向量加减：先接路径，再核箭头

约 2440 字大约 8 分钟

向量加法记录连续位移，减法则是加上相反向量。端点字母很多时，先找能首尾相接的路径；有公共起点时，差向量从后一项终点指向前一项终点。

一、知识点概念与依据

1. 三角形法则来自连续位移

从A到B，再从B到C，总位移从A到C，故

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

自由向量可以平移，因此求 $\vec a+\vec b$ 时，可将第二个箭头移到第一个箭头末端，再从总起点连向总终点。前一项终点与后一项始点相接，是判断能否直接连成路径的关键。

这个关系不要求A、B、C形成非退化三角形。同向或反向共线时仍可首尾相接，图形退化成直线不妨碍运算；点重合也按零向量处理。

若两个不共线向量从同一点O出发，以它们为邻边作平行四边形，从O指向对角顶点的对角线向量是和。另一条边恰能把第二个箭头平移到首尾相接位置，所以平行四边形法则与三角形法则一致。

2. 相反向量把减法转为加法

$-\vec b$ 与 $\vec b$ 互为相反向量，零向量的相反向量仍为零。定义

\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).

若 $\vec a=\overrightarrow{OA}$ 、 $\vec b=\overrightarrow{OB}$ ，由路径B→O→A可得

\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO} =\overrightarrow{BA}.

也可由 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$ 移项得到。公共起点减法的箭头从“减号后那一项的终点B”指向“减号前那一项的终点A”，不是按字母第一次出现的先后机械连接。

原创双面板教学图：AB与BC首尾相接得到AC；OA减OB得到从B指向A的BA

原创教学示意：红色表示第一项，蓝色表示第二项，绿色表示结果。左图把第二项接到第一项末端；右图两项从同一点出发，差向量由减号后那一项的终点指向前一项的终点。

3. 加法可交换，减法换序通常会反向

平行四边形的两个邻边交换角色，对角线不变，说明加法交换律；三个连续位移先合前两段或先合后两段，总起终点不变，说明结合律。共线或零向量情形也按同样的有向位移成立。

\vec a+\vec b=\vec b+\vec a,\qquad (\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c).

同时有 $\vec a+\vec0=\vec a$ 、 $\vec a+(-\vec a)=\vec0$ 。闭合路径的向量和等于零向量；减法则通常不交换， $\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b)$ 。移动一个带负号的项时，必须连同符号移动。

4. 模的相加与向量的相加不同

由三角形两边和不小于第三边，

|\vec a+\vec b|\le|\vec a|+|\vec b|.

两个非零向量同向时，连续路线没有转弯或折返，等号成立；若有一个为零，也直接取等号。两个非零向量反向时会抵消部分长度，不能把和的模当作两模相加。

5. 端点很多时改写为公共起点

任选O，路径O→A→B给 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$ ，所以

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.

这就是终点位置向量减起点位置向量。把所有箭头统一到同一起点后，只合并真正相同的位置向量，不能把不同向量的系数当同类项相加。

含数乘的式子还用到伸缩与加法的兼容性：实数乘向量仍为向量， $k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$ 、 $(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$ 。去括号时系数必须乘每一项，负号也一起分配；完整的数乘与共线条件见数乘与共线。

二、考点方法与例题

1. 先认始末点，再选择化简方式

表达式结构	优先方法	最后检查
首尾可接	依交换、结合律排成路径，逐段合并	总起点到总终点
公共起点相减	后项终点指向前项终点	箭头是否反了
字母杂、路径不明显	统一成终点位置向量减起点位置向量	只合并相同向量
含数乘括号	先分配系数，再归并或接路径	每个负号、每项总系数

先把减法改为加反向量，必要时识别闭合路径并消去其零向量；不应把两个有公共起点的“和”误当成首尾相接。

例题 01 连接三段位移

题目

化简 $\vec{AE}+\vec{EB}+\vec{BC}$ 等于（）

A． $\vec{AB}$ B． $\vec{CE}$ C． $\vec{AC}$ D． $\vec{BE}$

答案与解析

解析

E是第一项终点和第二项始点，故 $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}$ ；再与 $\overrightarrow{BC}$ 相接，得

\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

选C。A只保留前两段，遗漏BC；B、D的始末点不对应这条总路径，不能作为对任意这些点恒成立的化简结果。

本题结论

选C，结果为 $\overrightarrow{AC}$ 。

例题 02 逐项检查方向和结果类型

题目

下列命题中一定正确的是（）

A． $\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{AB}$ B． $\vec{AB}+\vec{BA}=0$

C． $\vec{0}-\vec{AB}=\vec{0}$ D． $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}$

答案与解析

解析

A：公共起点相减应为 $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ ，题中AB反向，不恒成立。

B： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec0$ ，结果是零向量，而原选项写实数0，类型不符，错误。

C： $\vec0-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ ，并非恒等于零向量，错误。

D：路径A→B→C→A闭合，和为 $\overrightarrow{AA}=\vec0$ ，一定正确。故选D。个别点重合时可能使A或C偶然成立，但题目问“一定正确”，不能用特殊情形代替恒等关系。

本题结论

选D。

2. 系数表与闭合链分别处理

纯字母向量的数乘式，展开后可分别累计每个向量的系数；两字母箭头的和则优先找链。不要为每一题强行画一个不存在的固定三角形，恒等运算对任意点的位置都成立。

例题 03 三种线性化简方式

题目

化简下列向量运算；

(1) $4\left( \vec{a}+\vec{b}\right)-3\left( \vec{a}+\vec{b}\right)-\vec{b}$ ；

(2) $3\left( \vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}\right)+4\left( \vec{c}-\vec{a}-2\vec{b}\right)$ ；

(3) $(\vec{AB}+\vec{MB})+\left( \vec{BO}+\vec{BC}\right)+\vec{OM}$ ．

答案与解析

解析

（1）先合相同括号的系数，

4(\vec a+\vec b)-3(\vec a+\vec b)-\vec b =(\vec a+\vec b)-\vec b=\vec a.

（2）展开时负号随各项保留：

3\vec a-6\vec b+3\vec c+4\vec c-4\vec a-8\vec b.

向量	系数计算	总系数
$\vec a$	$3-4$	$-1$
$\vec b$	$-6-8$	$-14$
$\vec c$	$3+4$	$7$

所以结果 $-\vec a-14\vec b+7\vec c$ ，第二括号中的 $-2\vec b$ 也必须乘4。

（3）利用交换律，把 $\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}$ 接成B→O→M→B闭合链，和为 $\vec0$ 。剩下 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ 。

也可完整接成A→B→O→M→B→C，总起点A、终点C，仍得AC，不要求各点形成某个特定多边形。

本题结论

（1） $\vec a$ ；（2） $-\vec a-14\vec b+7\vec c$ ；（3） $\overrightarrow{AC}$ 。