奇偶反射：补规则、补图与迁移单调最值

约 4248 字大约 14 分钟

一侧公式只能用于它声明的输入。先把未知输入反射到已知侧，再恢复输出，才能补全函数；迁移单调性还要跟踪输入顺序，求全域最值还要核查零点与跨段边界。

一、知识点概念与依据

1. 反射输入与恢复输出是两步

已知正侧 $f(t)=A(t)$ ，要算负侧 $x<0$ ，先写 $-x>0$ ，所以已知公式给的是 $f(-x)=A(-x)$ 。偶函数再用 $f(x)=f(-x)$ ，得到 $A(-x)$ ；奇函数再用 $f(x)=-f(-x)$ ，得到 $-A(-x)$ 。

每个输入都要替换，奇性还要对整个输出取负，包括常数与分母中的项；不能只改一次项。如果已知公式只覆盖正侧一小段，还须检查 $-x$ 真落在该段。定义域对称，不代表整侧公式已经给出。

图象也按点逐个对应：偶性把 $(t,y)$ 变成 $(-t,y)$ ，奇性把它变成 $(-t,-y)$ 。空点、实点与禁值随反射传递，不能只复制曲线的大致形状。

2. 零点与绝对值统一式单独验证

已知式只适用于 $x>0$ 时，不能直接把0代进去。若完整域含0且函数奇，则另有 $f(0)=0$ ；即使正侧公式趋近一个非零常数，也不能擅自添加连续性。若域不含0，不另外添零点。

例如正侧 $x^2-2x$ 的奇延拓在负侧为 $-x^2-2x$ ，含零时可统一为 $x(|x|-2)$ 。验证时正侧展开为 $x(x-2)$ ，负侧展开为 $x(-x-2)$ ，0处为0，三种情形都吻合；不是只试一个输入便确定统一式。

3. 反射区间会倒转输入次序

记 $-I=\{-x:x\in I\}$ ，例如 $[a,b)$ 反射成 $(-b,-a]$ 。开闭不变，但左右交换。

假设 $f$ 在 $I$ 递增，任取 $u<v$ 属于 $-I$ ，则 $-v<-u$ 属于 $I$ ，从而 $f(-v)<f(-u)$ 。若 $f$ 偶，直接变成 $f(v)<f(u)$ ，反射段递减；若 $f$ 奇，则 $-f(v)<-f(u)$ ，乘−1反向得到 $f(u)<f(v)$ ，反射段仍增。原段递减时同理反转首个不等式。

原段方向	奇函数反射段	偶函数反射段
增	增	减
减	减	增

“奇同偶反”是上述任意输入证明的结果，不是凭图猜方向。两段各自增减，并不证明跨两段也同向；若想并成大区间，跨段输入和合法零点必须另外比较。

4. 最值反射必须同时传递界与取到

若 $I$ 上最大值为 $M=f(t_0)$ ，则 $-I$ 中任意 $x$ 有 $f(-x)\le M$ 。偶性使 $f(x)\le M$ ，并在 $x=-t_0$ 取等，所以反射段最大值仍为 $M$ 。奇性使 $f(x)\ge-M$ ，并在同一反射输入取等，因此变成最小值 $-M$ 。

同理，原最小值 $m$ 在偶反射后保持最小值 $m$ ，在奇反射后变为最大值 $-m$ 。若原输出边界只可趋近而不能取得，反射后也不能冒称最值。取得输入必须仍属于反射区间，这些结论不依赖连续性。

求整个定义域的最值，须把所有段及其他合法输入的输出一起比较。奇函数在0为0，不保证正侧输出为正，也不保证左右曲线在原点相接；不能据此合并单调段。

5. 两个基本反射短例

指定值。奇函数正侧为 $x^2-3$ 时， $f(-2)=-f(2)=-(4-3)=-1$ 。直接代负2所得1只是正侧反射输入2的输出，遗漏整体负号；其余原候选−3、3也不是结果。求这个值不必先恢复全域规则。

偶函数保留整个输出。全实数域偶函数在非负侧为 $x^2-x-1$ ，则负侧 $f(x)=f(-x)=(-x)^2-(-x)-1=x^2+x-1$ 。原候选 $x^2-x-1$ 没变一次项， $x^2+x+1$ 错改常数， $x^2-x+1$ 两处都错；偶性不是把原正侧式直接延伸到所有输入。

二、考点方法与例题

方法一：范围、代入、输出、边界

写未知输入范围及其相反数的已知范围，完整代入局部规则，按奇偶性恢复输出，再另核0和分段端点。画图按明确坐标及原开闭反射，统一式则分正负与零逐段展开验证。

方法二：局部转向之后再核跨段

各侧先由一次、二次式或原图明确性质判增减，随后反射对应区间。要合并相邻段，取位于两段的任意有序输入直接比较；求最值须给全域界、取得输入，并检查原题要求的所有小问。

例题 01 把分段规则写成一个表达式

题目

已知 $y=f\left( x\right)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x\ge 0$ 时， $f\left( x\right)={x}^{2}-2x$ ，则在 $R$ 上 $f\left( x\right)$ 的表达式为（）

答案与解析

解析

当 $x<0$ ， $-x>0$ ，已知规则给 $f(-x)=x^2+2x$ 。奇性恢复整个输出， $f(x)=-x^2-2x$ 。当 $x\ge0$ 保留 $x^2-2x$ ，其中0输出0符合奇性。

所以统一式 $x(|x|-2)$ 在正负两侧分别展开为正确规则，选 C。A 在正侧一般把原式变为相反数；B 在负侧为 $-x^2+2x$ ，一次项符号不对；D 在负1处给−1，而正确值为1，故也不成立。

本题结论

C， $f(x)=x(|x|-2)$ 。

例题 02 完整规则、作图与单调区间

题目

定义在 $R$ 上的函数 $f\left( x\right)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时， $f\left( x\right)={x}^{2}-2x-3$ .

(1)求 $f\left( 2\right)$ 和 $f\left( -1\right)$ 的值；

(2)求函数 $f\left( x\right)$ 的解析式；

(3)作 $f\left( x\right)$ 的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.

答案与解析

解析

（1）求值。 $f(2)=4-4-3=-3$ ， $f(-1)=-f(1)=-(1-2-3)=4$ 。

（2）补全规则。 $x<0$ 时先算 $f(-x)=x^2+2x-3$ ，再取整体相反数；0在完整域中，由奇性单独确定。因此

f(x)=\begin{cases}-x^2-2x+3,&x<0,\\0,&x=0,\\x^2-2x-3,&x>0.\end{cases}

正侧公式并不适用于0，不能代出−3当零点值，也不能把负侧延长到0取3。

（3）作图、单调与值域。负侧配方 $4-(x+1)^2$ ，正侧配方 $(x-1)^2-4$ ，各顶点为 $(-1,4)$ 、 $(1,-4)$ 。原解析完整图如下，纵轴上两空心点不是函数值，原点实心才是实际零点。

两支关于原点对称的抛物线片段，负侧顶点为负1与4，正侧顶点为1与负4；纵轴上正负3为空心点，原点为实心点

两侧二次式分别给增段 $(-\infty,-1]$ 、 $[1,+\infty)$ 和靠近零的减段。要把两个减段合并： $-1\le x<0$ 时输出大于3，0处输出0， $0<x\le1$ 时输出小于−3，故任意跨0输入也严格递减。完整最大减区间是 $[-1,1]$ 。原资料用去掉顶点的开区间，同样是正确子区间；合法顶点可以收入，严格性不要求删端点。

正侧值域为 $[-4,+\infty)$ ：平方给下界且1取到，任意 $y\ge-4$ 取 $x=1+\sqrt{y+4}>0$ 可实现。奇反射后的负侧为 $(-\infty,4]$ ，再并上零输出，完整值域是 $\mathbb R$ 。

本题结论

（1）−3、4；（2）见完整三段式；（3）增段 $(-\infty,-1]$ 、 $[1,+\infty)$ ，减段 $[-1,1]$ ，值域 $\mathbb R$ 。

例题 03 从单侧图象确定完整增区间

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 是定义在区间 $\left[ {a}^{2}-6,a\right]$ 内的奇函数，且 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left( 0,a\right]$ 内的图象如图所示，则 $f\left( x\right)$ 的单调递增区间为（）

仅给正侧曲线，先降到横坐标a除以2处的横轴，再升向a；纵轴曲线端为空心点，a处有竖直虚线

A． $\left[ -2,-1\right]$ B． $\left[ -1,1\right]$ C． $\left[ -2,-1\right]$ 和 $\left[ 1,2\right]$ D． $\left[ 1,2\right]$

答案与解析

解析

完整域对称要求 $a^2-6=-a$ ，即 $(a+3)(a-2)=0$ 。候选−3会给左端3、右端−3，区间不合法，正侧 $(0,a]$ 也为空；故 $a=2$ ，完整域 $[-2,2]$ ，图中转向输入 $a/2=1$ 。

原图正侧 $(0,1]$ 递减、 $[1,2]$ 递增。奇函数反射保留方向，所以负侧 $[-2,-1]$ 递增、 $[-1,0)$ 递减。零点属于域，实际 $f(0)=0$ ；图上纵轴的空心点不能替代它，也不能由两半减段直接合并为跨0减区间。

按题目要求列全递增区间，选 C。A、D各只列出其中一段，若只问某个递增子区间它们确成立，但不是列全答案；B 含正侧的递减部分，不成立。

原资料勘误。所给资料答案栏为 C，解析也列出这两段，末句却写“故选A”。依据全部区间复算，末句字母应为 C。本轮以KB正文核算，没有另称见到原书页面。

本题结论

C， $[-2,-1]$ 和 $[1,2]$ 。

例题 04 由负侧规则恢复偶函数

题目

已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f\left( x\right)$ ，当 $x\le 0$ 时， $f\left( x\right)={x}^{2}+2x$ ．

(1)求 $f\left( x\right)$ 的解析式；

(2)写出 $f\left( x\right)$ 的单调区间；

(3)求出 $f\left( x\right)$ 的值域．

答案与解析

解析

（1）规则。当 $x>0$ 时 $-x<0$ ，所以 $f(x)=f(-x)=x^2-2x$ 。完整式为

f(x)=\begin{cases}x^2+2x,&x\le0,\\x^2-2x,&x>0.\end{cases}

零点由原负侧式给0，与正侧式的代数延伸一致，但仍按原条件分支。

（2）单调区间。负侧配方 $(x+1)^2-1$ ，正侧配方 $(x-1)^2-1$ 。负侧有

f(v)-f(u)=(v-u)(u+v+2)\qquad(u<v\le0).

两输入均不大于−1时第二因子严格负，均在 $[-1,0]$ 时严格正。正侧差为 $(v-u)(u+v-2)$ ，在 $[0,1]$ 严格负、 $[1,+\infty)$ 严格正；涉及0仍成立，因为其实际输出与式子一致。故最大增区间为 $[-1,0]$ 与 $[1,+\infty)$ ，最大减区间为 $(-\infty,-1]$ 与 $[0,1]$ 。原资料的开区间答案是这些正确区间的子区间，转向点不必排除。

偶函数的两支曲线在原点相接，在横坐标负1与1处均取得纵坐标负1，虚线标出这两个最低点

（3）值域。两段统一为 $(|x|-1)^2-1$ ，故输出不小于−1，在 $x=\pm1$ 取等。任意 $y\ge-1$ ，取 $x=1+\sqrt{y+1}>0$ 即实现输出 $y$ ，所以值域为 $[-1,+\infty)$ 。图中两个最低点与代数结论一致。

本题结论

（1）见两段式；（2）增 $[-1,0]$ 、 $[1,+\infty)$ ，减 $(-\infty,-1]$ 、 $[0,1]$ ；（3） $[-1,+\infty)$ 。

例题 05 线段与二次曲线的完整函数

题目

设 $f\left( x\right)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当 $0\le x<2$ 时，是线段 $OA$ ；当 $x\ge 2$ 时，图象是顶点为 $P\left( 3,4\right)$ ，且过点 $\left( 2,2\right)$ 的二次函数图象的一部分．

原题非负侧图象，从原点沿线段到A点2与2，再沿开口向下的抛物线经过顶点P点3与4后下降

(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数 $f\left( x\right)$ 的图象；

(2)求函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ 0,+\infty \right)$ 上的解析式；

(3)求函数 $f\left( x\right)$ 的单调区间和最大值．

答案与解析

解析

（1）补图。题设明确偶性，每个原图点 $(x,y)$ 对应 $(-x,y)$ 。点 $(2,2)$ 、 $(3,4)$ 分别反射到 $(-2,2)$ 、 $(-3,4)$ ，原点保持不变。原解析补全图如下。

原非负侧线段与抛物线关于纵轴反射补全，两个峰分别在横坐标正负3，高度4，原点为两线段接合点

（2）非负侧规则。线段所在直线经过原点与 $A(2,2)$ ， $y=kx+b$ 中 $b=0,k=1$ 。二次段顶点式为 $a(x-3)^2+4$ ，将合法点 $(2,2)$ 代入得 $a+4=2$ ，故 $a=-2$ 。因此

f(x)=\begin{cases}x,&0\le x<2,\\-2(x-3)^2+4,&x\ge2.\end{cases}

后一式展开是 $-2(x^2-6x+9)+4=-2x^2+12x-14$ 。2由右段定义且输出2，不能重复把它收入原左段。全域也可写 $|x|<2$ 时为 $|x|$ ， $|x|\ge2$ 时为 $-2(|x|-3)^2+4$ 。

（3）单调与最大值。 $[0,2)$ 一次式增， $[2,3]$ 为开口向下二次式的顶点左侧，也增。跨段取 $0\le u<2\le v\le3$ ，有 $f(u)=u<2\le f(v)$ ，所以确实能合成 $[0,3]$ 增；这一步不能由“各段都增”省略。 $[3,+\infty)$ 减。偶反射逆转方向，得到最大增区间 $(-\infty,-3]$ 与 $[0,3]$ ，最大减区间 $[-3,0]$ 与 $[3,+\infty)$ 。

线段输出小于2，二次段 $-2(|x|-3)^2+4\le4$ ，当且仅当 $|x|=3$ 取等，所以全域最大值4，在两个合法输入±3取得。三问的图、范围、规则及并列取等点均保留。

本题结论

（1）补图见解析；（2）非负侧两段式见解析；（3）增 $(-\infty,-3]$ 、 $[0,3]$ ，减 $[-3,0]$ 、 $[3,+\infty)$ ；最大值4在±3取得。