三角曲线的零点、交点与周期距离

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相同的函数值不代表波形已经完整重复。数零点先列相位序列，数其他水平线的交点则按单调支处理；起始位置、开闭端点与峰谷重合，会共同决定根的个数。

一、知识点概念与依据

1. 换成相位不会改变不同根的个数

令 $u=\omega x+\varphi$ ， $\omega\ne0$ 。每个 $x$ 唯一对应一个 $u$ ，也能由 $x=(u-\varphi)/\omega$ 唯一还原。因此在正确对应的范围内，数不同的相位解与数不同的 $x$ 解相同。

映射区间时保留端点身份。 $\omega>0$ 时顺序不变； $\omega<0$ 时交换大小端，但哪个原端点可取仍跟随那个值，不能因为换了方向就把开端点变成闭端点。

2. 零点是相位序列，不只是区间长度

对非零振幅、零中线的纯三角波：

函数	零点的相位	相邻零点横距
$A\sin(\omega x+\varphi)$	$u=k\pi$	$\pi/\lvert\omega\rvert$
$A\cos(\omega x+\varphi)$	$u=\pi/2+k\pi$	$\pi/\lvert\omega\rvert$

这里 $A\omega\ne0,k\in\mathbb Z$ 。找哪些 $k$ 真落在相位范围内，才是精确计数。长度相同的两个区间可能因起点和开闭不同而含不同个数的零点。

恰有若干根，通常用“最后应纳入的根”与“下一个应排除的根”夹住端相位。以开右端 $U$ 为例，要纳入相位 $r$ 须 $U>r$ ；要排除下一个相位 $s$ 则允许 $U=s$ 。原区间开口不意味着求得的参数区间两端也都开口。

3. 相邻零点通常只走了半周期

上表两类零点的相位差是 $\pi$ ，而整条正弦、余弦波恢复同一阶段需 $2\pi$ ，所以相邻零点横距为 $T/2$ ，不是 $T$ 。两次过零方向相反；下一次同方向过零，才相隔一个周期。

五点法中的相位依次为 $0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi$ ，相邻横坐标的距离为 $T/4$ ；按上述相位顺序， $\omega>0$ 时横坐标递增， $\omega<0$ 时横坐标递减。若表明确给了相位，就直接列两个相位方程，不需要凭图猜相邻关系。

波形或已知条件	能否直接用“零点横距等于半周期”
零中线纯正弦或余弦，已知两点相邻	可以，横距为 $T/2$
两零点未保证相邻	不可以，可能跨多个半周期
加了竖直常数	不可以，一周期内的两段零点距离可能长短不同
取绝对值	须先重算最小周期，原半周期可能已经成为新周期

相同纵坐标只说明高度相同，不说明相位相同。实际零点方程比一条记忆口诀更可靠。

4. 非零水平线按单调支数交点

方程 $A\sin u+b=c$ 是曲线与水平线 $y=c$ 相交。总值域只决定能不能相交，不能决定有几个原像。把相位区间在峰谷切开，每个严格单调支上同一高度至多交一次，再比较各支的实际高度范围。

两个相邻支共享一个峰或谷时，该端点只有一个相位，不能按两支各一次算成两个不同根。原区间闭端点上的交点可以计入，开端点上的不能计入；这些规则比只凭曲线轮廓估数更可靠。

曲线纵坐标必须与原函数振幅一致。 $2\sin u=-a$ 应与 $y=2\sin u$ 比较；若改画 $y=\sin u$ ，水平线也必须相应改为 $y=-a/2$ ，不能只删一边的2。

二、考点方法与例题

1. 给定根数：列序列，核最后两个边界

将原输入区间完整变成相位区间。
列出最先可能进入的若干个零点相位。
让最后应计入者真正落在区间内，让下一根仍在区间外。
转成参数条件后分别代回两个临界值，实际数一次根。

例题 01 开区间中的零点个数

题目

函数 $f(x)=2\sin \left( \omega x+\frac{\pi }{3}\right)(\omega >0)$ 在区间 $(0,2\pi )$ 上恰有 $2$ 个零点，则 $\omega$ 的取值范围为（）

A． $\left( \frac{5}{6},\frac{4}{3}\right)$ B． $\left[ \frac{5}{6},\frac{4}{3}\right)$ C． $\left( \frac{5}{6},\frac{4}{3}\right]$ D． $\left[ \frac{5}{6},\frac{4}{3}\right]$

答案与解析

解析

由 $\omega>0$ ，相位范围为

\frac\pi3<u<2\pi\omega+\frac\pi3.

零点相位依次为 $\pi,2\pi,3\pi,\ldots$ 。要恰含前两个，右端须超过 $2\pi$ ，又不能超过 $3\pi$ ：

2\pi<2\pi\omega+\frac\pi3\le3\pi \quad\Longleftrightarrow\quad\frac56<\omega\le\frac43.

当 $\omega=5/6$ 时第二根恰在开右端，实际只含一根，不能取；当 $\omega=4/3$ 时第三根恰在开右端，实际仍只含两根，可以取。

A误删上界，B既误收下界又误删上界，D误收下界；C与实际计数一致。

本题结论

选C， $\omega\in(5/6,4/3]$ 。

2. 五点表：相位差决定频率，相位值决定初相

相位 $\pi/2$ 的高度在正振幅约定下就是 $A$ 。由两个已知横坐标的相位差求 $\omega$ ，再把一个明确的相位值代回求 $\varphi$ ；若只知道函数值为0而非相位为0，还要考虑整数倍 $\pi$ ，不能擅定同一支。

求完后核振幅、频率、初相约定，并补算五点作回验；回验得出的空白项不应反过来当成题设。

例题 02 五点表中的横坐标与相位

题目

用五点法作函数 $y=A\sin \left( \omega x+\varphi \right)\left( A>0,\omega >0,\left| \varphi \right|<\frac{\pi }{2}\right)$ 的图像时，得到如下表格：

$x$	$\frac{\pi}{6}$		$\frac{2\pi}{3}$
$\omega x+\varphi$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$y$	$0$	$4$	$0$		$0$

则A，ω，φ的值分别为（）

A．4，2， $-\frac{\pi }{3}$ B．4， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\pi }{3}$ C．4，2， $\frac{\pi }{6}$ D．4， $\frac{1}{2}$ ， $-\frac{\pi }{6}$

答案与解析

解析

表第一行是 $x$ ，第二行才是相位；原来的空格不是省略了可以随意指定的条件。

相位 $\pi/2$ 时正弦为1，且 $A>0$ ，故 $A=4$ 。相位0与 $\pi$ 对应 $x=\pi/6$ 与 $2\pi/3$ ，所以

\omega\left(\frac{2\pi}3-\frac\pi6\right)=\pi \quad\Longrightarrow\quad\omega=2.

这两零点相隔 $T/2=\pi/2$ ，故 $T=\pi$ 。若误把横距当周期，会算成 $\omega=4$ 。

首列相位明确是0，代回得 $2(\pi/6)+\varphi=0$ ，所以 $\varphi=-\pi/3$ ，满足 $|\varphi|<\pi/2$ 。也可先取两零点的中间横坐标 $5\pi/12$ ，其相位 $\pi/2$ ，同样求得初相。

A全部相符。B、D的 $\omega=1/2$ 会使两给定横坐标只产生 $\pi/4$ 的相位差，不是 $\pi$ ；C在首列的相位变为 $\pi/2$ ，与表中0矛盾。

以下是计算后的回验表，不是新增题设：

$x$	$\pi/6$	$5\pi/12$	$2\pi/3$	$11\pi/12$	$7\pi/6$
相位	$0$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$y$	0	4	0	−4	0

各横坐标间隔均为 $\pi/4=T/4$ ，与完整五点一致。

本题结论

选A， $A=4,\omega=2,\varphi=-\pi/3$ 。

3. 综合性质：分问保留各自的输入范围

周期与单调区间先反解相位；给定一段递减区间时，核是否越过谷点。求两个不同根，再在该问的输入范围内按峰谷分支，列高度交集并去掉重合峰谷。不要把上一问的区间带到下一问，也不要漏振幅。

例题 03 周期、递减区间与两个交点

题目

已知函数 $f\left( x\right)=2\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6}\right)$ ．

(1)求 $f\left( x\right)$ 的最小正周期以及单调递增区间；

(2)设函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left[ \frac{\pi }{2},m\right]$ 上单调递减，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)当 $x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f\left( x\right)+a=0$ 有两个不相等的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1）相位系数2，最小正周期 $T=2\pi/2=\pi$ 。相位递增，外系数正，把相位放在正弦递增段：

-\frac\pi2+2k\pi\le2x-\frac\pi6\le\frac\pi2+2k\pi.

三边加 $\pi/6$ 再除2，得全部最大递增区间

\left[-\frac\pi6+k\pi,\frac\pi3+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb Z.

（2）按通常讨论有长度单调区间的口径，先要求 $m>\pi/2$ 。左端相位为 $5\pi/6$ ，位于递减段 $[\pi/2,3\pi/2]$ ；右端不能越过谷点，否则出现后续上升，故

\frac{5\pi}6<2m-\frac\pi6\le\frac{3\pi}2 \quad\Longrightarrow\quad\frac\pi2<m\le\frac{5\pi}6.

题干未另写非退化要求。若把单点区间也按“任意两个不同输入”的定义视为空真满足单调，则 $m=\pi/2$ 也可计入；上面的结果采用原答案的有长度区间口径。 $m<\pi/2$ 不作为题目所称的非空区间。

（3）这一问的区间独立为 $[0,\pi/2]$ ，相位一一对应到 $[-\pi/6,5\pi/6]$ ，方程为 $2\sin u=-a$ 。在峰点 $u=\pi/2$ 分支：

相位范围	方向	$2\sin u$ 的实际高度范围
$[-\pi/6,\pi/2]$	严格递增	$[-1,2]$
$[\pi/2,5\pi/6]$	严格递减	$[1,2]$

水平线高度 $c=-a$ 必须同时在两支范围内，但高度2两支共享同一个峰点，只能算一根；高度1有两个不同交点，右端也允许取到。因此恰有两根当且仅当 $1\le c<2$ ，即

-2<a\le-1.

高度低于1时至多只有上升支相交，高于2时无交点，不能只看总值域判断两根。

这是交点位置的示意图；精确计数以相位范围和上表高度为准。峰顶仅有一个相位，右端的高度1则可以计入。

原详解曾把第（2）问的输入区间误写成第（3）问的区间，并在交点描述中漏写振幅2；这里保持题设的三个输入范围，按 $y=2\sin u$ 计算，原图的峰值2也与此一致。

本题结论

（1） $T=\pi$ ，递增区间如上；（2）非退化口径下 $\pi/2<m\le5\pi/6$ ；（3） $-2<a\le-1$ 。