抛物线最值的可达性与参数完整值域

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界与最值要分清，代数等号还须回到几何条件；完整区间必须逐值证明可达。

一、知识点理解概念

1. 界、最值与完整值域的条件不同

最小值需要两件事：对所有合法点目标都不小于某数，并且存在合法点达到它；最大值同理。参数范围必须同时满足原曲线、直线、端点及全部几何条件。抛物线无界，不代表每个目标都无最大值，也不保证某个有限下界能达到。

未达到的界不能称最值；还须证明合法值可任意逼近它，才可称上确界或下确界，否则可能只是一个不够紧的普通界。求完整值域还要证明区间每个候选值都能取得，不能只算两端界。

2. 全曲线参数与距离平方

右开口 $y^2=2px$ 、 $p>0$ 的所有点都可写为 $(t^2/(2p),t)$ ， $t\in\mathbb R$ 。到固定点 $A=(a,b)$ 的距离平方为

f(t)=\left(\frac{t^2}{2p}-a\right)^2+(t-b)^2.

距离非负，平方根在非负数上严格递增，所以求距离最小值可先求平方的最小值，再取非负平方根。若改用横坐标 $x$ ，须保 $x\ge0$ 且 $y=\pm\sqrt{2px}$ 两分支；纵轴型交换坐标。反射两支不能随意删掉。

这个单调性只针对同一个非负距离与其平方。距离差或商必须按原目标处理，不能把各项分别求极值再随意相减、相除。

3. 焦点距离换路径，下界还要看线段次序

右开口曲线上 $P$ 到准线的垂足为 $D$ ，由定义 $PF=PD$ ，故 $AP+PF=AP+PD$ 不小于 $A$ 到准线的垂直距离。等号要求 $A,P,D$ 在同一条垂线上，且 $P$ 在闭线段 $AD$ 内，还要 $P$ 真在抛物线上；这些条件不一定同时可满足。

对 $PF+d(P,l)$ ，设 $H$ 是 $P$ 到固定线 $l$ 的垂足、 $K$ 是 $F$ 的垂足，有 $PF+PH\ge FH\ge FK$ 。等号须 $H=K$ 且 $P$ 在线段 $FK$ 内。若 $F\in l$ ，这一下界0也不能由曲线上 $P=F$ 取得，因为焦点不在真抛物线上。换焦半径必须先有曲线点；点线距去绝对值还需确认所在半平面。

4. 过定点线族的距离上界

若目标线恒过 $D$ ，固定点 $A$ 到该线的垂足为 $H$ ，则 $AH\le AD$ ，这是垂直投影不增加长度。 $A\ne D$ 时，等号要求目标线垂直 $AD$ ； $A=D$ 时所有这类距离均为0，不需定义零线段的垂直方向。

几何上可画出等号线，不代表原题允许它。仍须回代真弦 $\Delta>0$ 、不同端点、非零分母及比值/弧段限制，合法才能称最大值。

二、考点方法与例题

方法：先写合法参数函数，再决定端点开闭

由已知曲线点求固定参数；选覆盖全部位置的坐标。先列点不同、斜率存在、倒数斜率非零、真二次式与两交点等条件。
普通点距考虑平方，焦点距考虑定义换准线距；根和积可把约束转成线族关系。目标始终用原式，不拆项乱取极值。
求出界后列等号参数，回原构型检验所有条件。若不能达到，不自动叫确界，更不能写成最值。
要完整区间，任取候选目标值，反解合法参数，再证明真实构型存在；趋向值与取得值分别决定开、闭端点。

例题 01 动点到给定点的距离

已知抛物线 ${x}^{2}=2py\left( p>0\right)$ ，点 $A\left( 4,4\right)$ 在抛物线上，点 $B\left( 0,3\right)$ ，若P点是抛物线上的动点，则 $\left| PB\right|$ 的最小值为( )

A．8 B． $2\sqrt{2}$ C．9 D．3

答案与解析

选B，最小值 $2\sqrt2$ 。 $A=(4,4)$ 在 $x^2=2py$ 上，故 $16=8p$ ， $p=2$ ，曲线为 $x^2=4y$ 。设 $P=(x,y)$ ， $y\ge0$ ，则

PB^2=x^2+(y-3)^2=4y+y^2-6y+9=(y-1)^2+8\ge8.

等号 $y=1$ 满足坐标范围，实际有两点 $P=(2,1)$ 、 $P=(-2,1)$ ，都在曲线上，距离均为 $2\sqrt2$ 。所以8是距离平方的可达最小值，而非距离本身；取非负平方根选B。A的8、C的9、D的3均不是最小距离。

例题 02 由倒数斜率约束求点线距离

已知A，B，C是抛物线 ${x}^{2}=2py(p>0)$ 上的三点，且 $A(2,1)$ ，若 $\frac{1}{{k}_{AB}}+\frac{1}{{k}_{AC}}=4$ ，则点A到直线BC的距离的最大值为（）

A． $\sqrt{5}$ B． $2\sqrt{2}$ C． $\sqrt{10}$ D． $2\sqrt{3}$

答案与解析

选C，最大值 $\sqrt{10}$ 。 $A=(2,1)$ 给 $p=2$ 、 $x^2=4y$ 。设 $B=(x_1,x_1^2/4)$ 、 $C=(x_2,x_2^2/4)$ 。直线 $BC$ 要求两点不同； $AB,AC$ 的斜率及倒数存在，要求 $x_1\ne x_2$ 且 $x_i\ne2,-2$ 。其中2会与 $A$ 重合， $-2$ 会令相应斜率为0。

合法约分后 $k_{AB}=(x_1+2)/4$ ， $k_{AC}=(x_2+2)/4$ 。原条件成为

\frac4{x_1+2}+\frac4{x_2+2}=4\quad\Longrightarrow\quad x_1x_2+x_1+x_2=0.

纵轴抛物线两不同点不可能有相同横坐标，故 $BC$ 非竖直，可设 $y=kx+m$ 。联立得 $x^2-4kx-4m=0$ ，韦达给根和 $4k$ 、根积 $-4m$ ，所以 $m=k$ ，直线恒过 $D=(-1,0)$ 。于是 $d(A,BC)\le AD=\sqrt{10}$ 。

等号须 $BC\perp AD$ 。 $AD$ 斜率 $1/3$ ，取 $k=m=-3$ ，得到 $x^2+12x+12=0$ ，判别式96为正，根 $-6\pm2\sqrt6$ 不同。代 $x=2,-2$ 分别得40、 $-8$ ，均不为0，原所有分母及另点条件合法。两根的和积满足原倒数关系，这条线确与 $AD$ 垂直，所以上界真实达到。其余三项都不是此最大值。

上传KB记载原详解将判别式系数写成了14。正确是 $(-4k)^2-4(-4m)=16(k^2+m)$ ，不是 $14(k^2+m)$ ；原正负判断与最终答案不受这个正系数笔误影响，这里明确保留纠错。

例题 03 两条切线段平方倒数之和

已知抛物线 $Γ\text{：}y=\frac{1}{4}{x}^{2}$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $Γ$ 于点 $A,B$ ，分别在点 $A,B$ 处作 $Γ$ 的两条切线，两条切线交于点 $P$ ，则 $\frac{1}{{\left| PA\right|}^{2}}+\frac{1}{{\left| PB\right|}^{2}}$ 的取值范围是（）

A． $\left( 0,1\right]$ B． $\left( 0,\frac{1}{2}\right]$ C． $\left( 0,\frac{1}{4}\right]$ D． $\left( \frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]$

答案与解析

选C，值域 $(0,1/4]$ 。曲线为 $x^2=4y$ ， $F=(0,1)$ 。过 $F$ 的竖直轴线只有顶点，不能成题设弦；全部合法弦可用 $y=kx+1$ 、 $k\in\mathbb R$ 表示，保留 $k=0$ 水平通径。

联立得 $x^2-4kx-4=0$ ， $\Delta=16(k^2+1)>0$ ，故 $x_1+x_2=4k$ 、 $x_1x_2=-4$ 。原资料直线符号 $l$ 的排字载体如下，仅为字母，不含额外几何条件。

原讲义用导数 $y'=x/2$ 得两条切线；也可不预学导数，直接用已证明的曲线上点式 $x_i x=2(y+y_i)$ ，得到

y=\frac{x_i x}2-\frac{x_i^2}4,\qquad i=1,2.

两线相减再代回，交点 $P=((x_1+x_2)/2,x_1x_2/4)=(2k,-1)$ 。若端点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，则它的纵坐标为 $kt+1$ ，因此

|PT|^2=(t-2k)^2+(kt+2)^2=(1+k^2)(t^2+4)>0.

展开时两交叉项 $-4kt$ 与 $4kt$ 抵消。由根和积， $x_1^2+x_2^2=16k^2+8$ ，所以目标为

\frac{x_1^2+x_2^2+8}{(1+k^2)(x_1^2+4)(x_2^2+4)} =\frac{16k^2+16}{64(1+k^2)^2}=\frac1{4(1+k^2)}.

$k=0$ 取得 $1/4$ ，此时端点 $(\pm2,1)$ 、切线交点 $(0,-1)$ ，两距离平方都是8，确为合法构型。任意有限 $k$ 的目标都严格为正， $|k|\to\infty$ 时可趋近0却取不到0。

区间没有中间缺口。任给 $q\in(0,1/4]$ ，取 $k^2=1/(4q)-1\ge0$ ，总能选实数 $k$ ；前面的正判别式、非零切线段对全部实 $k$ 都成立，所以该 $q$ 实际可达。A、B上界过大，D漏掉实际可达的小正数并漏掉 $1/4$ ，故选C。

完整例题：路径等号与定值约分

到两固定直线的距离之和（完整四选项）：焦半径换路径后，还要把等号点放回指定线段与曲线。
相反斜率的动弦（完整两问）：两侧另点条件、非零分母和全部合法参数一起保留，不能只看约分后的常数。