“哪组更好”先说比较目标；均值、稳定性与高分比例可以支持不同方向，不能隐去取舍。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

指标对应问题，而非统一排名

关注问题	可用指标	不可越过的结论
平均水平	均值	不代表每个个体相同
常见取值	众数	不等于均值或多数人都取它
分布位置	中位数、百分位	一个位置不能概括全组分类
波动、集中	方差、标准差	小方差不保证门槛以上比例高
达到指定门槛	该组达标人数/该组人数	人数不同不能只比绝对达标数

先核单位、时期、测量标准一致。完整数据可准确描述本次成员，抽样向总体推广还需设计条件。均值相同不保证方差相同；群体均值差异不代表任意两个个体的差异，也不自动是群体身份的因果效果。

合并样本与总体估计分清权重

两组实际观测量 $m,n$ 为正整数，均值 $\mu_1,\mu_2$，合并样本均值

$$\mu=\frac{m\mu_1+n\mu_2}{m+n}.$$

这是按这次样本容量加权的准确分解。估计分层总体时须用总体各层人数占比，比例分配才使样本层比例与总体比例相同。分组中点均值自身已是估计，再向总体推广还增加抽样层面的估计条件。

合并方差保留组内、组间两项

组方差 $v_1,v_2$ 分母分别为各自人数。对第一组观测 $x$：

$$x-\mu=(x-\mu_1)+(\mu_1-\mu).$$

平方相加，交叉项 $2(\mu_1-\mu)\sum(x-\mu_1)=0$，本组平方和为 $mv_1+m(\mu_1-\mu)^2$。第二组同理，所以

$$v=\frac m{m+n}[v_1+(\mu_1-\mu)^2]+\frac n{m+n}[v_2+(\mu_2-\mu)^2].$$

均值相等时组间项0，不同则须计其非负贡献。不能只平均组内方差，也不能直接平均标准差。某组无观测时均值方差未定义，不硬套两组式。

二、考点 方法与例题

用目标解释差异

1. 明确平均水平、位置、稳定或高分率的目标。
2. 核对象与可比性，人数不同用组内比例。
3. 各指标对应具体证据，不仅列数。
4. 合并按正确人数权重，方差加组间中心距离。
5. 结论限定本次、对应指标及估计条件；方向不一致时说明取舍或不作唯一排名，不强行拼成“全面更优”。

例题 01 两组知识竞赛成绩

题目

在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：

分数	$50$	$60$	$70$	$80$	$90$	$100$
人数：甲组	$2$	$5$	$10$	$13$	$14$	$6$
人数：乙组	$4$	$4$	$16$	$2$	$12$	$12$

已经算得两个组的平均分都是$80$分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．

答案与解析

解析

每组50人，均值均80。各分数到80的平方距离为900、400、100、0、100、400，乘各自频数再加：甲平方和8600，乙12800，方差分别172和256分²。

指标	甲	乙	这次比较
均值	80	80	相同
众数	90（14人）	70（16人）	甲常见分数较高
中位数	80	80	第25、26项均80
方差	172	256	甲更集中
至少80分	$33/50=66\%$	$26/50=52\%$	甲较高
至少90分	$20/50=40\%$	$24/50=48\%$	乙较高
满分	6人	12人	乙多6人

重视集中程度及至少80分率，甲表现较好；重视至少90分或满分，则乙较好。两个方向可并存，不能由方差大小推出甲每个人都优于乙。数据覆盖本次两组参赛者，仅描述此次，不保证以后比赛或其他学科保持。

本题结论

按稳定性及至少80分率甲较好；按至少90分或满分指标乙较好，不能无条件唯一排名。

例题 02 分层运动时间的合并估计

题目

树人中学男女学生比例约为$2:3$，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生$m$人，女生$n$人进行调查.记男生样本为${x}_{1},{x}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{x}_{m}$，样本平均数、方差分别为$\overline{x},{s}_{1}^{2}$；女生样本为${y}_{1},{y}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{y}_{n}$，样本平均数、方差分别为$\overline{y},{s}_{2}^{2}$；总样本平均数、方差分别为$\overline{w},{s}^{2}$.

原资料配图

(1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；

(2)已知男生样本方差${s}_{1}^{2}=5.5$，女生样本方差${s}_{2}^{2}=5.7$，请结合（2）问的结果计算总样本方差${s}^{2}$的估计值.

答案与解析

解析

（1）男生柱高先乘组距2，女生扇形份额直接作频率：

中点（小时）	男生频率	女生频率
1	0.10	0.15
3	0.20	0.25
5	0.35	0.30
7	0.20	0.20
9	0.15	0.10

两列和均1，以题给组内均匀模型取中点加权，男生估计 $0.1+0.6+1.75+1.4+1.35=5.2$ 小时，女生估计 $0.15+0.75+1.5+1.4+0.9=4.7$ 小时，不把未知原值逐个说成中点。

（2）题给男女总体比例约2:3且采用比例分配，按这一近似比例取权重 $2/5,3/5$。总均值估计 $2(5.2)/5+3(4.7)/5=4.9$ 小时。题中“结合（2）问”按上下文指结合第（1）问。

组内方差加权为5.62，还须加中心距离项 $2(0.3)^2/5+3(-0.2)^2/5=0.06$，所以

$$\widehat{s^2}=\frac25(5.5+0.09)+\frac35(5.7+0.04)=2.236+3.444=5.68\text{小时}^2.$$

标准差估计为 $\sqrt{5.68}$ 小时，而非5.68小时。图例相邻两组都含端点的写法有重叠，实际记录恰在2、4、6、8时须约定只计一次；这里频率已给，按既定比例计算，不自行改分数据。样本群体差异不证明性别导致时长差异。

本题结论

（1）估计5.2、4.7小时；（2）总方差估计5.68小时²

三、坑点 边界与纠错

不用一个指标代替全部目标

均值、众数、分位点、方差和达标率回答不同问题。相近均值可能掩盖很大波动，小方差也不能证明门槛率更高；排名需明确目标，数据不足时保留多方向判断。

样本差异不自动产生因果结论

完整样本可精确复算，但推广总体须抽样条件，分组模型仍须保留估计。观察到群体不同不能证明身份本身导致差异，可能还有其他因素或选样过程。

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