将每个变量用自己的均值和标准差标准化，再把事件放到同一条标准正态曲线上比较。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

标准化保留事件面积

$X\sim N(\mu,\sigma^2),\sigma>0$ 时，令 $Z=(X-\mu)/\sigma$，则 $Z\sim N(0,1)$。它表示离均值几个标准差，无量纲。先减均值、再除正标准差不反转不等式，记 $\Phi(t)=P(Z\le t)$，有

$$P(X\le a)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),\quad P(a<X<b)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).$$

上面的区间差公式要求 $a<b$；若 $a\ge b$，事件 $a<X<b$ 为空，概率为0，不能计算负的累计概率差。尺度说明为 $x=\mu+\sigma z$ 时横向小宽度乘 $\sigma$，密度高度除 $\sigma$，面积相抵：

$$\sigma f_X(\mu+\sigma z)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}=f_Z(z).$$

这说明分布转换，不要求计算积分。标准化不是将两个原变量设成相同，而是各自的事件转为同一标准分布下的区间。

严格递增给比较与反求的依据

标准正态密度在每个实数处为正，$t_1<t_2$ 时两累计概率之差是正宽度区间上的正面积，所以 $\Phi(t_1)<\Phi(t_2)$。故比较标准化阈值即可比较同向累计概率，$\Phi(u)=\Phi(v)$ 才能推出 $u=v$。另有 $\Phi(0)=1/2$，$\Phi(-t)=1-\Phi(t)$。

对线性变换 $Y=aX+b$，$a\ne0$ 时仍正态，均值 $a\mu+b$、方差 $a^2\sigma^2$、标准差 $|a|\sigma$。$a<0$ 转换事件须反向；$a=0$ 是常量，不适用正标准差密度。常量加到用时上只改均值、不改方差。

考点

相同累计概率先换成相同标准变量

分别标出各变量自己的参数，写标准化端点，用严格递增而非直接互换变量名称。解出标准差后核正性及原条件。

例题 01 两个正态变量的区间

题目

随机变量$ξ$服从正态分布$N\left( 1,{\sigma }^{2}\right)$，随机变量$η$服从标准正态分布$N\left( 0,1\right)$，若$P\left( η<1\right)=P\left( ξ<4\right)=a$，则$P\left( 1<ξ<1+\sigma \right)=$ ________ ．（用字母$a$表示）

答案与解析

解析

$\eta$ 是标准正态，$\xi$ 的标准化为 $Z=(\xi-1)/\sigma$。已知条件给

$$\Phi(1)=a=\Phi(3/\sigma).$$

$\Phi$ 严格递增，且 $\sigma>0$，故 $3/\sigma=1$，即 $\sigma=3$。目标区间 $(1,1+\sigma)$ 标准化为 $(0,1)$，因此概率 $a-1/2$。也可在 $\xi$ 的分布中算 $P(1<\xi<4)=a-1/2$。

不能将目标中的 $\xi$ 换成 $\eta$：$P(1<\eta<1+\sigma)$ 对应标准正态的 $(1,4)$，并非这里的 $(0,1)$。

本题结论

$a-\frac12$

准时比较先补齐所有用时

1. 明确目标为截止前到达的概率，而不是只比较平均或波动。
2. 统一时间单位，出发到截止剩 $T$ 分钟，计入所有固定步行与准备时间。
3. 对方案 $i$ 的总时间算 $z_i=(T-\mu_i)/\sigma_i$，正标准差下 $z_i$ 较大则准时概率较大，相同则概率相同。
4. 截止不同可能改变次序，每个时刻重新算。若总时间含几个随机项，不能仅凭各自正态就盲目相加方差，还需联合条件；下题只加确定步行时间。

例题 02 两种上学方式

题目

小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时$X~N(30,{6}^{2})$，骑自行车用时$Y~N(34,{2}^{2})$，则（    ）

A．$P(X\le 38)>P(Y\le 38)$ B．$P(X\le 34)>P(Y\le 34)$

C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车

答案与解析

解析

按在可用时间内到达的概率判断：

可用分钟	公交标准化端点	自行车标准化端点	更高准时率
38	$(38-30)/6=4/3$	$(38-34)/2=2$	自行车
34	$(34-30)/6=2/3$	$(34-34)/2=0$	公交

同一个严格递增 $\Phi$ 下比较端点，A、C在38分钟处错误，B在34分钟处正确，D错误，选B。公交均值更小或自行车方差更小都不能独自决定每种截止时间的选择。

本题结论

B

例题 03 上班路线与出发时刻

题目

王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布$N\left( 38,{7}^{2}\right)$，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布$N\left( 44,{2}^{2}\right)$，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个

①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到

②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大

③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大

④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到

参考数据：若$Z~N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$，则$P\left( \left| Z-\mu \right|<\sigma \right)\approx 0.6826$，$P\left( \left| Z-\mu \right|<2\sigma \right)\approx 0.9544$，$P\left( \left| Z-\mu \right|<3\sigma \right)\approx 0.9974$

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

私家车总用时 $C=Z_{\text{车}}+6\sim N(44,7^2)$；地铁需前后各步行5分钟，总用时 $M=Z_{\text{铁}}+10\sim N(54,2^2)$。不能漏任何一段步行。

说法	剩余分钟 $T$	车、地铁的标准化端点	判断
①7:00出门	60	车为 $16/7$	有限阈值仍有迟到尾，不能保证不会
②7:02出门	58	都为2	准时率相同，约0.9772
③7:06出门	54	车 $10/7$、地铁0	车更易准时，而非地铁
④7:12出门	48	地铁为 $-3$	准时率约 $(1-0.9974)/2=0.0013$

所以只有④按小概率“几乎不可能”的口径成立，共1个，选A。①实际迟到事件为车程 $Z_{\text{车}}>54$；车程至少59分钟只是更小的迟到子事件，其概率约0.0013，能说明仍有迟到可能，但不是实际全部迟到概率。④的0.0013也不是0。

正态允许负耗时，实际不允许，说明这是题给近似模型；这种近似不将任何有限截止的模型尾概率自动改成0。

本题结论

A

坑点

三倍标准差不是绝对边界

正态两尾面积为正，$\mu\pm3\sigma$ 内约0.9973，外约0.0027。高概率“几乎”不能变成必然，误差控制要求越界概率足够小，不是等于0。一次概率也不保证1000次恰有某个次数越界。不同题给0.9973或0.9974等精度，沿用该题数据，不混算。

别拿方差作除数

分母是正标准差，不是方差；每个变量用自己的参数。相同概率可给标准化端点相同，不给两个原变量相同。比较前也不能漏固定时间：漏掉6分钟或10分钟会改变截止的全部事件。

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