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外观

二项展开的应用：整除余数与近似误差

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大幂不一定需要完全算出。问余数，要证明剩余部分是整数倍；问近似，要证明舍去部分落在可接受的区间内。两者都不能只凭“后面不用算”。先修：有限二项式定理。

一、知识梳理

1. 整数倍剥离后，还要标准化余数

整数 AA 除以正整数 dd，写为 A=dQ+rA=dQ+r，其中 QQ 为整数、0≤r<d0\le r<d，这个 rr 才是通常余数。若 q,sq,s 为整数，nn 为正整数，则

(s+dq)n=sn+∑j=1nCnjsn−jdjqj=sn+d∑j=1nCnjsn−jdj−1qj.(s+dq)^n=s^n+\sum_{j=1}^n C_n^j s^{n-j}d^jq^j =s^n+d\sum_{j=1}^n C_n^j s^{n-j}d^{j-1}q^j.

最后一个和的每项都是整数，因此原数与 sns^n 的差能被 dd 整除。记作 (s+dq)n≡sn(modd)(s+dq)^n\equiv s^n\pmod d，意思是两数余数相同，不是两数相等，也不是说 sns^n 已经是标准余数。

特别地，s=−1s=-1 时剩余 (−1)n(-1)^n；若为 −1-1，应再写 −1=d(−1)+(d−1)-1=d(-1)+(d-1)，标准余数为 d−1d-1。s=1s=1 且 d>1d>1 时余数为1；d=1d=1 时任何整数的余数都为0。零次幂有定义时单独取值1后再求余，不把 000^0 当作已定义的数。

2. 同时整除，须联立并找全解族

同余的解可能是一整族整数，不代表唯一数。两个整除条件先分别写成整数参数式或同余，再联立；若问最小正整数，还须用正性筛出首个合法解。只找一个满足者，或只核一个除数，都不能完成“同时且最小”的要求。

3. 近似必须留下真实余项

对有限整数幂 (1+h)n(1+h)^n，取整数 n≥0n\ge0、0≤m≤n0\le m\le n，在原式有定义的范围内写

(1+h)n=Sm+Rm,Sm=∑r=0mCnrhr,Rm=∑r=m+1nCnrhr.(1+h)^n=S_m+R_m,\qquad S_m=\sum_{r=0}^m C_n^rh^r, \quad R_m=\sum_{r=m+1}^n C_n^rh^r.

SmS_m 保留前 m+1m+1 项，RmR_m 是真实尾和，不是自动可以忽略的量。m=nm=n 时余项为0；h=0h=0 时真值为1，直接处理，不作零项间的比值；n=0n=0 且底数非零时亦为1。本页只用有限非负整数幂，不将任意实数指数的无限展开未经收敛条件直接搬来。

若基准不为1，可对非零 aa 用 (a+b)n=an(1+b/a)n(a+b)^n=a^n(1+b/a)^n，小量是相对增量 b/ab/a。最后乘回 ana^n 时误差也要乘 ∣an∣\lvert a^n\rvert；若乘数为负，上下界方向交换。

4. 正尾与交错尾，用不同方式估计

正增量。 h>0,m<nh>0,m<n 时，设 tr=Cnrhr>0t_r=C_n^rh^r>0，则

tr+1tr=n−rr+1h.\frac{t_{r+1}}{t_r}=\frac{n-r}{r+1}h.

若从首个舍去项之后的所有相邻比，即 r=m+1,…,n−1r=m+1,\ldots,n-1，均不超过某个 0≤q<10\le q<1，那么尾项依次不超过 tm+1,tm+1q,…t_{m+1},t_{m+1}q,\ldots。有限等比和给出

0<Rm≤tm+11−q.0<R_m\le\frac{t_{m+1}}{1-q}.

因此截断和是下界。若比值条件不成立或只能取 q≥1q\ge1，不可直接使用这个分母界，应多保留几项，或直接估有限尾和；只有一个尾项时可直接取该项。

负增量。 h<0h<0 时令 ur=Cnr∣h∣ru_r=C_n^r\lvert h\rvert^r，项符号交替。先证明尾部绝对值递减，才能用相邻配对将尾和夹在0与首个舍去项之间：从首项开始配对，以及先留下首项再配对，分别给两端界。保留至偶数下标 mm 时，下一项负，SmS_m 为上界；保留至奇数下标时下一项正，SmS_m 为下界。没有递减性，不能机械套“误差不超过首个舍去项”。

尾项类型必须验证可得结论
全为正项后续相邻比不超过 0≤q<10\le q<10<Rm≤tm+1/(1−q)0<R_m\le t_{m+1}/(1-q)，截断和为下界
符号交替尾项绝对值递减误差夹在0与首个舍去项之间，上下界由其符号决定

5. 与舍入分界比较，不只看误差数字

精确到 0.0010.001，按通常四舍五入保留三位小数。对这里的正数，舍入为 0.9320.932 的区间是 [0.9315,0.9325)[0.9315,0.9325)；须证明整个真值区间落在其中。若问最接近哪一选项，应与相邻选项的中点比较；在中点处还可能并列，不能默认唯一。

即使误差小于 0.00050.0005，若截断数接近分界，也可能舍入错。关键是误差界与分界距离的比较；区间跨界就继续保留更多项或加强估计。

二、考点与方法

方法 1：找与除数相关的精确底数，再剥离整数倍

必要时先把指数分组，将底数写成“除数的倍数加小整数”。变形必须为精确等式；展开中提出除数后，注明剩余因子全部为整数。最后把剩余数调整到 [0,d)[0,d)，不能为了计算方便先作近似。

例题 01 大整数幂的余数

题目

386{3}^{86}被8除所得的余数为（    ）

A．1 B．2 C．0 D．5

答案与解析

解析

先精确改写 386=(32)43=(8+1)433^{86}=(3^2)^{43}=(8+1)^{43}。展开得

386=1+∑j=143C43j8j=1+8∑j=143C43j8j−1=8Q+1.3^{86}=1+\sum_{j=1}^{43}C_{43}^j8^j =1+8\sum_{j=1}^{43}C_{43}^j8^{j-1}=8Q+1.

括号内各项均为整数，所以 QQ 为整数；再核 0≤1<80\le1<8，余数确为1，选 A。B、D 不满足原数减该数能被8整除，C 漏掉了最后常数1。

本题结论

A，余数为 11。

方法 2：两个模条件分别建立，再联立最小正解

同一个幂可针对不同除数作不同的精确展开。把所得同余变为整数参数方程，解出全体解，再根据“正”与“最小”筛选。选项代入可用来复核，却不能代替一般的最小性证明。

例题 02 同时满足两个整除条件的参数

题目

若227+a{2}^{27}+a既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ）

A．6 B．10 C．55 D．63

答案与解析

解析

227=892^{27}=8^9。对除数7，用 (7+1)9=7Q+1(7+1)^9=7Q+1；对除数9，用 (9−1)9=9P−1(9-1)^9=9P-1，其中 P,QP,Q 均为整数。因此所求条件等价于

a≡−1(mod7),a≡1(mod9).a\equiv-1\pmod7,\qquad a\equiv1\pmod9.

令 a=7m−1a=7m-1，mm 为整数。第二条件成为 7m≡2(mod9)7m\equiv2\pmod9。因 7⋅4≡1(mod9)7\cdot4\equiv1\pmod9，两边乘4得 m≡8(mod9)m\equiv8\pmod9，所以

m=8+9t,a=55+63t,t∈Z.m=8+9t,\qquad a=55+63t,\qquad t\in\mathbb Z.

代回两条件均成立。t≤−1t\le-1 时 a≤−8a\le-8，t≥0t\ge0 时最小取 t=0t=0，故最小正整数为55。

复核选项：6 不满足模9条件；10、63 不满足模7条件；55 同时满足两者。原解逐个检验选项能够定位 C，这里另外给出完整解族，证明不只是“某个可行正整数”。

本题结论

C，即 5555。

方法 3：保留若干项，给正尾上界，再比较选项中点

写出首个舍去项及其后的相邻比上界；由有限等比和得到真值区间，再和选项的中点比较。增量小并不能省略这一步，因为组合数可能很大。

例题 03 整数幂最接近哪个数

题目

1.0120{1.01}^{20}最接近下列哪个数字（    ）

A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23

答案与解析

解析

保留前三项，即下标 r=0,1,2r=0,1,2：

S2=1+20⋅0.01+C202⋅0.012=1.219.S_2=1+20\cdot0.01+C_{20}^2\cdot0.01^2=1.219.

原解说“第3项以后”忽略，实际算式保留了第3项；这里明确从第4项开始估余项，而不是把1.2当作截断值。

设 tr=C20r0.01rt_r=C_{20}^r0.01^r，首个舍去项 t3=0.00114t_3=0.00114。对 r=3,…,19r=3,\ldots,19，

tr+1tr=20−rr+1⋅0.01≤174⋅0.01=0.0425.\frac{t_{r+1}}{t_r}=\frac{20-r}{r+1}\cdot0.01\le\frac{17}{4}\cdot0.01=0.0425.

有限正尾满足 0<R2<t3/(1−0.0425)<0.0011910<R_2<t_3/(1-0.0425)<0.001191，从而

1.219<1.0120<1.220191.1.219<1.01^{20}<1.220191.

整个区间严格位于 1.2151.215 与 1.2251.225 之间，故离1.22比离相邻选项1.21、1.23都近，也比离更远的1.20近，选 C。这里没有把近似号当等号，也没有用浮点显示代替误差证明。

本题结论

C，即最接近 1.221.22。

方法 4：先证交错项递减，再核舍入区间

对负增量取绝对值，检查从首个舍去项起的递减性。用配对确定误差的方向与大小；最后看真值的整段区间，而不是只把截断数四舍五入。

例题 04 整数幂精确到千分位

题目

0.997{0.99}^{7}的计算结果精确到0.001的近似值是（    ）

A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933

答案与解析

解析

设 ur=C7r0.01ru_r=C_7^r0.01^r。对 r=0,…,6r=0,\ldots,6，

ur+1ur=7−rr+1⋅0.01≤0.07<1,\frac{u_{r+1}}{u_r}=\frac{7-r}{r+1}\cdot0.01\le0.07<1,

所以各项绝对值严格递减。前三项 S2=1−0.07+0.0021=0.9321S_2=1-0.07+0.0021=0.9321，下一项为 −u3=−0.000035-u_3=-0.000035。

尾和 R2=−u3+u4−u5+u6−u7R_2=-u_3+u_4-u_5+u_6-u_7。从第一项起配对可见 R2<0R_2<0；留下 −u3-u_3，其后 (u4−u5)+(u6−u7)>0(u_4-u_5)+(u_6-u_7)>0，所以 R2>−u3R_2>-u_3。因此

0.932065<0.997<0.9321.0.932065<0.99^7<0.9321.

这一整段位于舍入为0.932的区间 [0.9315,0.9325)[0.9315,0.9325) 内，故选 C，其余三选项均不是正确的舍入结果。

本题结论

C，即 0.9320.932。

三、坑点辨析

1. 剩余数不一定是通常余数

负的剩余项要调整到 [0,d)[0,d)；提了一个 dd 出来，也须证明剩下的是整数才能谈整除。整除依赖精确整数关系，不能用近似底数代替。例题 02 两个条件必须同时成立，还须证明最小性。

2. 余项“很小”还没有说清小到什么程度

正尾令截断为下界，交错尾则由首个舍去项符号决定方向，且须先查绝对值递减。hh 小不保证组合系数后的所有项都小，更不保证达到指定精度。例题 03 明确保留前三项并估从第四项起的尾和；例题 04 的余项为负，不可当成少加了正数。

3. 截断数与真值可能落在分界两侧

不给可核界、只数小数位，或凭浮点显示与几次数值试验，都不是精度证明。应先圈定真值区间，再看它是否完整落在同一舍入区间内；跨界就继续提高截断阶数。

辨析 01 自编辨析｜误差界与舍入分界

题目

某正数的近似值为 0.931490.93149，已知绝对误差小于 0.000020.00002。能否保证真值精确到 0.0010.001 与这个近似值的舍入结果相同？

答案与解析

解析

不能。近似值舍入为0.931，但允许真值为0.93150，此时误差0.00001小于给定界，真值却舍入为0.932。两者跨过0.9315的分界。该反例的误差甚至小于0.0005，说明仅满足常见的“半个末位单位”数值界，还须结合近似值到分界的距离判断。

本题结论

不能保证；须核真值区间是否跨过舍入分界。