空间距离：垂足、转移与等体积

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先确定垂直高，再决定直接作足、平行转移或同一四面体换底。

一、知识点理解概念

1. 垂线段为什么最短

若 $P\notin\alpha$ ，作垂足 $H\in\alpha$ ，使 $PH\perp\alpha$ ，则 $PH>0$ 是点到平面的距离。对面内且不同于 $H$ 的点 $Q$ ， $PH,HQ$ 都是非零线段且互相垂直，所以

PQ^2=PH^2+HQ^2\ge PH^2.

若 $Q=H$ ，直接有 $PQ=PH$ ，不对零线段 $HQ$ 谈垂直。若 $P\in\alpha$ ，取 $H=P$ 即达零距离，也不对零线段 $PH$ 谈垂直。一般非退化情形中，上式等号仅在 $Q=H$ 时达到，因而垂线段最短。垂足可以落在图示三角形外：求的是到无限延展平面的距离，不是到三角形面片的最近距离。

2. 平行时才能把距离转移到任意一点

直线 $l\parallel\alpha$ 时， $l$ 上任意两点向 $\alpha$ 作垂线，所得垂线互相平行，并在包含 $l$ 的垂直截面内构成矩形，对应垂线段等长。因此可选择最易作垂足的一点来求线面距离。

两不同平面平行时，同样可沿公共垂线计算恒定间距。先证平行，再换点。相交线面或相交两面不具备这种正的平行间距；按两点间距离的最小值看，交点使其最小距离为 $0$ 。

3. 同一个四面体，换底不换体积

直接法先证垂直再求线段长；转移法先证平行再选方便点；等体积法则保持四个顶点不变，换目标平面中的非退化三角形作底。

V=\frac13Sd,\qquad d=\frac{3V}{S},\quad S>0.

这里 $d$ 是对应底面的垂直高，不是任意侧棱。若三个底点共线，面积 $S=0$ 且平面未被确定，公式不能使用。结果应为非负长度，有相应长度单位。

二、考点方法与例题

1. 体积和目标面积已知时，不必猜垂足

写出所用四面体的四个顶点，先用已知底面算体积，再以目标三角形作底求高。棱柱整体与其中四面体不是同一个体积。

例题 01 直三棱柱中的点面距离

如图，直三棱柱 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的体积为 $4$ ， $\triangle {A}_{1}BC$ 的面积为 $2\sqrt{2}$ ，则点 $A$ 到平面 ${A}_{1}BC$ 的距离为（）

A． $4$

B． $3\sqrt{2}$

C． $2$

D． $\sqrt{2}$

答案与解析

两种顶点顺序 $A_1-ABC$ 与 $A-A_1BC$ 指同一个四面体，顶点都是 $A,A_1,B,C$ 。

以 $ABC$ 为底， $A_1$ 到底面的高等于原棱柱高，故四面体体积为棱柱的 $1/3$ ，即 $4/3$ 。换成 $A_1BC$ 为底，顶点 $A$ 的垂直高就是所求 $d$ ，于是

\frac13(2\sqrt2)d=\frac43,\qquad d=\sqrt2.

选 D。若把整个棱柱体积 $4$ 代入四面体公式，会错得 B 的 $3\sqrt2$ ；A、C 也不保持同一四面体与对应底面积。等体积法已经确保所求为垂直高，不需要把图上某条斜棱猜成高。

2. 直接作足与换底可以互相检验

要认定 $CH$ 是点面垂线段，须同时有 $H$ 在目标面内、 $CH$ 垂直该面内两条相交线。若用换底核对，重新计算目标底面积，不把原来的高度挪给新底面。

例题 02 菱形底面的证明与距离

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为2的菱形，侧棱 $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PA=2,\angle BAD=120^{\circ}$ ．

(1)证明： $BD\perp$ 平面 $PAC$ ；

(2)求点 $C$ 到平面 $PAD$ 的距离．

答案与解析

(1) 菱形对角线 $AC\perp BD$ ；又 $PA\perp$ 底面且 $BD$ 在底面内，故 $PA\perp BD$ 。 $PA,AC$ 在面 $PAC$ 内交于 $A$ ，由相交双线判定得 $BD\perp$ 面 $PAC$ 。

(2) 等体积法。 $\angle ADC=60^\circ$ ，所以

S_{\triangle ACD}=\frac12\cdot2\cdot2\sin60^\circ=\sqrt3.

$PA=2$ 为四面体 $P-ACD$ 对底 $ACD$ 的高， $V=2\sqrt3/3$ 。换底为 $PAD$ ，该三角形在 $A$ 处直角，面积为 $PA\cdot AD/2=2$ 。同一四面体 $C-PAD$ 的体积给

\frac13\cdot2\cdot h=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad h=\sqrt3.

直接法核对。在底面过 $C$ 作 $CH\perp AD$ ， $H$ 在直线 $AD$ 上。由于 $PA\perp$ 底面，有 $CH\perp PA$ ； $PA,AD$ 在面 $PAD$ 内交于 $A$ ，故 $CH\perp$ 面 $PAD$ 。 $H\in AD\subset$ 面 $PAD$ ，这才证明 $H$ 是点面垂足。

$\angle CDA=60^\circ$ ， $DH=CD\cos60^\circ=1<DA=2$ ，本题 $H$ 确在边 $DA$ 内，且 $CH=CD\sin60^\circ=\sqrt3$ ，与换底一致。 $PA$ 是点 $P$ 到底面的距离，不是点 $C$ 到侧面 $PAD$ 的距离； $PC$ 也不是该面垂线段。

3. 先证线面平行，再挑便于作足的点

线面距离可转成线上任一点的点面距离，但前提是线面平行。投影条件提供垂直关系，不能从图形看似竖直来替代。

例题 03 中点、投影与线面间距

四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的正方形， $M$ 是 $PD$ 的中点，

(1)证明： $PB//$ 平面 $MAC$ ；

(2)若 $M$ 在底面 $ABCD$ 上的投影为底面中心，求直线 $BP$ 到平面 $MAC$ 的距离．

答案与解析

(1) 连接 $BD$ 交 $AC$ 于 $O$ ，连 $OM$ 。正方形使 $O$ 为 $BD$ 中点， $M$ 为 $PD$ 中点，所以在 $\triangle PDB$ 中， $OM\parallel PB$ 。

$OM\subset$ 面 $MAC$ 。非退化四棱锥中 $M$ 不在底面，故面 $MAC$ 与底面交于 $AC$ ； $B\notin AC$ ，从而 $B$ 不在面 $MAC$ ， $PB\not\subset$ 面 $MAC$ 。由线面平行判定， $PB\parallel$ 面 $MAC$ 。

(2) 题设给 $M$ 在底面上的正射影为中心 $O$ ，因此 $MO\perp$ 底面，进而 $BD\perp MO$ 。正方形还给 $BD\perp AC$ ； $MO,AC$ 在面 $MAC$ 内交于 $O$ ，所以 $BD\perp$ 面 $MAC$ 。

$B$ 的垂足就是 $O$ ，点面距离为 $BO$ 。由第(1)问的平行关系，直线 $BP$ 到面 $MAC$ 的距离也等于它：

d=BO=\frac12BD=\frac{3\sqrt2}{2}.

$BO$ 虽是底面对角线的一部分，但双垂线证明使它成为目标面的垂线段； $BM$ 不能替代它。第二问才给投影条件，第一问不能提前使用。

4. 公共垂线上相减，先确认足点顺序

先证两面平行并找到公共垂线。若由整条对角线扣去两端垂线段，必须证明两个垂足位于对角线内部且顺序正确，不是任何两个距离都能相减。

例题 04 正方体中两个截面的距离

正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的棱长为 $2\sqrt{3}$ ，则平面 ${A}_{1}B{C}_{1}$ 到平面 $A{D}_{1}C$ 的距离为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

设棱长 $s=2\sqrt3$ 。连接 $B_1D,B_1D_1$ 。

先证公共垂线。在顶面正方形中 $A_1C_1\perp B_1D_1$ ，且 $A_1C_1\perp DD_1$ ，所以 $A_1C_1\perp$ 面 $DD_1B_1$ ，进而 $A_1C_1\perp B_1D$ 。类似地，在侧面正方形 $ABB_1A_1$ 中 $A_1B\perp AB_1$ ，且 $A_1B\perp AD$ ，故 $A_1B\perp$ 面 $ADB_1$ ，进而 $A_1B\perp B_1D$ 。

$A_1C_1,A_1B$ 在面 $A_1BC_1$ 内相交，于是 $B_1D\perp$ 面 $A_1BC_1$ 。正方体中心对称把该面变成面 $AD_1C$ 、把直线 $B_1D$ 保持不变，所以它也垂直面 $AD_1C$ 。两面不同且垂直同一直线，故平行。

求 $B_1$ 到第一面的距离 $h$ 。四面体 $A_1-BB_1C_1$ 的三个两两垂直棱均长 $s$ ，体积为 $s^3/6$ ； $\triangle A_1BC_1$ 为边长 $s\sqrt2$ 的等边三角形，面积为 $\sqrt3s^2/2$ 。换底得

\frac{s^3}{6}=\frac13\cdot\frac{\sqrt3s^2}{2}h,\qquad h=\frac{s}{\sqrt3}=2.

中心对称给 $D$ 到第二面距离同样为 $2$ 。为严格确认足点顺序，以 $D$ 为原点、 $DA,DC,DD_1$ 为三条正交坐标轴（单位长相同），则两个截面分别为 $x+y+z=2s$ 与 $x+y+z=s$ 。体对角线上点为 $(t,t,t)$ ，从 $D$ 到 $B_1$ 有 $0\le t\le s$ ；两足分别对应 $t=s/3,2s/3$ ，确在内部且依次排列。

所以体对角线长 $s\sqrt3=6$ ，两平面间距是中间那段： $6-2-2=2$ ，选 B。A、C、D 都不是公共垂线上这两个足点的间距。