从甲地到乙地的距离为 $240km$ ，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 $Q$ （单位： $L$ ）与速度 $V$ （单位： $\frac{km}{h}$ ） $\left( 0\le V\le 120\right)$ 的关系式为 $Q=0.000026{V}^{3}-0.00416{V}^{2}+0.291475V$ ，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度 $V$ 为（）

A．60 B．80 C．100 D．110

答案与解析

解析

可行速度为 $0<V\le120$ ，总油量

F(V)=\frac{240}{V}Q(V)=240(0.000026V^2-0.00416V+0.291475).

括号内配方为 $0.000026(V-80)^2+0.125075$ ，所以 $V=80$ 时达到最少 $240\times0.125075=30.018$ 升。A的60、C的100、D的110都使平方项为正，不能同样最优。

原解对称轴负分式按字面算得 $-80$ 却写为80，符号有误。正确为 $-(-0.00416)/(2\times0.000026)=80$ ，与独立配方一致。原答案不变。

本题结论

选 B，速度为 $80\ \mathrm{km/h}$ 。

方法二：取等点与限速比较，按参数分类

先求无约束正侧候选，再与上限比较；参数边界取等时核两种表达是否一致。不能用一个超速点来声称已达到下界。

例题 02 每小时固定费用与限速

题目

$A,B$ 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速 $x$ 的平方成正比，比例系数为 $k\left( k>0\right)$ ．

(1)把货车的全程运输成本 $y$ （单位：元）表示为车速 $x$ （km/h）的函数；

(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？

答案与解析

解析

（1）每小时费用为 $kx^2+400$ ，时间 $520/x$ ，故

y=520\left(kx+\frac{400}{x}\right),\qquad 0<x\le100,\quad k>0.

固定400是每小时量，不能只扣一次。

（2）无约束取等速度为 $x_0=20/\sqrt k$ 。若 $k\ge1/25$ ，则 $x_0\le100$ ，合法，最小费用为 $20800\sqrt k$ 元。若 $0<k<1/25$ ，则整个允许域在递减段，取最大合法速度100，最小费用 $52000k+2080$ 元。

在 $k=1/25$ ，两式均为4160元，速度均为100，边界一致。零速度不能完成行程，未被约分补回。

本题结论

$k\ge1/25$ 时取 $20/\sqrt k$ ； $0<k<1/25$ 时取 $100$ ，速度单位均为 $\mathrm{km/h}$ 。

方法三：核全表拟合，再联合电量与时间

等间隔输入的一次差不恒定，可排除一次候选；二次候选用三点定参，仍要代回剩余点。随后先证明是否所有速度都必须充电，再优化总时间，并核取等方案。

例题 03 拟合耗电并优化全程时间

题目

随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量 $P($ 单位： $kwh)$ 与速度 $v($ 单位： $km/h)$ 的数据如下表所示：

$v$	60	70	80	90	100
$P$	8.8	11	13.6	16.6	20

为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 $P$ 与速度 $v$ 的关系，现有以下两种函数模型供选择：① ${P}_{1}\left( v\right)=a{v}^{2}+bv+c\left( a,b,c\in R\right)$ ，② ${P}_{2}\left( v\right)=kv+m\left( k,m\in R\right)$ .

(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从 $A$ 地出发经高速公路（最低限速 $60km/h$ ，最高限速 $120km/h$ ）匀速行驶到距离为 $500km$ 的B地，出发前汽车电池存量为 $65kwh$ ，汽车到达 $B$ 地后至少要保留 $5kwh$ 的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 $v$ 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为 $16kw$ 的充电桩（充电量 $=$ 充电功率 $\times$ 充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达 $B$ 地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从 $A$ 地到达 $B$ 地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.

答案与解析

解析

（1）速度每增加10，耗电相邻差为 $2.2,2.6,3,3.4$ ，不恒定，一次模型不符。三点方程相减给 $1300a+10b=2.2$ 、 $1500a+10b=2.6$ ，故 $a=0.002,b=-0.04,c=4$ 。于是

P(v)=0.002v^2-0.04v+4.

代入90、100也分别得16.6、20，五点全吻合；只说递增不能区分一次和二次。

（2）全程耗电 $E(v)=500P(v)/v=v+2000/v-20$ ， $60\le v\le120$ 。对允许域内 $u<v$ ， $uv>2000$ ，所以 $E(v)-E(u)=(v-u)(1-2000/(uv))>0$ 。最低 $E(60)=220/3$ 千瓦时，不仅超过可用的 $65-5=60$ ，也超过总存量65，故不充电不能按要求完成。

设充电 $h$ 小时， $65+16h-E\ge5$ ，得 $h\ge(E-60)/16>0$ 。最短取等，

T(v)=\frac{500}{v}+\frac{E(v)-60}{16}=\frac v{16}+\frac{625}{v}-5\ge\frac{15}{2}.

取等需 $v/16=625/v$ ，正速度解为100，在限速内。此时耗电100千瓦时，补40千瓦时需2.5小时，行驶5小时，终点恰留5千瓦时，总7.5小时。

这也是按题意把拟合式用于 $[60,120]$ 的模型结论，虽表只测到100。原题未给充电桩位置，实际可达充电位置和无排队等条件仍是理想化假设，不能另声称已验证。

本题结论

模型为 $P(v)=0.002v^2-0.04v+4$ ；须充电，理想模型最短 $7.5$ 小时，在 $100\ \mathrm{km/h}$ 实现。