原式定义域与复合输入范围

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定义域回答的是“哪些输入允许”，不是输出能取到什么。先逐层保留原运算条件，再把复合式的内层输出送入外层；逆向恢复外函数的定义域时，还须分清已经试到和从未试到的输入。

一、知识点概念与依据

1. 自然定义域与题目给定范围

函数定义域 $D_f$ 是允许输入形成的集合，属于函数本身。同一式子配上不同输入集合，通常是不同函数。只给实数解析式而无额外限制时，通常求使原式每步有意义的最大实数集合，称自然定义域。

题设另给区间、整数或现实范围时，运算可行还不够，必须同时符合题意。人数、件数不能丢整数限制；时间、长度端点是否收入按实际问题，不凭习惯推定。

定义域可以是有限集、一个区间、多个区间的并或删点集合。方括号收入该端点，圆括号不收；无穷不是可代入实数， $\pm\infty$ 旁只能圆括号。区间通常约定左端小于右端，单点情形须按题设另说明，不擅自排除合法单点域。

2. 每个原运算都必须合法

下表中的 $u,v$ 表示所在位置的完整表达式，本身也须有实数意义。

结构	输入条件	原因
$u/v$	$v\ne0$	不能除零
$\sqrt[2n]{u}$ ， $n$ 正整数	$u\ge0$	偶次根取非负实根
分母中的 $\sqrt[2n]{u}$	$u>0$	能开方且根不为零
$\sqrt[2n+1]{u}$ ， $n$ 正整数	$u$ 本身有意义	奇次根允许负数和零
$u^0$	$u\ne0$	本章零次幂不包括 $0^0$

同一解析式的各部分都要有值，所以条件取交集。根式在分子可为零，在分母却要严格正；分子零一般不禁用。将根指数幂按其根式意义解释时，同样先查底数范围；指数、对数专门条件放在相应章节，不以这一张表冒充所有运算规则。

一个原练习 $F(x)=(2x+1)/\sqrt{3-2x-x^2}+(2x-1)^0$ ，要求

3-2x-x^2>0,\qquad2x-1\ne0.

第一式等价于 $(x-1)(x+3)<0$ ，给 $-3<x<1$ ；再删 $1/2$ ，得 $(-3,1/2)\cup(1/2,1)$ 。 $-3,1$ 使分母零， $1/2$ 使零次幂底数零，均禁用； $x=-1/2$ 只使分子零，分母非零，仍合法。这与下方原式条件题共用方法，但额外保留了“零分子不禁用”的检查。

3. 从内到外检查，化简不扩域

嵌套运算的中间步骤必须先存在，才能算外层。先登记每个原分母和零次幂底数禁值，再通分或约分；化简只是合法输入上的等价计算，不能反过来删除前提。

例如平方根外再平方，仍须原根式存在； $(\sqrt x)^2=x$ 的等式只在 $x\ge0$ 成立。 $\sqrt{x^2}=|x|$ 对全实数成立，但若它作分母，又要 $x\ne0$ 。这些限制的来源不能因最终式子简短而消失。

分式条件先按分母符号或正平方、符号表求解，不能直接乘未知符号分母。分段式则不同：一个输入只使用所属分支，先将每段条件与本段运算条件取交，再将各段合法输入取并，不要求同时符合全部互斥分支。

参数改变运算结构时先查退化：不能未经分类就除参数、约未知因子，遗漏参数为零的支。

4. 复合是两次合法输入检查

设 $h(x)=f(g(x))$ 。先将 $x$ 输入内层 $g$ ，得中间数 $t=g(x)$ ，再输入外层 $f$ 。 $x$ 与 $t$ 是不同角色；函数名不是乘数，调用顺序一般不能交换。

第一步要求 $x\in D_g$ ，第二步要求 $g(x)\in D_f$ ，所以

D_h=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.

两次唯一对应连接后，每个合法原输入也有唯一输出。若想在整个集合 $D\subseteq D_g$ 上复合，须 $g(D)\subseteq D_f$ 。否则只保留能传入外层的原输入；按本章非空约定，保留集合非空才构成这里的函数。

同一式子里多个 $f$ 项相加，所有调用都须合法，条件取交；复合项外还有分母、根号等，也要加入这些运算条件。不能仅让外面的 $x$ 落在 $D_f$ ，限制的是每个括号内的完整输入。

5. 逆推只确定内层可达部分

设纯复合式 $f(g(x))$ 的完整定义域为 $A$ ，内层在自身整个定义域的值域为 $C=g(D_g)$ 。那么

D_f\cap C=g(A).

两方向证明：若 $t\in g(A)$ ，有 $x\in A$ 使 $g(x)=t$ ，这次复合合法，所以 $t$ 既可达又属于 $D_f$ ；反过来若 $t\in D_f\cap C$ ，由可达性找合法 $x$ 使 $g(x)=t$ ，两步都合法，故 $x$ 必属完整复合域 $A$ ，于是 $t\in g(A)$ 。

若 $C=\mathbb R$ ，交集左边就是 $D_f$ ，才能得到 $D_f=g(A)$ 。非零系数的一次式在全实数上可达全部实数，是常用充分条件；平方或根式内层达不到某些实数，不能借这个复合式判断外函数在那些数上有没有定义。

若题设只人为规定在 $A$ 上使用复合式，而非给完整自然复合域，甚至还有复合项外的分母等限制，上述等式都不能直接套。此时只能按实际信息确认哪些输入合法，额外限制也可能截掉本可送入外函数的原输入。

6. 完整定义域信息与局部等式信息不同

原资料把“已知复合定义域为 $A$ ，外函数定义域就是内层在 $A$ 上的值域”写成通则，这缺少可达范围前提。本页依定义修正为上面的交集关系，不把原话照搬。

若只是给 $f(u(x))=v(x)$ 在原允许输入上成立，换元只能确定 $f$ 在可达集合上的值，不自动排除其他输入。根号加 $1$ 只能试到 $[1,+\infty)$ ；未试到的输入不等于被禁止。相关完整恢复题放在“从关系恢复函数”单元，那里同时交付规则、已确定范围与未知部分。

二、考点方法与例题

方法一：全部条件先取交，再逐端点回原式

从最内层写每个条件，解出关于同一输入的限制，与题设范围取交，再将禁值逐个删除。回代临界点和代表值只用于核查，完整域仍须由等价条件证明，不能靠几个成功样点认定。

方法二：先标外层允许集，再决定顺推或逆推

顺推：每次括号内的数属于外函数域，加内层与外面运算限制，解出外部 $x$ 。逆推：先确认纯复合式完整域，再求内层整个可达范围；若不能确定全部外函数域，如实说明只能确定哪一部分。

例题 01 四个原式分别确定输入范围

题目

求下列函数的定义域：

(1) $f(x)=\frac{3x}{x-4}$ ；

(2) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}}}$ ；

(3) $f(x)=\frac{6}{{x}^{2}-3x+2}$ ；

(4) $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$ ．

答案与解析

解析

四问各自是不同函数，不能把不同小问的限制取一个交集。

（1）分子 $3x$ 对实数无额外限制，原分母 $x-4\ne0$ ，得 $\mathbb R\setminus\{4\}$ 。

（2）根式 $\sqrt{x^2}=|x|$ ，在分母要求 $|x|>0$ ，即 $x\ne0$ 。平方本身总非负，不代表分母允许为零；也不能将根式错化成 $x$ 。

（3）原分母 $(x-1)(x-2)\ne0$ ，须两个因子同时非零，故排除 $1,2$ 。

（4）分子根式要求 $4-x\ge0$ ，分母要求 $x-1\ne0$ ，交得 $x\le4$ 且 $x\ne1$ ，即 $(-\infty,1)\cup(1,4]$ 。 $x=4$ 时分子零、分母 $3$ ，合法，右端闭； $x=1$ 除零禁用。

本题结论

（1） $\mathbb R\setminus\{4\}$ ；（2） $\mathbb R\setminus\{0\}$ ；（3） $\mathbb R\setminus\{1,2\}$ ；（4） $(-\infty,1)\cup(1,4]$ 。

例题 02 嵌套倒数与平方根

题目

函数 $y=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ 的定义域是（）

A． $\left\{ \left. x\right|x>0\right\}$ B． $\left\{ \left. x\right|\right.x>0$ 或 $\left. x\le -1\right\}$

C． $\left\{ \left. x\right|\right.x>0$ 或 $\left. x<-1\right\}$ D． $\left\{ \left. x\right|0<x<1\right\}$

答案与解析

解析

先从内到外列 $x\ne0$ 、 $1+1/x\ne0$ 、 $1/(1+1/x)\ge0$ 。最外被开方分式的分子是 $1$ ，不可能为零，所以其非负等价于严格正，也就等价于 $1+1/x>0$ 。

在 $x\ne0$ 下， $(x+1)/x>0$ 。乘正平方 $x^2$ 得 $x(x+1)>0$ ，两根 $-1,0$ 外侧同号，解为 $x<-1$ 或 $x>0$ 。任一段内，内层倒数存在、中间分母正且非零，最外根式合法，故也是充分条件。

$-1$ 使中间分母零， $0$ 使内层倒数无意义，都排除。A 漏负侧，B 多收 $-1$ ，D 仅留 $(0,1)$ 而漏其余合法数，C 完整。

化成 $\sqrt{x/(x+1)}$ 也必须带原 $x\ne0$ ，不能因新式在零可算就恢复它。

本题结论

选 C。

例题 03 分母根式与零次幂并存

题目

函数 $y=\frac{{(x+1)}^{0}}{\sqrt{|x|-x}}$ 的定义域是（）

A． $\{x\mid x>0\}$ B． $\{x\mid x<0\}$ C． $\{x\mid x<0$ ，且 $x\ne -1\}$ D． $\{x\mid x\ne 0$ ，且 $x\ne -1\}$

答案与解析

解析

零次幂要求 $x+1\ne0$ ，即 $x\ne-1$ 。分母根式要存在且非零，故 $|x|-x>0$ ，不是仅非负。

若 $x\ge0$ ， $|x|-x=0$ ，整支分母为零，不可用；若 $x<0$ ， $|x|-x=-2x>0$ ，这支符合根式条件，再删零次幂禁值 $-1$ 。故域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,0)$ 。

A 正数均无定义，B 多收 $-1$ ，C 两条件完整，D 仍多收正数，故 C。先把分子化为 $1$ 再遗忘原底数，属于删除化简前提。

本题结论

选 C。

例题 04 由一次内层过渡到平方内层

题目

已知函数 $f\left( x+1\right)$ 的定义域为 $\left[ -1,3\right]$ ，则 $f\left( {x}^{2}\right)$ 的定义域为（）

A． $\left[ -2,2\right]$ B． $\left[ 0,4\right]$ C． $\left[ 1,9\right]$ D． $\left[ 0,8\right]$

答案与解析

解析

题给外面变量 $x$ 的完整范围 $[-1,3]$ 。令 $t=x+1$ ，得 $t\in[0,4]$ 。

为何外函数域恰为此集？内层 $x+1$ 在全实数上可达任意 $t$ ，反解 $x=t-1$ 。若外函数在 $[0,4]$ 之外还接受某 $t$ ，对应的 $x$ 就在 $[-1,3]$ 外却可完成复合，违背题设完整定义域。因此 $D_f=[0,4]$ 。

再求 $f(x^2)$ ：内层平方对实数合法，外层要求 $0\le x^2\le4$ 。下界自动，上界等价于 $|x|\le2$ ，得 $[-2,2]$ 。两端平方 $4$ ，零平方 $0$ ，都允许。

A 正确。B 把中间输入范围当最终原输入范围，漏负数且收平方超界者；C、D 同样漏合法输入并收入平方超过 $4$ 的数。反推成功依赖一次内层的全实数可达性，不是任意内层都可照做。

本题结论

选 A。

例题 05 两次调用的输入条件取交

题目

已知 $f\left( x\right)$ 的定义域为 $\left( 1,3\right)$ ，则 $f\left( \frac{1}{x}\right)+f\left( x+\frac{5}{2}\right)$ 的定义域为（）

A． $\left( \frac{1}{3},1\right)$ B． $\left( \frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]$ C． $\left( \frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$ D． $\left( \frac{1}{2},1\right)$

答案与解析

解析

两项相加都须合法，分别要求 $x\ne0$ 、 $1<1/x<3$ 与 $1<x+5/2<3$ 。

第一项 $1/x>1>0$ 先推出 $x>0$ ，才能同乘正 $x$ ： $x<1$ 且 $1<3x$ ，得 $1/3<x<1$ 。第二项三边减 $5/2$ ，得 $-3/2<x<1/2$ 。两条件取交为 $(1/3,1/2)$ 。

左端使倒数等于 $3$ ，右端使第二输入等于 $3$ ，都不在外函数开区间；内部任一 $x$ 则两次调用都合法。A 漏第二项上界，如 $3/4$ 不合格；B 多收右端；C 完整；D 也收 $3/4$ 且漏合法较小正数，故 C。

本题结论

选 C。

例题 06 正向限制与逆向换元的对照

题目

（1）已知函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为 $\left( 0,1\right)$ ，求 $f\left( {x}^{2}\right)$ 的定义域；

（2）已知函数 $f\left( 2x+1\right)$ 的定义域为 $\left( 0,1\right)$ ，求 $f\left( x\right)$ 的定义域.

答案与解析

解析

（1）外函数只接受 $(0,1)$ ，所以要求的是 $0<x^2<1$ ，不是直接让 $x\in(0,1)$ 。 $x^2>0$ 排零， $x^2<1$ 给 $-1<x<1$ ，交为 $(-1,0)\cup(0,1)$ 。两段任一输入平方都合法； $\pm1$ 平方为 $1$ ，零平方为零，都被开端点排除。

（2）题给 $f(2x+1)$ 的完整变量范围 $(0,1)$ 。令 $t=2x+1$ ，得 $1<t<3$ 。内层在全部实数上可达全部实数，反解为 $x=(t-1)/2$ ；若外函数在此范围以外还定义，就使复合域超出原区间。因此完整 $D_f=(1,3)$ 。

$t=1,3$ 分别对应原输入 $0,1$ ，确被排除；任一内部 $t$ 对应内部 $x$ 。最后写 $f(x)$ 只是把占位字母改名，不将新范围改回 $(0,1)$ 。

本题结论

（1） $(-1,0)\cup(0,1)$ ；（2） $(1,3)$ 。

例题 07 线性与平方输入共同合法

题目

若 $f(x)$ 的定义域为 $[-4,4]$ ，求 $g(x)=f(2x+1)+f({x}^{2})$ 的定义域．

答案与解析

解析

两个内层对实数均可算，外层只接受 $[-4,4]$ ，所以

-4\le2x+1\le4,\qquad -4\le x^2\le4.

第一式减 $1$ 再除正数 $2$ ，得 $-5/2\le x\le3/2$ 。第二式下界自动，上界给 $-2\le x\le2$ 。交集左端取较大值 $-2$ ，右端取较小值 $3/2$ ，得 $[-2,3/2]$ 。

左端两实际输入为 $-3,4$ ；右端两输入为 $4,9/4$ ，全在原域，端点收入。越过左端会使平方超 $4$ ，越过右端会使线性输入超 $4$ ，不能再扩展。取并只保证至少一项可算，并不足以形成原和式。

本题结论

$[-2,3/2]$ 。