YouthNote

外观

空间向量：共线、共面与条件检查

约 1866 字大约 6 分钟

倍率和线性组合之前，先核非零参照与不共线方向。

一、知识点 理解概念

1. 共线看方向，倍率表示要非零参照

空间自由向量共线，指非零向量方向相同或相反，其原承载直线可以平行也可以重合；约定零向量与任意向量共线。

选定 b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec0 时，a⃗,b⃗\vec a,\vec b 共线当且仅当存在实数 λ\lambda 使 a⃗=λb⃗\vec a=\lambda\vec b。同向时倍率为正长度比，反向为负长度比；a⃗=0⃗\vec a=\vec0 时取 λ=0\lambda=0。若两倍率相同表示 a⃗\vec a，则 (λ−μ)b⃗=0⃗(\lambda-\mu)\vec b=\vec0，由 b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec0 得 λ=μ\lambda=\mu，所以倍率唯一。

2. 共面是平移后的方向关系

把向量平移到共同起点后，代表线段能置于同一平面，就称这些向量共面。任意两个向量总共面，含零向量也不妨碍共面；原承载直线却未必已处于同一平面。

同一自由向量可平移到不同位置，方向不决定原直线的位置
同一自由向量可平移到不同位置，方向不决定原直线的位置

若 a⃗,b⃗\vec a,\vec b 不共线，则 p⃗\vec p 与它们共面，当且仅当存在唯一一对实数 x,yx,y 使

p⃗=xa⃗+yb⃗.\vec p=x\vec a+y\vec b.

将两方向放到同一起点，在 p⃗\vec p 终点分别作平行于两方向的线，平行四边形分解给出存在性；反过来线性组合始终留在该方向平面内。

若两组表示相减得 ra⃗+sb⃗=0⃗r\vec a+s\vec b=\vec0，假如 r≠0r\ne0，就有 a⃗=−(s/r)b⃗\vec a=-(s/r)\vec b，与不共线矛盾；故 r=0r=0，再由 b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec0 得 s=0s=0。这证明系数唯一。

3. 方向结论需要补位置条件

共同起点的倍数关系可证三点共线；若要证两条原直线平行，还须排除重合。两个不共线方向的线性组合可表面内方向；若要证点共面，须把位置向量接到共同起点；若要证线面平行，还须排除直线在面内。

二、考点 方法与例题

1. 统一路径，再选恒非零向量作参照

先将所有向量展开到同一不共线二方向或不共面三方向；核参照非零，再设倍数、比较全部系数并回代。若参照可能为零，应分类或改选已知非零参照，不除以未知是否为零的分量。

例题 01 三点共线中的待定系数

设e1{e}_{1}，e2{e}_{2}是空间两个不共线的非零向量，已知AB⃗=2e1⃗+ke2⃗\vec{AB}=2\vec{{e}_{1}}+k\vec{{e}_{2}}，BC⃗=e1⃗+3e2⃗\vec{BC}=\vec{{e}_{1}}+3\vec{{e}_{2}}，DC⃗=2e1⃗−e2⃗\vec{DC}=2\vec{{e}_{1}}-\vec{{e}_{2}}，且AA、BB、DD三点共线，则实数kk的值为（    ）

A．−2-2 B．−4-4 C．−8-8 D．8

答案与解析

先按路径 A→B→C→DA\to B\to C\to D，注意 CD⃗=−DC⃗\vec{CD}=-\vec{DC}：

AD⃗=AB⃗+BC⃗−DC⃗=e⃗1+(k+4)e⃗2.\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}-\vec{DC} =\vec e_1+(k+4)\vec e_2.

e⃗1,e⃗2\vec e_1,\vec e_2 不共线，AD⃗\vec{AD} 的 e⃗1\vec e_1 系数恒为 11，故 AD⃗≠0⃗\vec{AD}\ne\vec0。三点共线可写 AB⃗=λAD⃗\vec{AB}=\lambda\vec{AD}，比较唯一系数：

2=λ,k=λ(k+4).2=\lambda,\qquad k=\lambda(k+4).

于是 k=2k+8k=2k+8，得 k=−8k=-8，选 C。回代 AB⃗=2e⃗1−8e⃗2=2(e⃗1−4e⃗2)=2AD⃗\vec{AB}=2\vec e_1-8\vec e_2=2(\vec e_1-4\vec e_2)=2\vec{AD}。A、B、D 均不满足两方向的完整方程。

例题 02 三个方向同时约束共线参数

已知a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c}不共面，e⃗=3a⃗−tb⃗−c⃗\vec{e}=3\vec{a}-t\vec{b}-\vec{c}，d⃗=−2ta⃗+6b⃗+2c⃗\vec{d}=-2t\vec{a}+6\vec{b}+2\vec{c}，若e⃗\vec{e}与d⃗\vec{d}共线，则实数tt的值为（    ）

A．−3-3 B．1 C．3 D．−3-3或3

答案与解析

原三向量不共面，d⃗\vec d 的 c⃗\vec c 系数恒为 22，所以 d⃗≠0⃗\vec d\ne\vec0，可设 e⃗=λd⃗\vec e=\lambda\vec d。比较全部三方向系数：

{3=−2tλ,−t=6λ,−1=2λ.\begin{cases}3=-2t\lambda,\\-t=6\lambda,\\-1=2\lambda.\end{cases}

第三式先得 λ=−1/2\lambda=-1/2，第二式给 t=3t=3，回代第一式也成立。故选 C。

只用前两式可能得 t2=9t^2=9，但 t=−3t=-3 会与第三式矛盾，不能保留。A 与 D 的负根错误，B 也不满足完整方程。需要每个方向都使用或回代，不能只解部分等式。

2. 共面之前，先检查新的两方向不共线

原三向量为基底，不代表它们任意两个线性组合都不共线。核新方向独立后，用 p⃗=sm⃗+tn⃗\vec p=s\vec m+t\vec n，展开到原基底比较全部系数；这里两系数不要求和为 11。

例题 03 线性组合的共面参数

已知向量a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c}不共面，则使向量m⃗=2a⃗−b⃗,n⃗=b⃗+c⃗,p⃗=xa⃗+5b⃗+3c⃗\vec{m}=2\vec{a}-\vec{b},\vec{n}=\vec{b}+\vec{c},\vec{p}=x\vec{a}+5\vec{b}+3\vec{c}共面的实数x的值是（    ）

A．−4-4 B．−3-3 C．−2-2 D．4

答案与解析

先核 n⃗≠0⃗\vec n\ne\vec0（其 c⃗\vec c 系数为 11）。若 m⃗=rn⃗\vec m=r\vec n，比较原不共面 a⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec c 的系数，a⃗\vec a 项将给 2=02=0，矛盾。因此 m⃗,n⃗\vec m,\vec n 不共线。

于是共面条件等价于存在 s,ts,t 使

p⃗=sm⃗+tn⃗=2sa⃗+(−s+t)b⃗+tc⃗.\vec p=s\vec m+t\vec n=2s\vec a+(-s+t)\vec b+t\vec c.

逐项比较得 2s=x,−s+t=5,t=32s=x,-s+t=5,t=3，解得 s=−2,x=−4s=-2,x=-4，选 A。回代 −2m⃗+3n⃗=−4a⃗+5b⃗+3c⃗-2\vec m+3\vec n=-4\vec a+5\vec b+3\vec c，完整满足条件；B、C、D 均不是这组方程的解。

三、坑点 辨析与纠错

1. 零参照不能生成非零向量

零向量与每个向量共线是约定，但 λ0⃗\lambda\vec0 始终为零，不能据此把一般非零向量写成零向量的倍数。参照非零必须在建式之前检查。

2. 共线的两方向不能覆盖平面

若 b⃗=2a⃗≠0⃗\vec b=2\vec a\ne\vec0，它们只能生成一条方向线。取另一不共线方向 p⃗\vec p，三者仍可共面，但 p⃗=xa⃗+yb⃗\vec p=x\vec a+y\vec b 无解。即使表示存在，系数也可能不唯一，例如 a⃗=1a⃗+0b⃗=−1a⃗+1b⃗\vec a=1\vec a+0\vec b=-1\vec a+1\vec b。

比较二维系数需二方向不共线；比较三维系数需三方向不共面。向量共面只管方向，原端点共面、原直线共面还须检查连接位置，不能跳步。