ，并且

H(x)-3=\frac{(1-x)(x+4)}x>0.

因此所有 $c\le3$ 都充分。证明必要性：若 $c=3+\delta$ ， $\delta>0$ ，取 $\varepsilon=\min\{1/4,\delta/20\}$ ， $x=1-\varepsilon\in[3/4,1)$ 。这时

0<H(x)-3=\varepsilon\frac{x+4}x<10\varepsilon\le\frac\delta2<\delta,

所以 $H(x)<c$ ，原上界条件失败。完整范围为 $c\le3$ 。还要核“有界”的下方：对固定 $c$ ，有 $x^2+cx-2\ge\min\{0,c\}-2$ ，这是一个有限下界。因此并未只满足一半定义。 $c=3$ 时所有输出仍严格小于2，但2可以作上界，不能称为最大值。

（2）（i） $x+b/x$ 在 $(0,\sqrt b]$ 严格减，在 $[\sqrt b,+\infty)$ 严格增，差式依据见知识部分。

（ii） $g(x)=x+2a/x$ ，转向点为 $\sqrt{2a}$ 。闭域 $[4,16]$ 内的最小值是可用下界 $m$ 的最大值：

m(a)=\begin{cases} 4+\dfrac a2,&0<a\le8,\\ 2\sqrt{2a},&8<a<128,\\ 16+\dfrac a8,&a\ge128. \end{cases}

第一支转向点不超过4，整段增，最小在4；中间支转向点在内部，等号点 $x=\sqrt{2a}$ 合法；第三支转向点不低于16，整段减，最小在16。 $a=8$ 相邻公式都给8， $a=128$ 都给32； $a=0$ 被题设排除。每支都有合法输入取得该值，故任意更大的 $m$ 都在这个输入处失败，确为最大可用下界。

本题结论

（1） $c\in(-\infty,3]$ ；（2）先减后增， $m(a)$ 为解析所列三支。

例题 03 商函数的严格方向与函数族的共同限制

题目

已知函数 $y=f\left( x\right)$ 的定义域为D，对于任意 ${x}_{1},{x}_{2}\in D\left( {x}_{1}<{x}_{2}\right)$ ，均有 $\frac{f\left( {x}_{1}\right)}{{x}_{1}^{p}}<\frac{f\left( {x}_{2}\right)}{{x}_{2}^{p}}$ ，则称 $y=f\left( x\right)$ 为定义在D上“p阶增函数”

(1)若 $f\left( x\right)=2x+\delta$ ，函数 $y=f\left( x\right)$ 为定义在区间 $\left( 0,+\infty \right)$ 上的“1阶增函数”，求：实数 $\delta$ 的取值范围

(2)若 $y=f\left( x\right)$ 为定义在区间 $\left( 0,+\infty \right)$ 上的“1阶增函数”，且 $f\left( m\right)=p,f\left( n\right)=q,f\left( s\right)=r,f\left( m+n+s\right)=383$ ，其中 $0<m<n<s$ ，求证： $p+q+r<383$

(3)如果存在常数 $\delta$ ，对于任意 $x\in D$ ，都有 $f\left( x\right)<\delta$ ，则称 $y=f\left( x\right)$ 在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间 $\left( 0,+\infty \right)$ 上且有上界的“2阶增函数” $y=f\left( x\right)$ ，都有 $f\left( x\right)<M$ ，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.

答案与解析

解析

（1）辅助函数为 $f(x)/x=2+\delta/x$ 。对 $0<u<v$ 作差 $\delta(1/v-1/u)$ ，括号严格负，所以严格增当且仅当 $\delta<0$ 。 $\delta=0$ 为常数，不能混进严格增的范围； $\delta>0$ 则严格减。

（2）记 $S=m+n+s$ 。三个输入均正且都小于 $S$ ，故

\frac{f(m)}m<\frac{383}S,\qquad \frac{f(n)}n<\frac{383}S,\qquad \frac{f(s)}s<\frac{383}S.

分别乘正数 $m,n,s$ 不变向，再相加，得到

p+q+r<\frac{383(m+n+s)}S=383.

这里 $p,q,r$ 是本问三个输出的名字，不要把 $p$ 与定义中的阶数混为同一个求参对象。题给 $0<m<n<s$ 足以保证所需的正性，实际上此证明只使用三者正且各小于总和。

（3）任取一个有上界的2阶增函数，它有自己的有限上界 $\delta$ 。若某点输出正，令 $C=f(\lambda)/\lambda^2>0$ ；按知识部分的明确取值构造，得到 $f(x)>Cx^2>\delta$ ，矛盾。若某点输出0，任取更大正输入，严格增使商变正，从而产生正输出，仍矛盾。于是每个合格函数在所有正输入都满足 $f(x)<0$ ，统一 $M=0$ 有效；任何 $M\ge0$ 也都有效。

还须排除每个 $M<0$ 。取合格函数 $f(x)=-1/x$ （ $x>0$ ），有严格上界0，商 $-1/x^3$ 严格增：若 $0<u<v$ ，则 $u^3<v^3$ ，取倒数再取负号便有 $-1/u^3<-1/v^3$ 。取 $x=-1/M>0$ ，恰有 $f(x)=M$ ，违反严格 $f(x)<M$ 。

故所有统一候选为 $[0,+\infty)$ ，最小值0。只证明0有效不足以证明它最小；这里已经为任意更小候选给出反例。0是统一界的最小值，并没有说某个函数能取得最大输出0。

本题结论

（1） $\delta<0$ ；（2） $p+q+r<383$ ；（3）存在，全部 $M\ge0$ ，最小0。