同一组数据先确定中心化和，再求斜率截距；精确结果与题目采用的近似路径明确区分。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

两种信息都还原到同一公式

对 $n$ 对观测，$\bar x=\sum x_i/n,\bar y=\sum y_i/n$。定义 $u_i=x_i-\bar x,v_i=y_i-\bar y$，含截距OLS为 $\hat y=\hat a+\hat bx$，

$$\hat b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad\hat a=\bar y-\hat b\bar x\quad(S_{xx}>0).$$

题给信息	平方和与积和	检查
逐点数据	$S_{xx}=\sum u_i^2,S_{xy}=\sum u_iv_i$	对象配对不乱，$\sum u_i=\sum v_i=0$
原始汇总量	$S_{xx}=\sum x_i^2-n\bar x^2,S_{xy}=\sum x_iy_i-n\bar x\bar y$	同一组样本量及数据，不混表
已中心化汇总量	直接用 $\sum u_i^2,\sum u_iv_i$	不能再扣原均值项

原始式来自

$$\sum(x_i-\bar x)^2=\sum x_i^2-2\bar x\sum x_i+n\bar x^2=\sum x_i^2-n\bar x^2,$$

$$\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum x_iy_i-\bar x\sum y_i-\bar y\sum x_i+n\bar x\bar y=\sum x_iy_i-n\bar x\bar y.$$

均值平方不可丢，$\sum x_i^2$ 也不能直接作含截距公式分母。$S_{xx}=0$ 说明解释变量全相同，只定共同位置的预测均值，不能唯一识别两系数；负值不是合法平方和，应查数据、录入、抄算和舍入。

中间舍入怎样影响截距

先保精确分数或足够有效位求斜率，再求截距，最后按题意舍入。若斜率提前产生误差 $\Delta b$，截距误差为 $\Delta a=-\bar x\Delta b$，大的 $|\bar x|$ 会放大影响。

核 $\hat a+\hat b\bar x=\bar y$ 可查符号与前后精度是否一致，但用同一个已舍入斜率反算截距也能过中心，不能仅凭过中心宣称系数精确。题目沿既定舍入路径选项存在时，不改题干或选项凑数，在解析区别原路径和规范最终舍入。

考点

从数据到方程再到预测

1. 认配对、样本量及给的是原始量还是中心量；不能两列独立排序。
2. 各求均值，逐点列表时核两偏差和0。
3. 求两项中心化和并核 $S_{xx}>0$，再按公式算系数，先不粗舍入。
4. 回代中心及每点残差 $r_i=y_i-\hat y_i$，至少核 $\sum r_i=0$（精确含截距OLS）。
5. 预测前核年份编号、时间、单位、定义域及样本范围；表达模型估计，不承诺实际值。

斜率正负表示整体拟合方向，不保证实际相邻增量恒定。全部 $x$ 相同不能用两均值捏造唯一直线。

五组原始表完整题列出每对偏差，完整验证斜率、截距及残差。

例题 01 手机销量的拟合与预测

题目

某品牌手机商城统计了开业以来前5个月的手机销量情况如下表所示：

时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.7	1.0	1.2	1.6

若y与x线性相关，且线性回归方程为$\hat{y}=0.27x+\hat{a}$，则下列说法不正确的是（    ）

A．由题中数据可知，变量y与x正相关

B．线性回归方程$\hat{y}=0.27x+\hat{a}$中，$\hat{a}=0.21$

C．$x=5$时，残差为0.06

D．可以预测$x=6$时，该商场手机销量约为1.81千只

答案与解析

解析

均值为 $(3,1)$，题给斜率0.27，截距 $\hat a=1-0.27\times3=0.19$，所以B所写0.21错误，应选B。

A整体正方向正确。再按原表核 $S_{xx}=10,S_{xy}=2.7$，斜率恰为0.27。各月拟合值0.46、0.73、1.00、1.27、1.54，残差0.04、-0.03、0、-0.07、0.06，和0；C第五月残差0.06千只，即60只，正确。

D第六月预测 $0.27\times6+0.19=1.81$ 千只，即1810只，按模型继续适用的口径成立。样本只有1至5月，第六月是外推，不是实际销量承诺；各实际相邻增量并非恒0.27，恒定的是预测线的斜率。

本题结论

B

例题 02 八组成对观测的汇总量

题目

为预测某种产品的回收率$y$，需要研究它和原料有效成分含量$x$之间的相关关系，若已知$y$与$x$之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知$\sum _{i=1}^{8} {x}_{i}=52$，$\sum _{i=1}^{8} {y}_{i}=228$，$\sum _{i=1}^{8} {x}_{i}^{2}=478$，$\sum _{i=1}^{8} {x}_{i}{y}_{i}=1849$，则$y$关于$x$的经验回归方程是（    ）

A．$\hat{y}=11.47+2.62x$ B．$\hat{y}=-11.47+2.62x$

C．$\hat{y}=2.62+11.47x$ D．$\hat{y}=11.47-2.62x$

答案与解析

解析

均值6.5、28.5，先算

$$S_{xx}=478-8\times6.5^2=140>0,\quad S_{xy}=1849-8\times6.5\times28.5=367.$$

精确系数

$$\hat b=\frac{367}{140},\qquad\hat a=28.5-\frac{367}{140}\times6.5=\frac{3209}{280}.$$

精度处理	斜率	截距
精确值	$367/140$	$3209/280$
两系数最后各留两位小数	2.62	11.46
先将斜率取2.62，再反算截距	2.62	11.47

题给A对应第三行，原选择A可按这一舍入路径理解；11.47不是精确截距。精确两系数约2.62142857、11.46071429，规范最后舍入得到11.46。其余B的截距符号、C交换截距斜率、D的斜率符号均不符。本题选项原样保留，不为匹配最终舍入静默改写A。

本题结论

A（按题目提前舍入路径；精确截距3209/280，最后舍入11.46）

例题 03 已中心化的数据汇总

题目

一组样本数据$\left( {x}_{1},{y}_{1}\right),\left( {x}_{2},{y}_{2}\right),\cdots \cdots ,\left( {x}_{n},{y}_{n}\right)$在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为$l$，满足：$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}=1,\overline{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} {y}_{i}=1$.令${u}_{i}={x}_{i}-\overline{x},{v}_{i}={y}_{i}-\overline{y}(i=1,2,\cdots \cdots ,n)$，得到新样本数据$\left( {u}_{1},{v}_{1}\right),\left( {u}_{2},{v}_{2}\right),\cdots \cdots ,\left( {u}_{n},{v}_{n}\right)$，且$\sum _{i=1}^{n} {u}_{i}{v}_{i}=4,\sum _{i=1}^{n} {u}_{i}^{2}=2$，则直线$l$的方程为（    ）

附：$\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}=\frac{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.$.

A．$\hat{y}=2x-1$ B．$\hat{y}=2x$

C．$\hat{y}=x$ D．$\hat{y}=x+1$

答案与解析

解析

$u_i=x_i-1,v_i=y_i-1$ 已中心化，均值0。题给 $S_{uu}=2>0,S_{uv}=4$，不再扣一次原均值项，因此中心坐标拟合式 $\hat v=2u$。

恢复两轴：$\hat y-1=2(x-1)$，即 $\hat y=2x-1$，选A。原截距 $1-2\times1=-1$，并非中心化坐标的0。B漏恢复常数项，C、D斜率不是4/2。代入中心(1,1)核A正确；正平方和也证原 $x$ 非恒定，除法合法。

本题结论

A

坑点

不重复中心化或丢掉平方

原始平方和与中心平方和不是同一个量。已经给偏差积和就直接用；原始量必须减含均值平方/积的正确项。0分母停止除法，负“平方和”先查错。

近似路径不能冒充精确系数

先舍入斜率会把截距一同改变；两系数一起过中心也不能证明斜率准确。保留中间精度到最后，若原选项依另一舍入路径，分别交代，不改条件凑答案。

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