点与直线的中心对称、轴对称

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中点确定位置，法向确定反射方向；可逆变换让求出的像线不漏点也不添点。

一、知识点理解概念

1. 中心对称由中点关系决定

关于中心 $S(a,b)$ ，点 $P(x_0,y_0)$ 与像点 $P'$ 的中点是 $S$ ，因此

P'=2S-P=(2a-x_0,2b-y_0).

只有中心是原点时，才能把两坐标直接变号。 $P=S$ 时保持不动；再反射一次， $2S-(2S-P)=P$ ，回到原来的点。

2. 轴对称由垂足中点与法向位移决定

关于有效直线 $l:Ax+By+C=0$ ，须 $A^2+B^2>0$ 。记 $\vec n=(A,B)$ ，由点线垂足公式，令

t=\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},\qquad H=P-t\vec n.

$H$ 在轴上，像点由 $H$ 为中点得到

P'=2H-P=P-2t\vec n=(x_0-2tA,y_0-2tB).

当 $P$ 不在轴上时， $PP'$ 沿法向垂直于轴，且两点分处两侧。若 $P$ 在轴上， $t=0,P'=P$ ，不能给零长度连线另求斜率。

这个公式不除斜率，包含水平及竖直轴。反射后代入值为原来的负值，所以再次反射的参数为 $-t$ ，像点又回到 $P$ 。关于 $x$ 轴变为 $(x,-y)$ ，关于 $y$ 轴变为 $(-x,y)$ ，关于 $y=x$ 交换两坐标，都是公式特例；一般轴不能随意套这些变号规则。

3. 直线反射既要方向正确，也要位置正确

可以取原线上两个不同点分别反射。因反射可逆，两个像点仍不同，唯一确定像直线。也可设像线上任意点为 $(x,y)$ ，写出它反射回原线的坐标并代原式。反射两次回原来的点，因此此法同时证明每个像点满足新式、每个新式的点都来自原线，覆盖完整像线。

中心 $S(a,b)$ 反射原线 $Ax+By+C=0$ 时，代原坐标 $(2a-x,2b-y)$ ：

A(2a-x)+B(2b-y)+C=0\iff Ax+By-(2Aa+2Bb+C)=0.

法向方向保持，可能是另一条平行线，也可能重合。若中心在原线上， $Aa+Bb+C=0$ ，新常数恰为 $C$ ，所以原线保持不动。

轴反射时，原线与轴的交点保持不动，可取该交点与另一个原线上点的像确定新线。若原线平行于轴，反射原线上一点后仍用平行方向定位，不能只管方向不管位置。原线恰为轴，或原线垂直于轴时，像线也可与原线重合。

4. 由一对对应点反求对称轴，先看两点是否不同

若 $P\ne P'$ ，轴唯一，是连线的垂直平分线。取中点 $H=(P+P')/2$ ，以非零差向量 $P'-P=(u,v)$ 为轴的法向量，方程为

u(x-H_x)+v(y-H_y)=0.

如果两点相同，任何经过该点的有效直线都使它保持不动，不能对零线段求出唯一垂直平分线。

二、考点方法与例题

1. 求中心对称点，用平均坐标回验中心

写 $P'=2S-P$ ，再把原像与像点坐标平均，确认回到给定中心。求像点不是求给定点与中心的中点。

例题 01 关于给定中心的像点

点 $A(2,-3)$ 关于点 $B(-1,0)$ 的对称点 ${A}^{\prime}$ 的坐标是（）

A． $(5,-6)$ B． $(-4,3)$ C． $(3,-3)$ D． $\left( \frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$

答案与解析

$A'=2B-A=(-2-2,0-(-3))=(-4,3)$ ，选 B。回核 $(A+A')/2=((2-4)/2,(-3+3)/2)=(-1,0)$ ，确为给定中心。

A 的 $(5,-6)$ 与给定点平均不回到中心；C 没有按中心正确反向纵坐标；D 的 $(1/2,-3/2)$ 实为 $A,B$ 的中点，把“对称点”误作“中点”。

2. 求轴对称点，核中点与法向两个条件

先核轴有效，按法向公式求像点；再核中点落在轴上、差向量为法向倍数。若用斜率倒数法，先排除水平/竖直或两点重合导致的除零。

例题 02 关于斜直线的像点

点 $A\left( 1,3\right)$ 关于直线 $y=x+1$ 的对称点坐标为（）

A． $\left( 0,2\right)$ B． $\left( 2,2\right)$ C． $\left( 2,4\right)$ D． $\left( 4,2\right)$

答案与解析

轴为 $x-y+1=0$ ，法向 $(1,-1)$ 。给定点 $(1,3)$ 的代入值为 $-1$ ，所以 $t=-1/2$ ，垂足为

H=(1,3)-(-1/2)(1,-1)=(3/2,5/2).

像点 $A'=2H-A=(2,2)$ ，正确选 B。核中点满足 $5/2=3/2+1$ ，且 $\vec{AA'}=(1,-1)$ 为法向量。

原斜率与中点法也保留：本题轴斜率为 $1$ ，给定点不在轴上，连像点的方向斜率为 $-1$ 且非竖直。令像点 $(x,y)$ ，得

\frac{y-3}{x-1}=-1,\qquad \frac{y+3}{2}=\frac{x+1}{2}+1.

解得 $x=y=2$ ，此时 $x-1=1\ne0$ ，除法合法。

答案字母须与坐标核对。上传知识库记载的原答案及末句写 C，但其原详解实际算出 $(2,2)$ ，而完整原选项中 $(2,2)$ 是 B。本题正确答案为 B，不改原题四个选项。A、C、D 各与给定点的中点都不在轴上，不能成为像点。此勘误依据上传知识库的文字记载与本题独立计算，不冒称另行查看原文档。

3. 中心反射直线，把像点的原坐标代回

设像线点 $(x,y)$ ，它关于中心 $S(a,b)$ 的原像为 $(2a-x,2b-y)$ ，代原方程化简。检查法向方向保持，常数则可能变化；中心在原线上允许像线重合。

例题 03 直线关于给定点的像线

直线 $l:4x+3y-2=0$ 关于点 $A\left( 1,1\right)$ 对称的直线方程为（）

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

答案与解析

像点 $(x,y)$ 关于中心 $(1,1)$ 反射回原线，坐标为 $(2-x,2-y)$ 。代原式得

4(2-x)+3(2-y)-2=12-4x-3y=0,

所以像线为 $4x+3y-12=0$ ，选 B。反射可逆，故新式既包含所有像点，也没有添入别的点。

法向仍为 $(4,3)$ ，但常数从 $-2$ 变成 $-12$ ，位置不同。中心代原式为 $4+3-2=5\ne0$ ，本题确为不同平行线。A 的常数 $-4$ 不符合代入结果；C、D 把法向变为 $(4,-3)$ ，方向也错了。

4. 关于水平或竖直轴求像线，直接保留不变坐标

轴 $x=c$ 下原像为 $(2c-x,y)$ ，轴 $y=c$ 下原像为 $(x,2c-y)$ ；代原线而不求轴的斜率。也可反射两个不同点，或使用轴上不动交点加另一像点；新式要同时核方向与位置。

例题 04 直线关于竖直轴的像线

直线 $x-2y+1=0$ 关于直线 $x=1$ 对称的直线方程是（）

A． $x+2y-1=0$ B． $2x+y-1=0$

C． $x+2y+3=0$ D． $x+2y-3=0$

答案与解析

关于轴 $x=1$ ，像点 $(x,y)$ 的原像为 $(2-x,y)$ 。这也由中点横坐标为 $1$ 、纵坐标不变得到。代入原线：

(2-x)-2y+1=0\iff x+2y-3=0,

选 D。原线与轴交于 $(1,1)$ ，新线也通过这个不动交点；变换可逆，任取新线上点反射回去都满足原式，保证覆盖完整像线。

A、C 虽有同样法向方向，但代 $(1,1)$ 分别得 $2,6$ ，位置不对；B 的法向 $(2,1)$ 连方向也不对。因此只求新斜率不足以确定像线。