对数运算：积商幂、换底与连乘

约 3902 字大约 13 分钟

把对数运算还原为指数运算，再决定怎样分组、换底和消去中间量。每次约分都要知道除数为什么非零；结果是精确关系，不靠分式外形猜答案。

一、知识点概念与依据

1. 输入的积、商、幂对应输出的和、差、系数

固定 $a>0,a\ne1$ ， $M,N>0$ ， $r\in\mathbb R$ ，则

\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN,

\log_a(M/N)=\log_aM-\log_aN,\qquad\log_a(M^r)=r\log_aM.

设 $u=\log_aM,v=\log_aN$ ，即 $M=a^u,N=a^v$ 。由幂法则， $MN=a^{u+v}$ 、 $M/N=a^{u-v}$ 、 $M^r=(a^u)^r=a^{ur}$ 。再按定义反读，三个对数依次为 $u+v,u-v,ur$ 。 $N>0$ 保证可除， $M>0$ 保证任意实指数的乘方法则与右边对数都合法。

这三条可以逆用：同底数的和合成真数的积，差合成商，系数移入成为真数的指数。 $r=0$ 给真数1、结果0； $r<0$ 给正真数的倒数，都不是非法情形。不同底数不能直接合并，真数之和也没有上述拆分公式。

同一固定合法底、同一正参考量 $R$ 下，若 $M,N,R>0$ ，则 $\log_a(M/R)-\log_a(N/R)=\log_a(M/N)$ 。因此相同参考量下的对数刻度差反映原量的比，而不是原量的差。

2. 合并与拆分不得改变原输入范围

积法则要求每个因数各自正，比整体乘积正更强。二次真数原题中 $(x-3)(x+1)>0$ 包含 $x<-1$ 与 $x>3$ ；左支两个因数均负，原对数合法，却不能分别取 $\log_8(x-3)$ 、 $\log_8(x+1)$ 。为迁就拆分强行删左支同样错误。

平方真数可保留完整范围：当 $x\ne0$ ， $\lvert x\rvert>0$ 且 $x^2=\lvert x\rvert^2$ ，所以

\log_a(x^2)=2\log_a\lvert x\rvert.

只有再给 $x>0$ ，才可去掉绝对值写成 $2\log_ax$ 。不需要拆时，直接保留整体正真数往往更稳。

一般地 $r\log_aM=\log_a(M^r)$ ，不是 $\log_a(rM)$ 。对 $M>0$ 和任意实 $r$ ，正确式的真数 $M^r$ 始终正；若 $r\le0$ ，错误式的真数 $rM\le0$ ，连实对数也没有定义。

系数与差的短例。 $2\log_510-\log_54=\log_5(10^2/4)=\log_525=2$ 。原候选1、 $\log_516$ 、2、 $\log_596$ 中，只有2符合；其余对应真数5、16、96，不是25。系数2变平方，不变成真数乘2；两个对数相减变真数相除，不变成100减4。

若已知 $\log_52=a,5^b=3$ ，先互化 $b=\log_53$ ，再拆 $12=2^2\cdot3$ ，得 $\log_512=2a+b$ 。原另三候选 $2ab,a^2+b,a^2b$ 都不等于它：由 $1<2,3<5$ 得 $0<a,b<1$ ，所以 $2ab<2a<2a+b$ ， $a^2+b<2a+b$ ， $a^2b<b<2a+b$ 。真数平方产生系数，不产生对数值的平方。

看到 $\lg2=a,\lg3=b$ ，常把目标正数拆成2、3、10的乘商幂。例如 $5=10/2$ 给 $\lg5=1-a$ ，这个减号来自商，不是凭记忆挪符号。

4. 换底公式的分母为什么放原底数

设原底 $a>0,a\ne1$ ，真数 $b>0$ ，新底 $c>0,c\ne1$ 。令 $x=\log_ab$ ，即 $a^x=b$ 。两边取同一个底 $c$ 的对数，得到

x\log_ca=\log_cb.

因为 $\log_ca=0$ 等价 $a=1$ ，已由原条件排除，可以除以它，故

\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}.

分母是原底数的对数，因为它是未知指数 $x$ 的系数。分子分母必须用同一个新底； $b=1$ 完全合法，此时分子0、分母非零。新底可以在0与1之间，某些对数为负不影响换底。

常用对数表示短例。若 $\lg2=a,\lg3=b$ ，则

\log_{30}18=\frac{\lg(2\cdot3^2)}{\lg(3\cdot10)}=\frac{a+2b}{b+1}.

原其他候选为 $(a+2b)/(b-1)$ 、 $(a-2b)/(b-1)$ 、 $(a-2b)/(b+1)$ 。第一与第三个错误式分别因分母负、分子负而给负值；原对数正。中间错误式虽为正，也不等于正确值：它等于 $\lg(2/9)/\lg(3/10)$ ，由 $0<2/9<3/10<1$ 得分子比负分母更小，所以商大于1；正确值 $\log_{30}18$ 因 $1<18<30$ 而在0与1之间。只看“两个负号相消”不足以判对。

5. 倒数关系与连乘消元各有非零条件

若 $a,b>0$ 且均非1，换底给

\log_ab\cdot\log_ba=1.

新增 $b\ne1$ 是因为 $b$ 现在也作底数；原对数的真数本来可以为1，不能把两个场景混为一谈。

更一般地， $a,b$ 正且非1， $d>0$ 时，

\log_ab\cdot\log_bd=\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln d}{\ln b}=\log_ad.

被约去的 $\ln b\ne0$ ，但 $d$ 只作真数，可以等于1。没有这种前项真数与后项底数相接的结构，两个对数之积不能随意合并。

两项接续短例。 $a=\log_35,5^b=6$ 给 $b=\log_56$ ，所以 $ab-\log_32=\log_36-\log_32=1$ 。原1、−1、2、−2四候选仅1符合；约去的是非零的 $\log_35$ ，并不是把真数5和6相乘。

长链短例。原连续乘积 $\log_89\cdot\log_910\cdot\log_{10}11\cdots\log_{31}32$ 含从8到31的每个底数。统一底2后， $\log_29$ 至 $\log_231$ 逐项约去，全部非零，只剩

\frac{\log_232}{\log_28}=\frac53.

原候选4、 $5/3$ 、 $1/4$ 、 $3/5$ 中只有 $5/3$ 正确， $3/5$ 把首分母与末分子倒置。省略号不能解释为只乘头尾两项。

6. 带幂的底数、乘积底数都要重新检查

当 $a>0,a\ne1,b>0$ ， $m,n\in\mathbb R$ 且 $m\ne0$ 时， $a^m>0$ ；由固定合法底的指数函数严格单调， $a^m=1=a^0$ 当且仅当 $m=0$ ，而这里 $m\ne0$ ，所以新底非1。因此

\log_{a^m}(b^n)=\frac{\log_a(b^n)}{\log_a(a^m)}=\frac nm\log_ab.

须非零的是作为分母的 $m$ ，不需要排除 $n=0$ 或 $b=1$ 。这些情形真数为1，结果为0；也不能据正底数推导无条件推广到负底数。

若拟把共同幂值 $T$ 作新底，不仅要 $T>0$ ，还须 $T\ne1$ 。若拟把 $abc$ 作新底，三个数各正且非1不能保证乘积非1，例如2、3、 $1/6$ 。必须从题给关系继续证明整体合法。证明时未知真数可能为1，它的对数可为0，固定换到底10或 $e$ 并保留零分子，通常比除以未知对数更安全。

二、考点方法与例题

1. 同底分组，逐步说明输入运算

先查每个真数正，再按底数分组，外侧减号对整组生效。系数先化为真数幂，然后和变积、差变商；每一步中间式都应能合法逆推。性质题的“任意”可由一个合法反例推翻，不能用一个偶然相等值证明。

例题 01 两种底数的四项计算

题目

计算： ${\log }_{15}3-{\log }_{6}2+{\log }_{15}5-{\log }_{6}3=$ （）

A．－2 B．0 C．1 D．2

答案与解析

解析

原式先重排为

[\log_{15}3+\log_{15}5]-[\log_62+\log_63].

四真数均正，分别合并得 $\log_{15}15-\log_66=1-1=0$ ，B正确。A、C、D给−2、1、2均不符合。不是把15底与6底混合，也不能把第二组的减号只作用到其中一项。

本题结论

B，0。

例题 02 普遍运算法则的四项判断

题目

设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（）

A． ${\log }_{a}a=1$ B． ${\log }_{a}\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$

C． ${\log }_{a}{M}^{c}=c{\log }_{a}M$ D． ${\log }_{a}(MN)={\log }_{a}M\cdot {\log }_{a}N$

答案与解析

解析

A由 $a^1=a$ 得 $\log_aa=1$ 。B令 $M=a^u,N=a^v$ ，则 $M/N=a^{u-v}$ ，对数为 $u-v$ 。C由 $M^c=(a^u)^c=a^{uc}$ 得 $c\log_aM$ ； $M>0$ 保证 $c=0$ 、负数和任意实数都合法。

D应为两个对数之和，不是积。取 $a=M=N=2$ ，全部符合题设，左边 $\log_24=2$ ，右边 $\log_22\cdot\log_22=1$ ，一个反例即推翻普遍性质。题问错误项，选D。

本题结论

D。

2. 共同底须同时方便分子与分母

先把已知指数关系互化为对数，选择10、题给常数或已证合法的共同幂值作底。分子放原真数、分母放原底数；拆成已知正因数后再代入。连乘只约非零因子，最后回读分母代表哪个底数的对数，不能凭字母外形假定非零。

例题 03 用两个常用对数表示新的底与真数

题目

设 $\lg 2=a$ ， $\lg 3=b$ ，则 ${\log }_{18}15=$ （　　）

A． $\frac{b-a+1}{a+2b}$ B． $\frac{b+a+1}{a+2b}$ C． $\frac{b-a+1}{a-2b}$ D． $\frac{b+a+1}{a-2b}$

答案与解析

解析

统一用底10， $15=3\cdot(10/2)$ ， $18=2\cdot3^2$ ，故

\log_{18}15=\frac{\lg15}{\lg18}=\frac{b+1-a}{a+2b}.

分母 $\lg18>0$ ，A正确。B的分子比正确分子多 $2a>0$ ，不是同值。C、D分母 $a-2b=\lg(2/9)<0$ ，而两者分子均正（分别为 $\lg15$ 与 $\lg60$ ），结果为负，与原正对数矛盾。

本题结论

A， $(b-a+1)/(a+2b)$ 。

例题 04 由共同真数确定乘积底数的对数

题目

已知 ${\log }_{a}M=6$ ， ${\log }_{b}M=10$ ， ${\log }_{c}M=15$ （ $a>0$ ，且 $a\ne 1$ ； $b>0$ ，且 $b\ne 1$ ； $c>0$ ，且 $c\ne 1$ ； $M>0$ ），则 ${\log }_{abc}M$ 的值为（）

A． $\frac{1}{3}$ B．3 C． $\frac{1}{30}$ D．30

答案与解析

解析

由 $M=a^6$ 及 $a>0,a\ne1$ 得 $M>0,M\ne1$ ，因此可把 $M$ 作新底。倒数换底给

\log_Ma=\frac16,\quad\log_Mb=\frac1{10},\quad\log_Mc=\frac1{15}.

三个因数都正，故 $\log_M(abc)=1/6+1/10+1/15=1/3$ 。此值非零，反过来证明 $abc\ne1$ ，再结合 $abc>0$ 确认目标底数合法。于是 $\log_{abc}M=3$ ，B正确。A停留在反向对数值，C、D的 $1/30,30$ 不符。

另从幂的角度， $a=M^{1/6},b=M^{1/10},c=M^{1/15}$ ，相乘得 $abc=M^{1/3}$ ，因此 $(abc)^3=M$ 。这既复核答案，也同样须先说明 $M\ne1$ 才保证目标底非1。

本题结论

B，3。

例题 05 整块幂值与非十进制的共同底

题目

已知 ${6}^{m}=2$ ， ${6}^{n}=5$ .

(1)求 ${6}^{2m-n}$ 的值；

(2)用 $m$ ， $n$ 表示 ${\log }_{20}15$ .

答案与解析

解析

（1）先保留已知幂值：

6^{2m-n}=\frac{(6^m)^2}{6^n}=\frac{2^2}{5}=\frac45.

（2） $m=\log_62,n=\log_65$ 。用底6换底，拆 $15=5\cdot(6/2)$ 、 $20=2^2\cdot5$ ，得到

\log_{20}15=\frac{\log_615}{\log_620}=\frac{n+1-m}{2m+n}.

分母 $2m+n=\log_620>0$ ，因为底6和真数20都大于1，故可除。减 $m$ 来自因数3写成6除2，不是把真数15随意拆成差。

本题结论

（1） $4/5$ ；（2） $(n-m+1)/(2m+n)$ 。

例题 06 换底公式的证明与两种连乘

题目

（1）利用关系式 ${\log }_{a}N=b\Leftrightarrow {a}^{b}=N$ 证明换底公式： ${\log }_{a}N=\frac{{\log }_{m}N}{{\log }_{m}a}$ ；

（2）利用（1）中的换底公式求值： ${\log }_{2}25\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{5}9$ ；

（3）利用（1）中的换底公式证明： ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c\cdot {\log }_{c}a=1$ ．

答案与解析

解析

（1）在 $a,m>0$ 且均非1、 $N>0$ 的合法范围，设 $b=\log_aN$ ，则 $a^b=N$ 。两侧取底 $m$ 的对数，得 $b\log_ma=\log_mN$ ；因 $a\ne1$ ， $\log_ma\ne0$ ，相除即得所求公式。 $N=1$ 时 $b=0$ ，证明仍成立，不应排除。

（2）统一自然对数，并把真数平方变成系数：

\log_225\cdot\log_34\cdot\log_59=\frac{2\ln5}{\ln2}\cdot\frac{2\ln2}{\ln3}\cdot\frac{2\ln3}{\ln5}=8.

三个分母非零，所有约分合法。

（3）这里 $a,b,c$ 轮流作底数，须均正且非1，故 $\ln a,\ln b,\ln c$ 均非零。统一换底后

\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_ca=\frac{\ln b\ln c\ln a}{\ln a\ln b\ln c}=1.

不需要把每个对数强行设为正；约分只要求非零，底数在0与1之间的合法情形仍覆盖。

本题结论

（1）在合法底数与正真数范围内公式成立；（2）8；（3）在三个底数均合法时积为1。