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异面直线所成角

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将两条异面直线的方向移到同一点，回到可解三角形；计算后再按直线角的范围选取锐角或直角。

一、知识点 理解概念

1. 把异面方向移到同一点

异面直线不在任何同一个平面内，不能在原位置直接量一个交角。过一点分别作与两线平行的直线（若所选点已在某条原线上，该线可保持不动），取两条相交线形成的锐角或直角，作为异面直线所成角 θ\theta。

更换平移落点，对应角边分别平行，由空间等角定理，角相等或互补；统一取锐角或直角后得到同一个值。因此该角只与方向有关，不依赖所选落点。

0<θ≤90∘.0<\theta\le90^\circ.

异面线不能平行，故不取 0∘0^\circ；直线未指定正方向，钝角应改取补角。若算出的角为 γ>90∘\gamma>90^\circ，则 θ=180∘−γ\theta=180^\circ-\gamma，cos⁡θ=−cos⁡γ\cos\theta=-\cos\gamma。所求余弦必须非负。

2. 空间垂直不必相交

两条空间直线所成角为 90∘90^\circ 时，称两线垂直。它们可以相交，也可以异面；“垂直”是方向关系，“相交或异面”是位置关系。用一条平行线替换某方向，不改变它与另一方向是否垂直。

二、考点 方法与例题

1. 优先利用现成的平行棱

选能构成可解三角形的平移落点，写出棱柱对应棱、中位线或平行四边形等平行依据。一条平移已足够时，不必再平移另一条。算完后检查是锐角、直角还是需取补角。

例题 01 正方体的对角线与底边

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，异面直线A1C1{A}_{1}{C}_{1}与BCBC所成的角是（   ）

原资料配图
原资料配图

A．30∘30^{\circ} B．45∘45^{\circ} C．60∘60^{\circ} D．90∘90^{\circ}

答案与解析

由正方体结构，BC∥B1C1BC\parallel B_1C_1。于是只需在顶面正方形内考察 A1C1A_1C_1 与 B1C1B_1C_1 的角。

顶面两个相邻边等长且垂直，△A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 是等腰直角三角形，因此 ∠A1C1B1=45∘\angle A_1C_1B_1=45^\circ，且为锐角，就是所求角。选 B，A、C、D 都不等于此角。

这里 45∘45^\circ 由正方形的等长与直角推出，并非由透视图上的斜度估计。

例题 02 平行方向与垂直关系

已知三条直线l1{l}_{1}，l2{l}_{2}，l3{l}_{3}满足l1∥l2{l}_{1}\parallel {l}_{2}且l2⊥l3{l}_{2}\perp {l}_{3}，则l1{l}_{1}与l3{l}_{3}（    ）

A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面

答案与解析

l1∥l2l_1\parallel l_2，以 l1l_1 替换 l2l_2 不改变方向夹角；l2⊥l3l_2\perp l_3，所以 l1⊥l3l_1\perp l_3，选 B。

A 的平行与直角方向矛盾。C、D 各只是可能的位置关系，不能说必然。比如 l2l_2 取 xx 轴、l3l_3 取 yy 轴，l1l_1 取平面 z=0z=0 内的直线 y=1y=1 时，l1l_1 与 l3l_3 相交；l1l_1 改为 y=0,z=1y=0,z=1 时，则与 l3l_3 异面。两种情况下方向始终垂直。

2. 平移后用三边确定角

正棱柱的底面是正多边形、侧棱垂直底面，先由这些条件求侧面对角线；再用等腰三角形底角或余弦定理。普通棱柱不自动具备这些直角与等边条件。

例题 03 正三棱柱的底边与侧面对角线

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}中，AB=BB1=2AB=B{B}_{1}=2，则异面直线BC与AC1A{C}_{1}所成角的余弦值为（   ）

原资料配图
原资料配图

A．24\frac{\sqrt{2}}{4} B．−24-\frac{\sqrt{2}}{4} C．22\frac{\sqrt{2}}{2} D．−22-\frac{\sqrt{2}}{2}

答案与解析

连接 AB1AB_1。BC∥B1C1BC\parallel B_1C_1，所以 ∠AC1B1\angle AC_1B_1 为所求角或它的补角。

连接AB1后形成用于计算夹角的等腰三角形
连接AB1后形成用于计算夹角的等腰三角形

正三棱柱底面是边长 22 的等边三角形，侧棱长 22 且垂直底面，因此在直角三角形 AA1B1AA_1B_1 中，AB1=22AB_1=2\sqrt2，同理 AC1=22AC_1=2\sqrt2。又 B1C1=2B_1C_1=2。

在等腰三角形 AB1C1AB_1C_1 中，从 AA 向底边作高，底边被平分，邻边半底长 11，故

cos⁡∠AC1B1=122=24.\cos\angle AC_1B_1=\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.

该角是锐角，可直接取为异面角，选 A。B、D 的负余弦不可能符合异面角范围；C 把邻边半底误当成整条底边。

也可用余弦定理核对：(AC12+B1C12−AB12)/(2AC1⋅B1C1)=4/(82)=2/4(AC_1^2+B_1C_1^2-AB_1^2)/(2AC_1\cdot B_1C_1)=4/(8\sqrt2)=\sqrt2/4。

三、坑点 辨析与纠错

1. 平移要有依据，最终要取小角

画出一条看似平行的线不算完成平移，须说明它与原线平行。算出有向向量角或三角形内的钝角后，不可直接报作异面直线角；应取补角并检查 (0∘,90∘](0^\circ,90^\circ]。不要因图中线段相交或不相交来代替真正的共面判断。

2. 普通棱柱不等于正棱柱

正三棱柱既有等边底面，也有垂直于底面的侧棱；普通三棱柱只保证平行对应结构。用勾股定理前，必须说明直角来自哪里。没有垂直条件，不能把侧棱直接当高，也不能照搬正三棱柱例题中的对角线长度。