圆的两种方程与几何定位

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由距离定义得到方程，再按直径、三点或圆心限制选择最直接的方法。

一、知识点理解概念

1. 圆是到圆心的距离等于正半径的点集

在实平面中，圆是到固定点 $C(a,b)$ 的距离等于固定正数 $r$ 的所有点构成的集合， $r>0$ 。这里“圆”指圆周，不把圆内区域也算作圆上的点。

对 $P(x,y)$ ， $PC=r$ 两边非负，平方与开平方互相等价，所以标准方程为

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,\qquad r>0.

圆心决定位置，半径决定大小。括号按 $x-a,y-b$ 读坐标，右侧是半径平方，不是半径。

2. 一般式与标准式靠等价配方互换

展开两个平方得 $x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$ 。记 $D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2$ ，便是一般式

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.

反过来先移常数，再在两边同时补 $D^2/4+E^2/4$ ，因为 $x^2+Dx+D^2/4=(x+D/2)^2$ ，得到

\left(x+\frac D2\right)^2+\left(y+\frac E2\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}.

只有 $D^2+E^2-4F>0$ 才是真圆，圆心为 $(-D/2,-E/2)$ ，半径为右侧的正平方根。式子外形相似，不能替代正半径条件。

3. 三个待定数，不代表任意三个条件都唯一

三个不同且不共线的点唯一确定一个圆：圆心须在其中两条不同弦的垂直平分线上。两弦不平行，垂直平分线也不平行，交点唯一；取交点到任一给点的距离为半径，等距关系保证三点同圆，且半径不为零。

三个不同共线点不能同在真圆上：直线的参数式代入圆方程得到二次项系数为正的二次方程，最多两个不同实交点。若给定条件重复、互相矛盾，或是距离和切线等条件，则须具体核存在性与唯一性；不因凑够“三条件”就直接下结论。

二、考点方法与例题

1. 先选形式，再读准圆心、半径与平方

圆心半径明确或已知直径端点，优先标准式；多个圆上点，代一般式会得到关于 $D,E,F$ 的一次方程组。由一般式读圆心半径前，先完整配方并核右侧严格为正。

直径端点 $P_1\ne P_2$ 时，圆心是中点， $r=|P_1P_2|/2$ ，所以 $r^2=|P_1P_2|^2/4$ 。端点重合不形成本章正半径圆。

例题 01 以给定线段为直径的圆

已知点 ${P}_{1}\left( 2,7\right)$ 和点 ${P}_{2}\left( 8,5\right)$ ，则以 ${P}_{1}{P}_{2}$ 为直径的圆的标准方程是（）

A． ${(x-5)}^{2}+{(y-6)}^{2}=40$ B． ${(x+5)}^{2}+{(y+6)}^{2}=\sqrt{10}$

C． ${(x-5)}^{2}+{(y-6)}^{2}=10$ D． ${(x+5)}^{2}+{(y+6)}^{2}=2\sqrt{10}$

答案与解析

中点给圆心 $C=((2+8)/2,(7+5)/2)=(5,6)$ 。直径平方为 $(8-2)^2+(5-7)^2=40$ ，直径 $2\sqrt{10}$ ，半径 $\sqrt{10}$ ，故

(x-5)^2+(y-6)^2=10,

选 C。两个端点代回左侧均为 $10$ 。A把直径平方 $40$ 当半径平方；B、D既把圆心取成 $(-5,-6)$ ，右侧又不是所需半径平方。不能把 $r$ 、 $2r$ 、 $r^2$ 混用。

例题 02 一般方程中的圆心与半径

圆 ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-3=0$ 的圆心坐标和半径分别是（）

A． $\left( -1,0\right)$ 和 $\sqrt{2}$ B． $\left( 1,0\right)$ 和2 C． $\left( -1,0\right)$ 和2 D． $\left( 1,0\right)$ 和 $\sqrt{2}$

答案与解析

先移常数得 $x^2+2x+y^2=3$ ，两边同时加 $1$ ：

(x+1)^2+y^2=4.

圆心 $(-1,0)$ ，半径 $\sqrt4=2$ ，选 C。B、D的圆心横坐标取错号；A、D的 $\sqrt2$ 不是配方后的半径。原常数 $-3$ 也不意味着半径 $\sqrt3$ 。

2. 三点代一般式，差分消去常数项

先确认三点不同且不共线，再将全部点代入 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ ；两式相减常可消去 $F$ 。解出系数后配方，核正半径并回代全部点，不只核求解时使用的某一个条件。

例题 03 过三个给定点的圆

过三点 $A\left( 1,2\right)$ ， $B\left( 3,2\right)$ ， $C\left( 1,-6\right)$ 的圆的标准方程为（）

A． ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y+2\right)}^{2}=17$ B． ${\left( x+2\right)}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=17$

C． ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y+2\right)}^{2}=25$ D． ${\left( x+2\right)}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=25$

答案与解析

$AB$ 水平、 $AC$ 竖直，两线段都非零，三点不同且不共线，存在唯一圆。设一般式，代三点得到

\begin{cases}5+D+2E+F=0,\\13+3D+2E+F=0,\\37+D-6E+F=0.\end{cases}

第二式减第一式： $8+2D=0$ ， $D=-4$ ；第三式减第一式： $32-8E=0$ ， $E=4$ 。回第一式得 $5-4+8+F=0$ ，所以 $F=-9$ 。

一般式 $x^2+y^2-4x+4y-9=0$ 配方为

(x-2)^2+(y+2)^2=17,

圆心 $(2,-2)$ ， $r^2=17>0$ 。三点代回左侧分别为 $1+16,1+16,1+16$ ，均为 $17$ ，选 A。B、D圆心符号相反；C右侧 $25$ 不能让原三点在圆上。

3. 两圆点加圆心位置：先等距，再联立

两个不同圆上点的等距平方式相减，圆心坐标的二次项消去，得到弦的垂直平分线。再与指定圆心所在直线联立：相交时唯一定位，平行不同线时无解，重合时仍有多个圆心；若两给点相同，它们只算一个点条件，不能按不同弦处理。

定位后代任一给点求 $r^2>0$ ，写题目要求的标准式或一般式，回代所有点和圆心限制。出现多个合法圆时应全列，不凭图擅自删解。

例题 04 两圆点与圆心所在直线

已知圆 $M$ 经过 $P\left( 1,1\right)$ ， $Q\left( 2,-2\right)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l:x-y+1=0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A． ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y-3\right)}^{2}=5$ B． ${\left( x-3\right)}^{2}+{\left( y-4\right)}^{2}=13$

C． ${\left( x+3\right)}^{2}+{\left( y+2\right)}^{2}=25$ D． ${\left( x+3\right)}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=25$

答案与解析

设圆心 $M=(a,b)$ 、半径 $r>0$ 。原条件完整写为

\begin{cases}(1-a)^2+(1-b)^2=r^2,\\(2-a)^2+(-2-b)^2=r^2,\\a-b+1=0.\end{cases}

前两式等距：展开后分别为 $a^2-2a+1+b^2-2b+1$ 与 $a^2-4a+4+b^2+4b+4$ 。消平方项得 $2a-6b-6=0$ ，即 $a-3b=3$ 。

由 $a=b-1$ 代入得 $-2b=4$ ，所以 $b=-2,a=-3$ 。再算 $MP^2=4^2+3^2=25$ ， $r=5$ ，故

(x+3)^2+(y+2)^2=25,

选 C。回验 $MQ^2=5^2+0^2=25$ ，且 $-3-(-2)+1=0$ 。A、B虽各自的圆心在指定线上，但 $Q$ 到其圆心的距离平方为 $25,37$ ，不等于对应右侧 $5,13$ ；D把圆心纵坐标取成 $2$ ，不满足全部条件。