计数对象、分类与分步

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一次选择、一个步骤和一个完整结果不是同一件事。先说清“什么算不同”，再决定分类相加、分步相乘，或从同一总范围中扣去不合要求的结果。

一、知识点概念与依据

1. 先固定一个完整结果

数一本书，是按书区分；数不同节目，是按内容区分；数四个人如何进馆，则要同时记录四个人各走哪扇门。同一节目可由多个频道播放，同一种安排也可通过不同计算顺序得到，因此过程不同不一定意味着结果不同。

把结果编码成名单、数位或指数时，要核对两向：每个合法编码产生一个合法结果；每个所求结果又能唯一还原为该编码。这样，数编码才等于数结果。仅仅证明“每个编码能得到一个结果”还不够，可能有重复，也可能漏掉无法生成的结果。

若所有结果都被覆盖，且每个结果恰有相同的 $d$ 个编码，才可用“编码数除以 $d$ ”。重复次数不一样时，不能统一除数。旋转、镜像或交换颜色是否算同一种，首先由题意决定，不能看见对称就自行合并有标签位置。

2. 分类相加：每一类都能完成整件事

有限结果集合分成 $k$ 类，若各类互不重叠且合起来覆盖全部合法结果，第 $i$ 类有 $m_i$ 个，则

N=m_1+m_2+\cdots+m_k.

可以想象把结果放入不同盒子：每个结果只进一个盒子，保证不重；每个结果都进了盒子，保证不漏。各类不必有同样多的结果，空类可以计为 $0$ 。

“按书所在层选一本”可分为来自第一、二、三层三个完整结果类。与之相反，“先从第一层取一本，再从第二层取一本”中的第一步尚未完成两本书的选择，不能把两步直接当两类相加。判断依据是完成目标，而不是孤立地找题干中的“或”“且”。

这里要求的是互斥分类，不是概率论中的独立；计数原理本身不需要给结果指定概率。

3. 分步相乘：每条前史都有规定的分支数

完成一个结果要做 $k$ 步，完整步骤记录与最终结果一一对应。若第一步有 $m_1$ 种选择，并且对每个此前的合法选择记录，第 $i$ 步都恰有 $m_i$ 种可继续选择，则

N=m_1m_2\cdots m_k.

第一步的 $m_1$ 条分支每条都延伸出 $m_2$ 条，所以两步有 $m_1m_2$ 条；继续逐层延伸即得乘积。要求的是同一步在不同前史下的候选数相同，不要求候选集合相同，更不要求概率独立。例如不放回地从四个不同物件中取两个，第一步取谁会改变第二步能取的物件，但第二步始终剩三个，故有 $4\times3$ 个有序结果。

一个有 $m$ 个固定位置的名单，每个位置均可从 $q$ 个对象中选择且可重复使用，就有 $q^m$ 种。底数来自每个位置可填什么，指数来自要填几个位置。不同人、不同信件、不同比赛、不同日期可成为名单的位置标签。

对象“不同”与对象“能否重复使用”是两件事。若题目只说每场比赛一名冠军，并未禁止一人多次夺冠，就不能擅加不得兼项的限制。某条前史无法继续时，其后续数是 $0$ ；若候选数随前史改变，应分类后在各类内部相乘。

4. 分类、分步与补集怎样配合

先确定有限总范围 $U$ ，所求结果集合为 $R\subseteq U$ 。因“符合要求”与“不符合要求”两类互斥且覆盖 $U$ ，有

\lvert R\rvert=\lvert U\rvert-\lvert U\setminus R\rvert.

总范围必须包含所有目标结果，所减部分必须恰是这个范围里的全部不合格结果，不能把两种不同口径的数量相减。

原条件	在同一总范围中的反面
至少出现一次	一次也不出现
至多出现一次	至少出现两次
不全相同	全部相同

“至多一次”本身可分为 $0$ 次和 $1$ 次；“不全相同”允许局部相同，不等于两两不同。若有某个受限对象会改变后续可选数，先按它的选择分类，各类数完整记录，最后相加。特殊对象优先是减少分支的策略，不是可以免查后续限制的定理。

二、考点方法与例题

1. 先辨认择一，再核对结果是否重复

用一句话写计数单位；为每个完整结果指定唯一类别；逐类数结果而不是到达结果的渠道。任取一个合法结果，检查它是否可能落两类，或不落任何类。

例题 01 任取一本书

题目

书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（）

A．3 B．8 C．12 D．18

答案与解析

解析

每一本书恰在一层中，从任一层取到一本已完成任务，三类互斥而且覆盖所有书。因此有 $3+3+2=8$ 种。

若计算 $3\times3\times2=18$ ，数的却是每层各取一本、共取三本的组合，已改变任务。

本题结论

选 B， $8$ 种。

例题 02 频道与节目不是同一个计数对象

题目

某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．

(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？

(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？

答案与解析

解析

（1）所有频道内容不同，频道与节目一一对应，得到 $12+10+46=68$ 个。

（2）三条转播渠道对应一个球赛节目，不能计成三个。在其余 $65$ 个节目不仅彼此不同，而且均不同于该球赛的通常题意下，得到 $68-3+1=66$ 个。

文字边界：原题只明确说其余节目“互不相同”，并没有逐字补充“均不同于该球赛”。原解取的是无额外重复的语境；若允许其余 $65$ 个中另有一个与球赛相同，就只有 $65$ 个不同节目。这里公开说明这一条件，不把额外前提悄悄当作一般规则。

本题结论

（1） $68$ 个；（2）无额外球赛转播时为 $66$ 个，否则仅凭该措辞不能唯一确定。

2. 用有名位置构造整份记录

固定人、信件或项目的记录顺序，明确每个位置可填的对象。每步只扣题目禁止的对象，检查不同合法前史下候选数是否一致；最后确认整份记录唯一确定所求结果。改变计算顺序是核对办法，不是新增一类结果。

例题 03 各人避开自己的门

题目

编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（）

A．12 B．16 C．81 D．256

答案与解析

解析

按 $1,2,3,4$ 号同学记录各走哪扇门。每人只排除自己的同号门，都有三个选择；题目没有要求不同人走不同门，因此同一门可多人使用。

四个位置填完才确定完整进入方式，故为 $3^4=81$ 。相加得到 $12$ 只是在数四个人各自的单人选择，未构造完整安排。

本题结论

选 C， $81$ 种。

例题 04 邮筒与冠军名单

题目

回答下列问题：

(1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？

(2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？

答案与解析

解析

（1）按五封不同的信固定顺序，每封记录投进哪个邮筒，各有三种选择，故 $3^5=243$ 。邮筒可空，也未限制装信数量。

（2）按三个不同比赛记录冠军姓名，各位置可填五位同学中的任一位，故 $5^3=125$ 。每场只有一个冠军不等于每人只能获一个冠军。

两个底数与指数不能互换：前者有五个位置、每位三选；后者有三个位置、每位五选。

本题结论

（1） $243$ 种；（2） $125$ 种。

例题 05 限制只作用于指定的人

题目

高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）

A．54 B．12 C．8 D．81

答案与解析

解析

甲只能报篮球或乒乓球，有两种。另按乙、丙、丁的固定顺序报名：依次有 $3,2,1$ 种。甲的选择不会影响这三人的候选数，因为原题只要求乙、丙、丁彼此不同，并未要求他们与甲不同。

所以共有 $2\times3\times2\times1=12$ 种。先安排乙、丙、丁再安排甲也得到同一批结果，不能将两种算法的数相加。

本题结论

选 B， $12$ 种。

3. 候选数会变化时，先分支再相乘

优先检查候选集较小或会占用他人选择的对象。分别试一条不同的合法前史，若下一步数量改变，就找出改变数量的条件作互斥分类。每个分支都要数到整件事完成，最后才相加。

例题 06 礼物各只有一个

题目

中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛､马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（）

A．90种 B．80种 C．60种 D．50种

答案与解析

解析

甲选牛时，乙喜欢的牛已经被取走，乙只能选狗、羊；丙可从其余十个中选，有 $2\times10=20$ 种。

甲选马时，乙喜欢的三种全在，丙同样余十种，有 $3\times10=30$ 种。

甲牛、甲马两类互斥且完整，合计 $20+30=50$ 。直接算 $2\times3\times10$ 会错误计入甲、乙同时取走唯一一只牛的记录。

本题结论

选 D， $50$ 种。

4. 用编码与补集降低自由选择的数量

先找能唯一决定结果的自由参数，证明编码无重无漏，再计数。需排除少量特殊结果时，先在相同边界内数总数；“各位不全相同”“至少含一个指定成员”常适合反向扣除。子集的选入/不选入依据可对照子集计数。

例题 07 质因数指数编码

题目

$2025$ 有（）个不同的正因数

A．8 B．10 C．12 D．15

答案与解析

解析

$2025=3^4\times5^2$ 。每个正因数可且只能写成 $3^i5^j$ ，其中 $i\in\{0,1,2,3,4\}$ ， $j\in\{0,1,2\}$ 。这些指数范围保证整除，质因数分解唯一性保证不会重复，反向也覆盖全部正因数。

因此有 $5\times3=15$ 个。 $i=j=0$ 对应因数 $1$ ，应保留；负因数不在本题范围，交换乘法书写顺序不产生新因数。

本题结论

选 D， $15$ 个。

例题 08 回文数中的不全相同

题目

“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数 ${n}^{\prime}$ 与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（）

A．900个 B．891个 C．810个 D．648个

答案与解析

解析

六位回文数唯一写成 $\overline{abccba}$ ，首位 $a$ 有 $1$ 到 $9$ 九种， $b,c$ 各可取 $0$ 到 $9$ 十种。后三位已由前三位决定，不能再自由选，故总数为 $9\times10\times10=900$ 。

全相同恰是 $a=b=c\ne0$ ，有九个，且都在这 $900$ 个中。所以所求为 $900-9=891$ 。

本题允许部分数位相同；事实上回文结构已使对称位相同。把“不全相同”改成“各位不同”会把问题彻底改变。

本题结论

选 B， $891$ 个。

例题 09 用车至多一次包含零次

题目

某单位有5位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 $0,1,2,3,5$ ，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（）

A．24 B．27 C．30 D．33

答案与解析

解析

完整方案是 $15,16,17,18$ 日各使用哪辆车。两个奇数日各可用尾数 $1,3,5$ ，有 $3\times3=9$ 种。

两个偶数日按日期记录，可用尾数 $0,2$ 。甲车（尾数 $2$ ）最多一次，合法记录只有 $(0,0),(2,0),(0,2)$ 。分别是甲零次一种、甲一次两种，因此共有 $9(1+2)=27$ 种。

也可在两偶数日的四种记录中扣除 $(2,2)$ ： $9(2^2-1)=27$ 。两种计算是核对，不把结果相加。

本题结论

选 B， $27$ 种。

三、坑点辨析与纠错

1. 同一个结果落入多个类别

常见错法：按“至少含甲”“至少含乙”分类后直接相加。既含甲又含乙的结果进入两类，导致重复。检查时主动找一个同时满足两个分类原因的结果；若存在，改为互斥分类或用补集。

“至多一次”只数恰好一次则漏掉零次。用车例题中零次不是不合法情况；其贡献必须保留。每层分类都应问“是否重复”和“是否漏掉”，不能只查其一。

辨析 01 至少一个平方数不能按原因重复相加

题目

集合 $A$ 是 $\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}$ 的子集，且 $A$ 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合 $A$ 共有 ______ 个．

答案与解析

解析

完全平方数为 $1,4,9$ 。如果把“含 $1$ ”“含 $4$ ”“含 $9$ ”的子集数直接相加，子集 $\{1,4\}$ 就被数两次。

补集法：十个成员各选或不选，共 $2^{10}$ 个子集；没有完全平方数时，只能从其余七个成员选，有 $2^7$ 个，故 $2^{10}-2^7=896$ 。

分步法：从 $B=\{1,4,9\}$ 选非空子集，有 $2^3-1$ 种；从其余七个成员组成的 $C$ 任取子集，有 $2^7$ 种。两者的并集唯一确定 $A$ ，反向由 $A\cap B,A\cap C$ 恢复，所以也得 $(2^3-1)2^7=896$ 。这里要求至少一个，不是三个都选。

本题结论

$896$ 个。

2. 不能把可选对象变化与可选数量变化混为一谈

常见错法：有前后限制就认为不能用乘法，或者反过来认定每步都可选就盲写同一因子。

无放回时候选对象会变，但剩余数量可能恒定，仍可分步相乘。礼物题则连候选数量也变化，要按甲的选择分支。下面题目要求辨认的是已经用了几种不同颜色，不是已经安排了几组。

辨析 02 无人机的同色与异色分支

题目

如图，无人机光影秀中，有 $8$ 架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出 $4$ 种不同颜色的光， $1$ 至 $5$ 号的无人机颜色必须相同， $6$ 、 $7$ 号无人机颜色必须相同， $8$ 号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这 $8$ 架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.

A． $48$ B． $12$ C． $18$ D． $36$

答案与解析

解析

把 $1$ 至 $5$ 号记作色块 $U$ ， $6,7$ 号记作色块 $V$ ， $8$ 号记作 $W$ 。选择这三个色块的颜色即可唯一确定八架飞机的发光状态。

$U$ 有四种选择；若 $V$ 与 $U$ 同色， $V$ 有一种， $W$ 排除一种颜色，余三种；若 $V$ 与 $U$ 异色， $V$ 有三种， $W$ 必须排除两种不同颜色，余两种。

所以共有 $4(1\times3+3\times2)=36$ 种。可反向核对：先给 $W$ 选四色中的一种，则 $U,V$ 各有其余三色可选，相互不要求异色，故也有 $4\times3\times3=36$ 种。

图中的连线只表示队形，题干并未规定所有连线端点异色；不要擅自添加图涂色的邻接规则。

本题结论

选 D， $36$ 种。

3. 计算顺序与概率独立都不能替代计数条件

常见错法：先安排甲与先安排乙都可行，便把两种算法的结果相加；数节目却按频道数；看到“独立”两个字就决定加乘。

错因与自查：完整记录须能唯一恢复所求对象。频道题先按内容去重，指数题靠唯一分解证明无重。若确实需要除去重复次数，应说明每个结果都被计了同样多次。既不私加旋转等价，也不把有标签的位置抹去。

加法查类别互斥与覆盖；乘法查逐条合法前史的候选数、记录的一一对应；补集查是否同一总范围。上述都是计数条件，不是概率事件独立的定义。另一个算法给出相同数值有助于核验，却不能替代这些条件的证明。