频率与概率：记录、估计与稳定性

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同一个比例可以是已经发生的记录，也可以是尚未发生事件的机会。先分清它描述什么，再决定能否反算次数、估计未来。

知识点

记录与模型是两回事

在同一类试验的 $n$ 次完整记录中，事件发生 $m$ 次，定义频率 $f_n=m/n$ 。这里 $n$ 是正整数， $m$ 是 $0$ 到 $n$ 之间的整数。试验前 $m$ 未知，完成后 $m/n$ 就是这批记录的确切比例。

量	回答的问题	如何确定	不能推出什么
频数 $m$	这一批发生几次	数完整记录	下一批仍发生同样次数
频率 $f_n$	这一批占多大比例	$m/n$	未知概率必等于它
概率 $p$	指定条件下有多大机会	概率模型，或由可比数据估计	任意 $n$ 次必发生 $np$ 次

二者都在 $[0,1]$ 中，可以偶然相等，也可能不等。把 $0.5$ 写成 $50\%$ 只改变数值表示，不把概率变成频率。同一条件和模型下，某次结果不改变原有 $p$ ；若条件变化，则应重新讨论概率。

稳定性为什么不是逐次逼近

同一机制、固定概率且相互独立的大量重复中，频率显著偏离 $p$ 的可能性趋小。这是统计规律，不要求每追加一次试验，距离都缩小，也不要求每条有限记录精确等于 $p$ 。

令下一次发生事件时 $I=1$ ，否则 $I=0$ 。直接通分可得

f_{n+1}-f_n=\frac{m+I}{n+1}-\frac mn =\frac{n(m+I)-m(n+1)}{n(n+1)} =\frac{nI-m}{n(n+1)}=\frac{I-f_n}{n+1}.

分子中的 $nm$ 与 $mn$ 抵消。因 $0\le f_n\le1$ ，单步变化的绝对值至多 $1/(n+1)$ 。成功使比例不降，且仅在 $f_n<1$ 时严格上升；失败使比例不升，且仅在 $f_n>0$ 时严格下降。方向不由“必须靠近 $p$ ”决定。步幅越来越小本身也不证明极限为 $p$ ，还需要相应重复试验机制。

用频率估计未知机会

用 $\widehat p=m/n$ 估计 $p$ 时，频率算术上精确，估计却仍有随机误差。可比性比盲目扩大样本更重要。

定清一次试验与事件。三次投篮为一轮时，20组三次结果是20轮，不是60轮。
使用条件、对象及记录方式可比的数据，不偏取成功案例，也不为接近预期删记录。
核查每轮机制是否保持一致。独立同概率重复是常用充分模型，现实天气记录不因数量多就自然独立。
统计完整频数，报告频率，并说明这是估计及其条件。筛选条件改变时，分母也随之改变。

有限记录频率为0或1，不能据此证明事件不可能或必然。增加模拟次数不能纠正错误编码、错误机制或混合不同条件的样本。

考点

频数、频率与总数互相反算

先核对分组完整且互斥，再用频数和求总数或缺项。已记录比例准确时， $m=nf$ ；反求 $n=m/f$ 要求 $f>0$ 。 $f=0$ 只说明 $m=0$ ，不能除以0。最后检查整数、范围与频率和；若频率已四舍五入，反算往往只有范围，不能强取非整数次数。

例题 01 样本分组记录

题目

现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：

组号	1	2	3	4	5
频数	9	12	$x$	9	8

则第3组的频数和频率分别是（）

A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36

答案与解析

解析

五组频数之和为50，故 $x=50-(9+12+9+8)=12$ ，频率为 $12/50=0.24$ 。A的频率错误；C、D使总数变成56，且C的频率也与18不符。这个0.24是样本记录比例，不是未知总体概率的精确证明。

本题结论

B。

例题 02 植物生长高度

题目

某地一种植物一年生长的高度如下表：

高度/cm	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60]
频数	20	30	80	40	30

则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　）

A．0.80 B．0.65

C．0.40 D．0.25

答案与解析

解析

总数为 $20+30+80+40+30=200$ 。区间 $[30,40)$ 包括30而不包括40，频数80，所以频率 $80/200=0.40$ 。A误把频数80当80%；B、D也不符合该比值。反算有 $200\times0.40=80$ 、 $80/0.40=200$ ，前提是0.40为准确记录比例。

本题结论

C。

从历史资料作估计

先按目标事件合并互斥组，核对开闭端点及总数，再将所得频率作概率估计，不把历史比例当作未来配额。

例题 03 历年六月的最高气温

题目

某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温 $\left({}^{\circ}C\right)$	$[15,20)$	$[20,25)$	$[25,30)$	$[30,35)$	$[35,40)$
天数	5	7	24	35	19

则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于 ${30}^{\circ}C$ 的概率为（）

A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2

答案与解析

解析

三年六月共90天，表中 $5+7+24+35+19=90$ 。小于30℃的前三组共 $5+7+24=36$ 天，频率为 $36/90=0.4$ ，其余三个选项均非该比例。估计依赖同地同月、观测条件可比，不能认定90天自然独立，也不能保证今年30天恰有12天低于30℃。新的气象信息可能改变估计条件。

本题结论

选择C，0.4是基于历史数据的估计。

解释生活中的概率

先说清事件、对象、地点、时段及信息条件，再检验选项有没有偷换事件。说明所给概率使用哪些观测信息与模型，核表达的对象是否保持一致，再判断结论能否由该概率推出。

例题 04 天气预报的解释

题目

气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（）

A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨

C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋

答案与解析

解析

天气概率可理解为基于观测信息和模型的条件预测，不是面积、时间或专家人数的比例。不能因天气无法原样重演，就断言所有天气概率只有一种严格的主观分类；一次是否下雨也不足以单独判定整个预报体系优劣。A把事件机会换成空间比例，B换成时间比例。C不仅把不到1的概率改为必然，还加入出行条件。D也把“地区明天降雨”换成“出行者被淋”：地点、时刻、是否在户外及避雨方式都会影响后一个事件，不能直接搬用90%。原题答案标D，但按完整题干，四个选项没有严格准确的解释。正确说法是在给定预报信息、地点和时段下，降雨的预测可能性为90%，仍可能不降雨。

本题结论

现有四项均不能严格作为原预报的准确解释。

例题 05 棋赛、抽奖与天气

题目

下列说法正确的是（）

A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则比赛5场，甲胜3场

B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖

C．随机试验的频率与概率相等

D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%

答案与解析

解析

A的胜率不规定五场必胜三场。B只给中奖率，没有“第十人补偿”的保证；若独立且各次概率恒为0.1，第十人仍为0.1，若不放回则应按剩余奖池算。C若说恒等则错误，但不能反过来说频率与概率绝不相等。D保持了降水事件及可能性含义。

本题结论

D。

例题 06 购物抽奖的次数

题目

某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 $15\%$ ，则下列说法正确的是（）

A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次

C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖

答案与解析

解析

A把单次概率当成100次的固定中奖配额；B的“至少三次”也没有保证；C把正概率误作不可能。通常按独立、机会恒为0.15的重复模型解释，20次全不中概率 $0.85^{20}>0$ ，故D成立。题面未明确独立、奖品更新或保底机制，不能把这一模型说成已给事实；如设保底或不放回，应重新按规则判断联合事件。

本题结论

在同概率独立重复这一通常模型下选D；单给15%不能决定任意多次抽奖的联合规则。