线面垂直与相交双线

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把“垂直面内任意方向”化成两个相交方向的检验，再利用垂面关系提取所需线线垂直。

一、知识点理解概念

1. 从任意方向到相交双线

若直线 $l$ 与面 $\alpha$ 内任意直线都垂直，称 $l\perp\alpha$ 。它与面的唯一交点是垂足。证明时无需逐条穷尽所有线，用相交双线判定：

a,b\subset\alpha,\quad a\cap b=\{O\},\quad l\perp a,\quad l\perp b\quad\Longrightarrow\quad l\perp\alpha.

上传知识资料指出，原有“线线垂直则线面垂直”的简写过于简略，不能理解为只要垂直一条线便垂直一个面。正确判定必须是直线同时垂直目标面内两条相交直线。

两条被检验线必须同在目标面且相交。两条平行线仍只约束同一个方向，面外的两条线也不能直接承担该判定。这里线线垂直允许异面， $l$ 不必与 $a,b$ 都在原位置相交。

2. 为什么两个独立方向已足够

把 $l$ 平移至过 $O$ ，在该线上取分居 $O$ 两侧的 $P,Q$ ，使 $OP=OQ>0$ 。要证它垂直面内另一条过 $O$ 的线 $c$ ，在 $a,b$ 上各取非 $O$ 点 $A,B$ ，使线段 $AB$ 与 $c$ 交于非 $O$ 的内部点 $C$ 。对不同于 $a,b$ 的方向，可选择合适的两条射线及点来做到这一点。

因为 $l\perp a,b$ ，由直角三角形得 $PA=QA,PB=QB$ 。 $\triangle PAB$ 与 $\triangle QAB$ 三边对应相等，故全等； $C$ 在线段 $AB$ 内，所以 $\angle PAC=\angle QAC$ 。再由 $PA=QA,AC$ 公共，得 $\triangle PAC\cong\triangle QAC$ ，从而 $PC=QC$ 。

在等腰三角形 $PCQ$ 中， $O$ 是 $PQ$ 中点，因此 $CO\perp PQ$ ，即 $c\perp l$ 。两条原方向已知垂直，其他方向由上述构造覆盖；不过 $O$ 的线再平移到过 $O$ 的同方向线即可。这说明“相交”提供了平面中两个独立方向，而非仅增加一个线的数量。

3. 已知垂面后的性质

$l\perp\alpha$ 后，可直接得 $l$ 垂直面内任意线，不要求这些线经过垂足。
两条不同直线都垂直同一平面，则互相平行。将其中一条平移到另一条经过的点，过该点向给定平面的垂线唯一，故方向相同。
两平行线中一条垂直某面，另一条也垂直该面，因为替换平行方向不改变直线夹角。

二、考点方法与例题

1. 先证辅助垂面，再提取所需垂直线

目标是 $l\perp\alpha$ ，先列出 $\alpha$ 内相交双线；若某组线线垂直不直接可得，可先对另一个辅助面做双线判定，再从中取需要的直线。每一层都重新写目标面与交点。

例题 01 正方体中垂直截面的直线

如图，在正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中，与平面 $AC{D}_{1}$ 垂直的直线是（）

A． $DC$ B． $DA$ C． $D{D}_{1}$ D． $D{B}_{1}$

答案与解析

欲证 $DB_1\perp$ 面 $ACD_1$ ，选面内相交于 $A$ 的 $AC,AD_1$ 。

底面对角线 $AC\perp BD$ ；又 $DD_1\perp$ 底面，故 $DD_1\perp AC$ 。 $BD,DD_1$ 在对角面 $BDD_1B_1$ 内交于 $D$ ，所以 $AC\perp$ 该面，从而 $AC\perp DB_1$ 。

再看 $AD_1$ ： $DC$ 垂直侧面 $ADD_1A_1$ ，故 $DC\perp AD_1$ ；该侧面是正方形，两对角线 $AD_1\perp DA_1$ 。 $DC,DA_1$ 在对角面 $DCB_1A_1$ 内交于 $D$ ，所以 $AD_1\perp$ 该面，继而 $AD_1\perp DB_1$ 。

两组垂直齐全， $AC,AD_1$ 同在面 $ACD_1$ 且相交，最终得到 $DB_1\perp$ 面 $ACD_1$ ，D 正确。

排除其他选项只需各找一个反例方向：A 的 $DC$ 与面内 $AC$ 成 $45^\circ$ ；B 的 $DA$ 也与 $AC$ 成 $45^\circ$ ；C 的 $DD_1$ 与面内 $AD_1$ 成 $45^\circ$ 。均非垂面。

例题 02 菱形上方的直线与对角线

如图，如果 $MC\perp$ 菱形 $ABCD$ 所在的平面，那么 $MA$ 与 $BD$ 的位置关系是（）

A．平行 B．不垂直

C．垂直 D．相交

答案与解析

连接 $AC$ 。菱形对角线给 $AC\perp BD$ ； $MC\perp$ 面 $ABCD$ 又给 $MC\perp BD$ 。 $MC,AC$ 在面 $MAC$ 内交于 $C$ ，所以 $BD\perp$ 面 $MAC$ 。

$MA$ 在面 $MAC$ 内，故 $MA\perp BD$ ，选 C。A 的平行、B 的不垂直均与结论相反。

D 的相交也不成立： $M$ 在底面外， $MA$ 与底面只交于 $A$ ，而非退化菱形的 $A\notin BD$ ，故 $MA$ 与 $BD$ 不相交。两线实际上异面且垂直，纸面上画出的交叉不能代替空间交点。

2. 连锁辨析逐项检验，不倒用单条结论

面垂线给第一组线线垂直，等腰中线给第二组；每次双线判定后，再取面内线推出新结论。反驳垂面只需找到一条面内不垂直的线，证明与否定所需证据不对称。

例题 03 三棱锥中的四个结论

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $PA\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB$ $\perp$ $BC$ ， $PA=AB$ ， $D$ 为 $PB$ 的中点，则下列结论正确的有（）

① $BC\perp$ 平面 $PAB$ ；② $AD\perp PC$ ；③ $AD\perp$ 平面 $PBC$ ；④ $PB\perp$ 平面 $ADC$ .

A． $0$ 个 B． $1$ 个

C． $2$ 个 D． $3$ 个

答案与解析

①正确。 $PA\perp$ 面 $ABC$ ，故 $PA\perp BC$ ；又已知 $AB\perp BC$ 。 $PA,AB$ 同在面 $PAB$ 并交于 $A$ ，得 $BC\perp$ 面 $PAB$ 。

③正确，进而②正确。由①，面内线 $AD\perp BC$ 。 $PA=AB$ 且 $D$ 是 $PB$ 中点，等腰三角形 $PAB$ 的中线 $AD$ 也是高，故 $AD\perp PB$ 。 $PB,BC$ 在面 $PBC$ 内交于 $B$ ，得 $AD\perp$ 面 $PBC$ ，即③；再由 $PC\subset$ 面 $PBC$ 得②。

④错误。若 $PB\perp$ 面 $ADC$ ，则必有 $PB\perp CD$ 。 $D$ 为 $PB$ 中点， $C$ 位于 $PB$ 的垂直平分线上，故 $PC=BC$ 。但 $PA\perp AC$ ，直角三角形 $PAC$ 给 $PC>AC$ ； $AB\perp BC$ ，直角三角形 $ABC$ 给 $AC>BC$ 。于是 $PC>AC>BC$ ，矛盾。

所以正确的是①②③，共三个，选 D。④的错误不能从已知 $AD\perp PB$ 看出来，必须进一步检查另一个面内方向 $CD$ 。