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抛物线向量比例、根积与垂直

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向量比例保留反向符号，横纵分量必须同时成立；点积为零也要先有两条真实直线。

一、知识点 理解概念

1. 比例式既含大小也含方向

在 y2=2pxy^2=2px、p>0p>0 中，焦点 F=(p/2,0)F=(p/2,0) 不在曲线上。若曲线点 P,QP,Q 满足

FP→+λFQ→=0,λ>0,\overrightarrow{FP}+\lambda\overrightarrow{FQ}=\mathbf0,\qquad\lambda>0,

则 FP→=−λFQ→\overrightarrow{FP}=-\lambda\overrightarrow{FQ}：两个非零向量反向，P,QP,Q 在 FF 两侧，且 FP/FQ=λFP/FQ=\lambda。单纯长度比不能表达反向符号，也不能把这个式子改成同向坐标比例。

2. 每个向量都按“终点减起点”写两分量

该式等价于两条同时成立的等式：

xP+λxQ=(1+λ)p2,yP+λyQ=0.x_P+\lambda x_Q=(1+\lambda)\frac p2,\qquad y_P+\lambda y_Q=0.

不能只处理纵坐标。若 P,QP,Q 是焦点弦端点，设 x=my+p/2x=my+p/2，代曲线得 y2−2pmy−p2=0y^2-2pmy-p^2=0，根积 yPyQ=−p2y_Py_Q=-p^2；结合 yP=−λyQy_P=-\lambda y_Q 得

yQ2=p2λ,yP2=p2λ.y_Q^2=\frac{p^2}{\lambda},\qquad y_P^2=p^2\lambda.

令 σ∈{1,−1}\sigma\in\{1,-1\}，完整两支为

yQ=σpλ,yP=−σpλ,xQ=p2λ,xP=pλ2.y_Q=\frac{\sigma p}{\sqrt\lambda},\quad y_P=-\sigma p\sqrt\lambda,\quad x_Q=\frac p{2\lambda},\quad x_P=\frac{p\lambda}2.

代横分量得 pλ/2+λp/(2λ)=(1+λ)p/2p\lambda/2+\lambda p/(2\lambda)=(1+\lambda)p/2，确也成立。两纵坐标异号，所以端点不同；m=(yP+yQ)/(2p)m=(y_P+y_Q)/(2p) 使二者在同一过焦点直线上，判别式恒正。λ=1\lambda=1 对应竖直通径，不可漏掉。

3. 零点积判垂直还需两向量非零

从原点 OO 指向端点时，

OA→⋅OB→=x1x2+y1y2.\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2.

可用韦达把乘积化成常数，但点积0只有在 A≠OA\ne O、B≠OB\ne O 时才推出两条真实直线 OA⊥OBOA\perp OB。零向量没有确定方向，不能把它当成有直角夹角的线。其它起点同样先写终点减起点，不能照搬以上坐标乘积。

二、考点 方法与例题

方法：分量、根积、回代与原目标

  1. 写焦点和曲线参数；向量按终点减起点，比例式拆成横纵两式，并保留正负方向。
  2. 联立弦线与曲线，先有真实两点，再用根和积求纵坐标平方与符号。由曲线恢复横坐标，必须核横分量。
  3. 处理点积时，先核向量非零；处理面积、长度时，分清有向量与非负大小，回原题目标计算。
  4. 回代判别式、比值范围、全部分母。反射可简化一支时，说明另一支是否合法及所求量是否相同；若求的是向量本身，反射后方向可能改变，不能擅称同值。

例题 01 焦点弦端点的向量比例

在平面直角坐标系xOyxOy中，已知抛物线C:y2=4xC:{y}^{2}=4x的焦点为FF，过点FF的直线ll与抛物线CC交于P,QP,Q两点，若FP⃗+3FQ⃗=0⃗\vec{FP}+3\vec{FQ}=\vec{0}，则△OPQ\triangle OPQ的面积为（    ）

A．233\frac{2\sqrt{3}}{3} B．3\sqrt{3} C．433\frac{4\sqrt{3}}{3} D．232\sqrt{3}

答案与解析

选C，面积 43/34\sqrt3/3。 F=(1,0)F=(1,0)，题式说明 FP→=−3FQ→\overrightarrow{FP}=-3\overrightarrow{FQ}，两向量反向，FP=3FQFP=3FQ。

过焦点的非轴线设 x=my+1x=my+1，包括竖直方向；联立得 y2−4my−4=0y^2-4my-4=0，根积 y1y2=−4y_1y_2=-4。正确分量是

(x1−1,y1)+3(x2−1,y2)=(0,0),(x_1-1,y_1)+3(x_2-1,y_2)=(0,0),

因此 y1=−3y2y_1=-3y_2，代根积得 y22=4/3y_2^2=4/3。利用关于 xx 轴反射后面积不变，先取 y1>0y_1>0，得

y1=23,y2=−23,x1=3,x2=13.y_1=2\sqrt3,\quad y_2=-\frac2{\sqrt3},\quad x_1=3,\quad x_2=\frac13.

横分量也须核：(3−1)+3(1/3−1)=0(3-1)+3(1/3-1)=0。此时 m=(y1+y2)/4=1/3m=(y_1+y_2)/4=1/\sqrt3，两点都在原曲线和过焦点直线上，构型真实。另一分支把两纵坐标同时反号，也合法且面积相同。

焦点在 P,QP,Q 之间，两三角形以 OF=1OF=1 为共同底，面积相加：

SOPQ=SOPF+SOQF=12 OF (∣y1∣+∣y2∣)=433.S_{OPQ}=S_{OPF}+S_{OQF}=\frac12\,OF\,(|y_1|+|y_2|)=\frac{4\sqrt3}3.

A、B、D均与此底高结果不同，故选C。

原解示意中的焦点弦PQ及到原点的连线
原解示意中的焦点弦PQ及到原点的连线

上传KB记载原详解把第二向量误写为 (x2−1,y1)(x_2-1,y_1)，应是 (x2−1,y2)(x_2-1,y_2)。下一行与最终答案实际用了正确的 y2y_2 关系，这里明确纠正分量笔误，不改变原题向量条件，也不声称另读原DOCX。

完整例题：从根积到垂直还要核什么

过给定轴上点的普通弦：求长度并证明两条连线垂直（完整两问）。先用根积算点积，再检验两端点都不是原点，不能只写一个零点积就结束几何证明。

三、坑点 辨析与纠错

1. 只解纵分量，不能证明向量式

纵坐标关系与根积只能给候选端点；必须恢复横坐标，再检横分量及原弦线。写错一个纵分量，就改变了向量式，不能拿最终数值正确掩盖过程笔误。

2. 零参数与比值范围先判断

上面的比例推导以 λ>0\lambda>0 为前提。λ=0\lambda=0 会使 FP→=0\overrightarrow{FP}=\mathbf0、P=FP=F，而焦点不在真抛物线上，故没有这样的曲线端点构型。不能先除未知参数或坐标后再忘记被排除分支。题目另给线段、射线或比值范围时，要和求得参数共同核验。

3. 反射不等于所有目标量都不变

关于轴反射保留长度和面积，但一般会改变向量的某个分量。只有确认所求量在反射下不变，才能说“只算一支即可”；同时应说明另一支也满足全部原条件。点积判垂直还须保住非零条件，不能把零向量视作一条线。