平面直线的位置、平行与垂直

约 2646 字大约 9 分钟

相同方向不等于平行；先保证两条真直线，再把方向与位置分开判断。

一、知识点理解概念

1. 先保证两式都是平面直线，再检查方向

设两条有效直线为 $l_i:A_ix+B_iy+C_i=0$ ，每个 $(A_i,B_i)\ne(0,0)$ 。本页“平行”排除重合。记

\Delta=A_1B_2-A_2B_1,\quad E=A_1C_2-A_2C_1,\quad F=B_1C_2-B_2C_1.

$\Delta\ne0$ ：唯一相交。
$\Delta=0$ 且 $E=F=0$ ：重合。
$\Delta=0$ 且 $E,F$ 至少一个非零：平行。

消元解释唯一交点：两式分别乘 $B_2,B_1$ 再相减，得 $\Delta x=F$ ；分别乘 $A_2,A_1$ 再相减，得 $\Delta y=-E$ 。所以 $\Delta\ne0$ 时唯一候选为 $(F/\Delta,-E/\Delta)$ ，代回两式均成立，确有且只有一个交点。

2. 方向相同后，常数决定平行还是重合

$\Delta=0$ 时两组非零法向系数成比例。若 $A_2\ne0$ ，取 $\lambda=A_1/A_2$ ，由 $\Delta=0$ 得 $B_1=\lambda B_2$ ；若 $A_2=0$ ，则 $B_2\ne0$ ，由 $\Delta=0$ 得 $A_1=0$ ，可取 $\lambda=B_1/B_2$ 。第一组也非零，所以 $\lambda\ne0$ 。

第一方程减去 $\lambda$ 倍第二方程只剩 $C_1-\lambda C_2$ 。它等于零，两式相同；不等于零，两式不可能同时成立，即同方向且无公共点。 $E,F$ 是否都为零，恰好检验这个常数关系，不必写可能除零的三个系数比。

两有限斜率直线 $y=k_ix+b_i$ ： $k_1\ne k_2$ 则相交； $k_1=k_2$ 时， $b_1=b_2$ 重合， $b_1\ne b_2$ 平行。两竖直线同方向，但也要比较 $x$ 常数是否相同才能区分。

3. 无分母垂直判据覆盖水平与竖直

每条非零方向可取 $\vec d_i=(-B_i,A_i)$ ，两方向数量积为 $B_1B_2+A_1A_2$ ，故

l_1\perp l_2\iff A_1A_2+B_1B_2=0.

非零互垂方向不可能同方向，因此两线相交成直角。两斜率都存在时，等价于 $k_1k_2=-1$ ；一竖直一水平也互垂，但不能拿不存在的斜率相乘。

二、考点方法与例题

1. 求线保留方向，求参数后检验位置

先查基线 $Ax+By+C=0$ 有效。过 $P(x_0,y_0)$ 同方向的直线可写

Ax+By+D=0,\qquad D=-Ax_0-By_0.

要真正平行还须 $D\ne C$ 。若 $P$ 在基线上，新线恰为原线，过此点不存在与基线不同的平行线。过 $P$ 的垂线可写

Bx-Ay+D=0,\qquad D=-Bx_0+Ay_0.

基线有效保证新式也有效。求参数时先解方向判据，逐一回原方程核有效性与位置：平行需统一系数比较常数并删重合根；垂直若用斜率法，补查水平竖直分支。所有候选最终回到原几何条件，不以未检分母的比例式收尾。

例题 01 两条含参直线的平行条件

已知直线 $mx+3y+m-1=0$ 与直线 $x+\left( m+2\right)y+2m-2=0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A．3 B． $-3$ C．1或 $-3$ D． $-1$ 或3

答案与解析

第一线的 $y$ 系数恒为 $3$ ，第二线的 $x$ 系数恒为 $1$ ，都始终有效。方向相同要求

m(m+2)-3=0\iff(m-1)(m+3)=0.

候选 $m=1$ 或 $-3$ 。当 $m=1$ ，两条原线都是 $x+3y=0$ ，属于重合，舍去。

当 $m=-3$ ，第一式 $-3x+3y-4=0$ 乘 $-1$ 得 $3x-3y+4=0$ ；第二式 $x-y-8=0$ 乘 $3$ 得 $3x-3y-24=0$ 。一次项相同、常数不同，确实平行，故选 B。C 多留了重合根；A、D 的 $3$ （以及 D 的 $-1$ ）不满足方向方程。

2. 只知道方向，不能凭空补充位置

倾斜角与两点分别给斜率，先比较方向。相等后还必须有位置数据；若位置不足，保留“平行或重合”两种可能，不把其中一种当作必然。

例题 02 倾斜角和两点所给的位置关系

已知直线 ${l}_{1}$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，直线 ${l}_{2}$ 经过点 $A(-1,-\sqrt{3}),B(0,0)$ ，则直线 ${l}_{1},{l}_{2}$ 的位置关系是（）

A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合

答案与解析

$l_1$ 的斜率为 $\tan60^\circ=\sqrt3$ ； $l_2$ 的斜率为 $(0+\sqrt3)/(0+1)=\sqrt3$ ，且过原点，所以 $l_2:y=\sqrt3x$ 。

$l_1$ 的纵截距未给：若为零，两线重合；若不为零，两线平行。选 A。B、D 各只包含一种可能，均不能由题干保证；两非零方向相同，不可能互垂，C 也不成立。

3. 垂直参数直接用乘法判据，再看特殊方向

两原线有效后，用 $A_1A_2+B_1B_2=0$ 保留零系数可能；若另作斜率验证，分母为零的参数须从原方程单独看，不能删掉或硬套商式。

例题 03 随参数变化的两条直线

直线 ${l}_{1}:ax+y-1=0$ 与直线 ${l}_{2}:x-ay-1=0$ 的位置关系是（）

A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合

答案与解析

两法向量 $(a,1),(1,-a)$ 始终非零，数量积 $a-a=0$ ，所以对任意实数 $a$ 两线都垂直，选 A。

保留原来的斜率分类： $a=0$ 时为 $y=1,x=1$ ，一水平一竖直； $a\ne0$ 时斜率分别为 $-a,1/a$ ，乘积 $-1$ 。因此没有平行或重合分支，也不是相交而不垂直。

例题 04 由两线垂直求参数

已知直线 $mx+\left( 2m-1\right)y+2=0$ 与直线 $3x+my+3=0$ 垂直，则（）

A． $m=1$ B． $m=-1$ C． $m=0$ 或 $m=-1$ D． $m=1$ 或 $m=0$

答案与解析

第一线若 $m=0$ ， $y$ 系数为 $-1$ ，不会退化；第二线 $x$ 系数恒为 $3$ ，也始终有效。无分母条件为

3m+(2m-1)m=2m(m+1)=0.

所以 $m=0$ 或 $-1$ ，选 C。 $m=0$ 时两线为 $y=2$ 与 $x=-1$ ； $m=-1$ 时为 $-x-3y+2=0$ 与 $3x-y+3=0$ ，斜率 $-1/3$ 与 $3$ 的乘积为 $-1$ ，两根都回验成立。

原斜率法的除法条件：上传知识库记载的原解在 $m\ne0$ 分支直接写 $[-m/(2m-1)](-3/m)=-1$ ，还需先排除 $2m-1=0$ 。当 $m=1/2$ ，第一线竖直，第二线斜率 $-6$ 不是水平，故不互垂；其余非零且 $m\ne1/2$ 时可用原乘积式解得 $m=-1$ 。这是补齐除法前提，原最终两根不变。

4. 含分式命题的充分必要性先带定义域

把“商等于某数”连同分母非零一起理解，再比较它能否推出几何条件、几何条件是否必能反推它。合法的零系数直线可以作为反例，不能把 $0/0$ 当成特殊实数。

例题 05 一个比值条件与垂直的逻辑关系

已知直线 ${l}_{1}:ax-y+1=0$ ， ${l}_{2}:x-by-2=0$ ，则“ $\frac{a}{b}=-1$ ”是“ ${l}_{1}\perp {l}_{2}$ ”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

第一条线 $y$ 系数为 $-1$ ，第二条线 $x$ 系数为 $1$ ，都不会退化。垂直等价于

a\cdot1+(-1)(-b)=a+b=0.

按含分式命题的定义域理解， $a/b=-1$ 表示 $b\ne0$ 且 $a=-b$ ，因此必推出两线垂直，是充分条件。

反过来， $a=b=0$ 时两线为 $y=1$ 与 $x=2$ ，仍互垂，但 $a/b$ 无定义，含分式的前件不成立，所以不是必要条件。选 A。这不是把 $0/0$ 算成某个“不等于 $-1$ ”的数，而是明确它不属于可定义的比值。