内部峰谷与区间：严格转向、值域实现和开端点

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最大值存在不等于先严格增后严格减，开区间也不等于没有最值。先从公式证明方向，再找实际取等点，最后限制整个区间的输出不越界。

一、知识点概念与依据

1. 内部峰是位置与两侧方向的共同要求

若题设要求在 $[m,n]$ （ $m<n$ ）中存在 $h\in(m,n)$ ，使函数在 $[m,h]$ 严格增、在 $[h,n]$ 严格减，那么三件事缺一不可： $h$ 严格在内部，左侧增，右侧减。

这当然使 $f(h)$ 成为最大值，但反向不成立：最大值在外端、最高处有平台、或多次升降，都不保证这个定义。先减后增对应谷，不是峰。 $h$ 同时属于两个闭段并不破坏严格性，单调比较只涉及两个不同输入； $h$ 若等于 $m$ 或 $n$ ，才因一侧没有长度而违反内部要求。

2. 配方寻找候选，再用距离证明两侧

二次式写成 $A(x-h)^2+k$ 。若 $A<0$ ，距离轴 $h$ 越远，输出越低，所以轴左侧严格增，右侧严格减； $A>0$ 则相反。需先保证 $h$ 落在实际区间内部，不能只认图上最高点。

内部峰给出最大值后，最小值仍要比较两外端。向下抛物线中，离轴更远的端点输出更低；左右等远时两端同时取得最小值。若题目要求完整值域，不仅要得到最大、最小，还要证明中间每个输出能由某个合法输入实现。

3. 高次式也可通过两点差证明方向

不必提前调用导数。例如 $f(x)=-x^3+tx$ ，立方差分解为

f(v)-f(u)=(v-u)\bigl[t-(u^2+uv+v^2)\bigr].

任取 $u<v$ 后第一因子正，比较括号即可。在正区间若候选 $h=\sqrt{t/3}$ ，左侧 $0<u<v\le h$ 使 $u^2+uv+v^2<3h^2=t$ ，所以增；右侧 $h\le u<v$ 使该和 $>t$ ，所以减。严格号来自输入不同，允许一个输入就是转向点。

参数边界还要检查候选是否退到区间外端。若已证明整段严格增或严格减，那么任何内部点都不可能同时满足两侧相反方向，不能把边界因子看似取零当成内部峰。

4. 开区间删去端点，不删去内部最值

开区间 $(m,n)$ 只排除两个输入。若最大或最小输出在内部峰谷处取得，它仍然可以有最大、最小值。因此不能说“只有闭区间才有最值”。

下面分段二次式的每个非转向内部点，都有沿严格变化方向更大或更小的邻近输出，不可能在那儿取得相应全局最值。因此要同时取得最大和最小，区间必须真正包含所需的内部转向点。

这个判别依据本题各段严格变化、转向点有限的具体结构；遇到常值段或不连续函数，要按实际规则另分析，不能把本页结论机械推广。

5. 夹住峰谷还不够，向两端延伸也不能越界

区间包含一个峰和一个谷后，还要控制其余输出。若向右延伸后出现高于内部峰的值，而外侧一直严格增，那么真正最高输出只能向被排除的右端靠近，内部就没有最大值。左侧以及最小值同理。

用与峰谷等高的方程求延伸界，筛选根属于哪一段、是否满足参数符号。区间端点恰好等于这个界可能允许：它虽然被排除，相同高低输出却已由内部点取得。端点范围的等号归属来自输出的实际取得位置，不照抄原区间圆括号。

6. 参数变号后重新排序，并作反向实现

参数正负会交换 $a,a/2,0$ 以及方程两根的次序。每一支先排位置，再选所属分段，不只把正参数答案中的字母改成负数。

从要求推出参数范围只是必要性；还需为范围内每个参数指出合法区间或证明所有输出都在目标界内，且取等输入属于原域。尤其在未知区间题中，应给出端点的反向构造，避免得到一段实际无法实现的参数。

二、考点方法与例题

方法一：三条件核峰，再补值域可达性

写清非退化区间、严格内部点及两侧方向。配方或作差寻找候选，按参数分支排除全增全减，再核外端最小值。值域指定时，既证界与取等，也用反解说明中间输出可达。

方法二：内部取等点与允许延伸界一起求

从分段式确定峰谷及其高度；要求开区间包含取等输入，接着解等高方程限制外侧延伸。每支核参数符号、根所在分支及边界等号，最后反向证明全部输出均不越界。

设 $y=f(x)$ 是定义在 $[m,n](m<n)$ 上的函数，若存在 ${x}_{0}\in (m,n)$ ，使得 $y=f(x)$ 在区间 $\left[ m,{x}_{0}\right]$ 上是严格增函数，且在区间 $\left[ {x}_{0},n\right]$ 上是严格减函数，则称 $y=f(x)$ 为“含峰函数”， ${x}_{0}$ 称为峰点， $\left[ m,n\right]$ 称为含峰区间．

(1)试判断 $y=-{x}^{2}+4x$ 是否为 $\left[ 0,4\right]$ 上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；

(2)若 $y=a{x}^{2}+bx+c$ （ $a\ne 0$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c\in R$ ）是定义在 $\left[ m,3\right]$ 上峰点为 $2$ 的“含峰函数”，且值域为 $\left[ 0,4\right]$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)若 $y=-{x}^{3}+tx(t\in R)$ 是 $\left[ 1,2\right]$ 上的“含峰函数”，求 $t$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1） $-x^2+4x=4-(x-2)^2$ ，在 $[0,2]$ 严格增，在 $[2,4]$ 严格减，且 $2\in(0,4)$ ，所以是含峰函数，峰点2。

（2）必要性。峰点2给 $a<0$ 、 $b=-4a$ ；最大值4在峰处，给 $c=4+4a$ 。因此 $f(x)=a(x-2)^2+4$ ，域为 $[m,3]$ ， $m<2$ 。

若 $m<1$ ，左端离2更远，最小为 $f(m)=0$ ，得 $a=-4/(m-2)^2\in(-4,0)$ 。若 $1\le m<2$ ，右端更远或等远，最小为 $f(3)=a+4=0$ ，得 $a=-4$ 。所以必要范围是 $[-4,0)$ 。

充分性与完整值域。对任意 $-4<a<0$ ，取 $m=2-2/\sqrt{-a}<1$ ；对 $a=-4$ 取 $m=1$ 。均有 $m<2<3$ ，两侧方向符合定义，峰高4，左端输出0，所有输出在 $[0,4]$ 内。任意 $y\in[0,4]$ ，取

x=2-\sqrt{\frac{4-y}{-a}}.

则 $m\le x\le2$ 且 $f(x)=y$ ，中间所有输出真实可达。因此每个候选都能实现，完整范围 $-4\le a<0$ ，不是只给必要条件。

（3）对 $1\le u<v\le2$ ，

f(v)-f(u)=(v-u)[t-(u^2+uv+v^2)].

总有 $3<u^2+uv+v^2<12$ 。所以 $t\le3$ 时整段严格减， $t\ge12$ 时整段严格增，均不满足内部峰。若 $3<t<12$ ，令 $h=\sqrt{t/3}\in(1,2)$ 。左闭段 $u<v\le h$ 使和小于 $3h^2$ ，输出差正；右闭段 $h\le u<v$ 使和大于 $3h^2$ ，输出差负，所以先严格增后严格减。

故完整范围 $(3,12)$ 。原解析证明完右侧却再次写成 $[1,h]$ 上减，应为 $[h,2]$ 上减；最终参数范围正确。这里完全使用差式，不把导数当作未经讲解的工具。

本题结论

（1）是，峰点2；（2） $[-4,0)$ ；（3） $(3,12)$ 。

例题 02 分段曲线在未知开区间上的最值

题目

已知 $a\in R$ ，函数 $f\left( x\right)=x\left| x-a\right|$ .

(1)当 $a=2$ 时，画出 $f\left( x\right)$ 的图象，并写出其单调增区间；

(2)设 $a\ne 0$ ，函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( m,n\right)$ 既有最大值又有最小值，分别求出实数m，n的取值范围（用a表示）.

答案与解析

解析

（1）先画实际分支。当 $a=2$ ，

f(x)=\begin{cases}-(x-1)^2+1,&x<2,\\(x-1)^2-1,&x\ge2.\end{cases}

左段经过原点，顶点 $(1,1)$ 属于该段，之后下降至 $(2,0)$ ；右段仅取 $x\ge2$ ，位于其抛物线顶点右侧，严格增，并在 $(2,0)$ 接合。

参数为2时，左侧抛物线经过原点，在横坐标1处转向，至横坐标2处接上向上增长的右支。

所以增区间为 $(-\infty,1]$ 与 $[2,+\infty)$ ，不能合成一个区间，因为1至2之间严格减。

（2）一般分段。

f(x)=\begin{cases}-(x-a/2)^2+a^2/4,&x<a,\\(x-a/2)^2-a^2/4,&x\ge a.\end{cases}

同支两输入之差为 $(v-u)(u+v-a)$ 或其相反数，依据与 $a/2$ 的位置可证明各段严格方向。非转向内部点附近总有更大或更小输出，不能在那里取得相应全局最值。

当 $a>0$ 。次序 $0<a/2<a$ 。内部峰是 $a/2$ ，高 $a^2/4$ ；在 $a$ 处左减右增，是谷，低0。因此两点必须属于 $(m,n)$ ，即 $m<a/2$ 、 $n>a$ 。

若 $m<0$ ，区间内负输入给 $f(x)=x(a-x)<0$ ，比谷值更低；这些负输入处仍严格增，向左总能取到更低值，内部无法取得最小值。因此 $m\ge0$ 。

右侧 $x>a$ 严格增。为不超过峰高，要求 $x(x-a)\le a^2/4$ ，即 $(x-a/2)^2\le a^2/2$ 。这一支的右界为 $d=(1+\sqrt2)a/2$ ，所以 $n\le d$ 。若 $n>d$ ，内部出现高于峰的值，右侧继续严格增，内部没有最大值。

必要范围为 $0\le m<a/2$ 、 $a<n\le d$ 。反向检查：内部两点 $a/2,a$ 都存在，左段与右段的全部输出均在 $[0,a^2/4]$ 中，所以最大、最小确由内部取得。 $m=0$ 、 $n=d$ 可以允许，因为被排除端点的相同高低输出已有内部来源。

当 $a<0$ 。次序 $a<a/2<0$ 。左段在 $a$ 左方严格增，右段在 $[a,a/2]$ 减、之后增。峰在 $a$ ，高0；谷在 $a/2$ ，低 $-a^2/4$ 。必须 $m<a$ 、 $n>a/2$ 。

若 $n>0$ ，内部正输入给 $x(x-a)>0$ ，超过峰且右侧仍严格增，无内部最大，所以 $n\le0$ 。

左侧 $x<a$ 不能低于谷，要求 $x(a-x)\ge-a^2/4$ ，即 $(x-a/2)^2\le a^2/2$ 。因 $a<0$ ，此支左界是 $d=(1+\sqrt2)a/2<a$ ，故 $m\ge d$ 。若 $m<d$ ，内部更低输出出现在严格增的左段，继续向左就更低，没有内部最小。

反向在 $d\le m<a$ 、 $a/2<n\le0$ 下，全部输出在 $[-a^2/4,0]$ ，且内部 $a,a/2$ 分别取得两端高度，因此充分。最终：

\begin{array}{c|c|c} &m\text{ 的范围}&n\text{ 的范围}\\\hline a>0 &[0,a/2)&(a,(1+\sqrt2)a/2]\\ a<0 &[(1+\sqrt2)a/2,a)&(a/2,0] \end{array}

两支自动保证 $m<n$ 。本问明确排除 $a=0$ ；补核退化式 $x|x|$ 在全实域严格增，在任何非空有限开区间均无最大、最小值，不能把两支公式直接套成退化区间。图只用来核对方向与标记，推导不依赖图的宽度或斜率比例。

本题结论

（1） $(-\infty,1]$ 、 $[2,+\infty)$ ；（2）按 $a>0$ 、 $a<0$ 的两支范围见解析。