等差等比交汇：对象辨认、合法根与混合求和

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先分清整列的类型与指定三数的关系，再把条件化成基本量方程。求出候选并不等于完成原题，必须回验正项、单调性、非零和下标。

一、知识点概念与依据

1. 整列类型与指定三数，分别记录

若a列等差，设aₙ=A+(n−1)d；若b列等比，设bₙ=Bqⁿ⁻¹，其中B≠0、q≠0。“a的三个表达式成等比”只约束那三个数，不会使整列a变成等比。表达式附加的常数属于该数，不可丢掉。

每个下标必须在原来的正整数范围内。如果下标本身由aₙ等表达式给出，先检查它确为合法正整数，不能只代形式通项。

2. 三数关系的双向条件

指定x、y、z的类型	可用等式	反向成立的必要边界
等差	x+z=2y	两边移项即y−x=z−y
等比	y²=xz	x、y、z必须全部非零，才能除得y/x=z/y

中项平方不能替代非零条件。列式若含1/q，先记录q≠0，再乘q；得到多项式的根仍只是原题的候选。

3. 正项与递增，先看范围与符号

无限正项等差中A>0、d≥0：若d<0，A+(n−1)d在足够大的正整数n处非正；d=0仍可全正。只有额外条件排除d=0，才能进一步说d>0。有限正项列可以d<0，应在规定范围内检查最小项，不能套无限列结论。

正项等比严格递增等价q>1。若首项负，符号会改变结论：B<0且0<q<1时bₙ₊₁−bₙ=Bqⁿ⁻¹(q−1)>0，反而递增。应回到每题的首项符号和全部候选，不因根正就保留，也不无理由删负公差。

4. 指数、对数与组合列，重新判断类型

a等差，c>0且c≠1时cᵃⁿ为正项等比，公比cᵈ；d=0时公比就是1。正项等比b允许取实对数，log꜀bₙ=log꜀B+(n−1)log꜀q为等差，其中B、q>0，c>0且c≠1。

若cₙ=aₙ+bₙ为等比，应先求cₙ，再写bₙ=cₙ−aₙ。b可以为0或变号，不能把三列都称等比。

5. 同一有限区间拆和，分别核公式分支

有限加法分配律给

\sum_{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^n a_k\pm\sum_{k=1}^n b_k.

右边每个原项都恰出现一次，因此两组必须同样从1到n。等差组首末平均乘项数，等比组由有限错位相减消去中间项：

\sum_{k=1}^n[A+(k-1)d]=\frac{n[2A+(n-1)d]}2,

\sum_{k=1}^nBq^{k-1}=\begin{cases}nB,&q=1,\\\dfrac{B(1-q^n)}{1-q},&q\ne1.\end{cases}

若幂为qᵏ而不是qᵏ⁻¹，首项须重新计算。乘积kqᵏ不是两个通项的和，不能用加法分配律直接拆开，通常另用错位相减。

二、考点方法与例题

1. 写三数、解全根、回验原条件

逐个写出指定三数，保留全部附加常数。
用尽量少的基本量列式，记下非零和定义域。
解出全部候选，逐项核正项、递增及下标范围。
用合法通项回构三数的实际差或比，确认反向成立。
第二问按新目标列的类型选求和公式，不沿用原列标签。

例题 01 指定三数关系与指数目标列

题目

1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正项等差数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足： ${a}_{1}=1$ 且 ${a}_{1}$ ， ${a}_{2}$ ， ${a}_{3}+4$ 成等比数列.

(1)求数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的通项公式；

(2)若数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 满足： ${b}_{n}={2}^{{a}_{n}}$ ， $n\in {N}^{∗}$ ，求数列 $\left\{ {a}_{n}+{b}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S}_{n}$ .

答案与解析

解析

（1）设aₙ=1+(n−1)d。指定的三个数是1、1+d、5+2d；成等比要求全非零且

(1+d)^2=5+2d\quad\Longrightarrow\quad d^2=4.

候选d=2与−2。原列对所有正整数是正项等差，只能先推出d≥0，并非仅凭“正项”就有d>0；再结合d²=4排除0及负根。具体地，d=−2已经使a₂=−1，不符合题意。

d=2给aₙ=2n−1>0，三数1、3、9非零，公比3，全部条件回验成立。

（2）bₙ=2²ⁿ⁻¹=2×4ⁿ⁻¹为首项2、公比4的等比列。两组各沿1到n：

S_n=\sum_{k=1}^n(2k-1)+\sum_{k=1}^n2\cdot4^{k-1}=n^2+\frac23(4^n-1).

n=1得3，等于a₁+b₁；n≥2时前和差为(2n−1)+2×4ⁿ⁻¹，恰为原目标通项。

本题结论

（1） $a_n=2n-1$ ；（2） $S_n=n^2+2(4^n-1)/3$ 。

2．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足： ${a}_{1}=1$ ， ${a}_{n+1}={a}_{n}+2\left( n\in {N}^{∗}\right)$ ，数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 为单调递增等比数列， ${b}_{2}=2$ ，且 ${b}_{1}$ ， ${b}_{2}$ ， ${b}_{3}-1$ 成等差数列.

(1)求数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ ， $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的通项公式；

(2)设 ${c}_{n}={a}_{n}+{\log }_{2}{b}_{n}$ ，求数列 $\left\{ {c}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 ${T}_{n}$ .

答案与解析

解析

（1）aₙ₊₁−aₙ=2、a₁=1，故aₙ=2n−1。设b公比q≠0，由b₂=2得到b₁=2/q、b₃=2q。

指定三数b₁、b₂、b₃−1成等差，给

4=\frac2q+2q-1\quad\Longleftrightarrow\quad2q^2-5q+2=(2q-1)(q-2)=0.

两候选2、1/2都非零。q=2时b₁=1、bₙ=2ⁿ⁻¹严格递增；q=1/2时b₁=4，正项列严格递减，不合原条件。因此只保q=2。回核指定三数1、2、3成等差，b₂确为2。

（2）bₙ>0，实对数合法，cₙ=(2n−1)+(n−1)=3n−2，首项1、公差3。因此

T_n=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{3n^2-n}{2}.

T₁=1，且Tₙ−Tₙ₋₁=3n−2，两个核查均与目标一致。

本题结论

（1） $a_n=2n-1$ ， $b_n=2^{n-1}$ ；（2） $T_n=(3n^2-n)/2$ 。

2. 和列已知类型，先还原目标再拆和

给a+b的类型并不等于给b的类型。先求两条已知类型的通项，再相减得到b；有限求和保持同一范围。用T₁核首项，用Tₙ−Tₙ₋₁核任意n≥2的目标项。

例题 03 由和列条件求另一列前和

题目

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ ， $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{1}=4$ ， ${b}_{1}=-2$ ， $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是公差为1的等差数列，数列 $\left\{ {a}_{n}+{b}_{n}\right\}$ 是公比为2的等比数列.

(1)求数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的通项公式；

(2)求数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 ${T}_{n}$ .

答案与解析

解析

（1）a列等差，aₙ=4+(n−1)=n+3。令cₙ=aₙ+bₙ，其首项4−2=2，公比2，故cₙ=2ⁿ。因此

b_n=c_n-a_n=2^n-n-3.

b₁=−2吻合；cₙ首项非零且相邻比2，原和列条件全部成立。b₁、b₂、b₃分别−2、−1、2，b本身不是等比，不能套等比和式。

（2）按原来的同一范围拆为两组：

\begin{aligned}T_n&=\sum_{k=1}^n2^k-\sum_{k=1}^n(k+3)\\&=2(2^n-1)-\frac{n[4+(n+3)]}{2}\\&=2^{n+1}-2-\frac{n(n+7)}2.\end{aligned}

这里指数组的首项是2，而非1。n=1得−2；n≥2时

T_n-T_{n-1}=2^n-\frac{n(n+7)-(n-1)(n+6)}2=2^n-n-3,

恢复目标通项。

本题结论

（1） $b_n=2^n-n-3$ ；（2） $T_n=2^{n+1}-2-n(n+7)/2$ 。