平均数、中位数和众数回答不同问题。先辨指标，再把它还原为总和、有序位置或逐值频数。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

三个中心各按什么定义

非空数值数据 $x_1,\ldots,x_n$，$n$ 为正整数。升序后以 $x_{(j)}$ 表示排序第 $j$ 项。

指标	计算与依据	适用与注意
平均数	$\bar x=(x_1+\cdots+x_n)/n$，总和平均分给 $n$ 项	等权、可相加数值；使用全部值，极端值影响明显
中位数	奇数取第 $(n+1)/2$ 项，偶数取第 $n/2$ 与 $n/2+1$ 项均值	排序中心，对少量极端值通常较稳定
众数	逐值数出现次数，取最高频数对应的值	说明常见值，可用于类别；并列须全列

三者对数值数据的单位与原数据相同。平均数、偶数项中位数未必实际出现，众数一定来自实际值，不能把众数写成出现次数。若所有值各出现一次，通常说没有突出代表性的众数；若按最大频数字面定义则全体并列，按题目或教材约定。不能给无数值意义的类别求平均。

中位数两侧应说“不大于它”和“不小于它”的项各至少一半；重复值可在两侧都计入，不要求严格小于、大于的项数各恰一半。总和、位置和频数不同，三个中心不必相等。

精确频数平均与样本估计

值 $v_j$ 真正出现 $c_j$ 次，贡献总量 $v_jc_j$，故

$$\bar x=\frac{\sum_jv_jc_j}{n}=\sum_jv_jf_j,\quad f_j=\frac{c_j}{n},\quad \sum_jc_j=n.$$

这里必须是实际值的精确频数，不能把组中点代入后宣称是真实原始数据均值。分组表只给区间时只能按附加约定估计。样本均值描述这批样本；用它估计总体还须说明抽样方式与代表性，不意味着恰等总体均值。

二、考点 方法与例题

含参数数据的五步检查

1. 数容量，已知均值先写总和 $n\bar x$，扣除已知项求未知项或其和。
2. 只求未知项的和就不必逐个求它们；换成子集后重新算总和与容量。
3. 参数确定后重新排序；若参数仍影响顺序，应按它所处区间分类，不能假设题面原次序有序。
4. 众数条件靠频数变化反求，核并列最高频数是否出现。
5. 参数代回全部条件，检查总和、容量、位置、频数及年龄成绩等实际取值范围。

例题 01 十五项数据的众数与中位数

题目

数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ）

A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86

答案与解析

解析

升序为 $78,79,81,81,82,84,85,85,86,86,86,87,88,90,93$。第 $(15+1)/2=8$ 项是85，故中位数85。86出现3次，81和85各2次，其余各1次，故众数86，选C。

A互换两者，B把居中85误当频数最大值，D把最常见86当中间项。无须先求平均数，数次数和查第8项各自完成。

本题结论

C

例题 02 评分中的未知数据

题目

某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为87，87，89，m，90，若这组数据的平均数为88，则这组数据的中位数为（   ）

A．88 B．87 C．89 D．90

答案与解析

解析

均值给总和 $5\times88=440$，已知项和 $87+87+89+90=353$，所以 $m=87$。排序五项为 $87,87,87,89,90$，中间第3项87，选B。

A的88只是均值；C取排序第4项89，D取最大90。题面原第三项89不是有序第三项。代回总和440无误。

本题结论

B

例题 03 选取部分数据后的新平均数

题目

数据$2,11,{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}$的平均数为5，则$2{x}_{1}+1,2{x}_{2}+1,2{x}_{3}+1$的平均数为（ ）

A．15 B．13 C．11 D．9

答案与解析

解析

五项总和 $5\times5=25$，故未知三项总和 $x_1+x_2+x_3=25-2-11=12$。新三项总和 $2\times12+3=27$，平均数 $27/3=9$，选D。

A的15、B的13均不等于新总和27除以3；C的11直接用 $2\times5+1$，误将五项均值当作所保留三项均值。后三项原均值是4，不是5；新总和也不可再除以旧容量5。

本题结论

D

三、坑点 边界与纠错

换数据集不能只改分母

从五项变三项，参与总和也变。均值条件只约束总和，不强制中位数等于它；中位数要排序，众数要逐值计数，并列不可擅删。

完整值与区间信息分开

原始值或逐值频数能给精确统计量，分组中点只能作估计。统计量不同不等于有一个算错，应分别核总和、位置、频数及数据口径。

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