空间直角坐标：定位、位移与对称

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先核正交和共同单位，再用垂足与中点解释坐标变化。

一、知识点理解概念

1. 直角坐标系需要正交与共同单位

选原点 $O$ 和三个两两垂直、模都为 $1$ 的基向量 $\vec i,\vec j,\vec k$ ，以它们为轴正方向，三轴采用同一长度单位，就建立空间直角坐标系。点 $A(x,y,z)$ 表示

\vec{OA}=x\vec i+y\vec j+z\vec k.

坐标是有向分量，可以为负，不是三个非负距离。右手规则是常用定向约定；长度、数量积等公式依赖正交和共同单位，不依赖用左手还是右手朝向画图。

三个不共面方向使位置表示唯一；正交时，过 $A$ 向 $Oxy$ 面作垂足 $H$ ，再过 $H$ 向 $x$ 轴作垂足 $X$ ，折线 $O\to X\to H\to A$ 分别沿三轴方向，有向长度就是三个坐标。它们是正交投影分量，不是斜线截距。

2. 点坐标是位置，向量坐标是位移

点在 $Oxy$ 面内当且仅当 $z=0$ ；在 $x$ 轴上当且仅当 $y=z=0$ ；原点三坐标均为零。其余坐标面、轴同理。

若 $A=(x_1,y_1,z_1),B=(x_2,y_2,z_2)$ ，由 $\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{OB}$ ，得

\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1).

只有 $A=O$ 时， $\vec{AB}$ 的坐标才与点 $B$ 的坐标一致。只平移原点而保持轴方向及单位，两点位置坐标会一起改变，但终点减起点的位移差不变。中点坐标是两端平均；分点坐标应由明确比例的向量式求出。

3. 投影归零，对称变号，依据是垂足与中点

$P=(x,y,z)$ 投影到 $Oxy$ 面为 $(x,y,0)$ ；关于该面对称为 $(x,y,-z)$ 。前者去掉法向分量，后者使垂足 $(x,y,0)$ 成为两点的中点。

投影到 $x$ 轴为 $(x,0,0)$ 。关于 $x$ 轴对称（绕该轴旋转半周）时，轴上垂足为两点中点，所以另外两个分量同时反向，得到 $(x,-y,-z)$ 。关于原点对称则三个分量全变号，得 $(-x,-y,-z)$ 。其余轴、面按相同理由处理。

点到坐标面的距离为相应坐标的绝对值，例如到 $Oxy$ 面距离为 $|z|$ ，不能写负距离。

二、考点方法与例题

1. 已知起点和位移，先把位置加回来

求点 $B$ 用 $\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB}$ ；求向量用终点减起点。算完以三个分量差回代，不把点与向量当同一对象。

例题 01 由起点与位移求终点

已知点 $A(3,-1,0)$ ，若向量 $\vec{AB}=(2,5,-3)$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A． $(5,4,-3)$ B． $(1,-6,3)$ C． $(-1,6,-3)$ D． $(2,5,-3)$

答案与解析

设 $B=(x,y,z)$ ，则 $\vec{AB}=(x-3,y+1,z)$ ，与 $(2,5,-3)$ 比较得 $x=5,y=4,z=-3$ 。所以 $B=(5,4,-3)$ ，选 A。

也可直接相加 $(3,-1,0)+(2,5,-3)=(5,4,-3)$ 。B 选项是起点减去位移，方向用反；C 不满足三个分量差；D 直接把位移当点坐标，漏了起点 $A$ 。

2. 对称先找不动的垂足或中心

关于面的反射只翻法向分量；关于轴的半周对称翻另外两个分量；关于原点三个都翻。先说明垂足或中心为中点，再写坐标，不凭变号数量猜测。

例题 02 关于坐标面的对称点

在空间直角坐标系中，点 $A\left( -1,2,3\right)$ 关于平面 $xOy$ 对称点的坐标为（）

A． $\left( 1,2,3\right)$ B． $\left( -1,-2,3\right)$ C． $\left( -1,2,-3\right)$ D． $\left( 1,-2,-3\right)$

答案与解析

面 $xOy$ 为 $z=0$ 。 $A$ 的垂足是 $(-1,2,0)$ ，对称点应与 $A$ 在同一垂线上、位于垂足两侧等距，所以 $x,y$ 不变， $z$ 从 $3$ 变为 $-3$ ，得 $(-1,2,-3)$ ，选 C。

A 只翻 $x$ ，表示关于 $yOz$ 面；B 只翻 $y$ ，表示关于 $xOz$ 面；D 的 $(1,-2,-3)$ 把 $A$ 的三个坐标分量全部变号，是关于原点对称，不是关于 $y$ 轴。关于 $y$ 轴应为 $(1,2,-3)$ ，并不在这道题的四选项中。上传资料的补充讲解曾把 D 误说成关于 $y$ 轴的对称，这里明确更正为关于原点。

例题 03 关于坐标轴的对称点

在空间直角坐标系中有一点 $P\left( 2024, 2025, 2026\right)$ ，则该点关于 $x$ 轴对称点 ${P}^{\prime}$ 的坐标为（）

A． $\left( 2024,-2025,-2026\right)$ B． $\left( -2024,2025,2026\right)$

C． $\left( -2024,-2025,-2026\right)$ D． $\left( -2024,-2025,2026\right)$

答案与解析

$P$ 到 $x$ 轴垂足为 $M=(2024,0,0)$ 。轴对称使 $M$ 成为 $P,P'$ 的中点，故

P'=2M-P=(2024,-2025,-2026).

选 A。B 只翻 $x$ ，是关于 $yOz$ 面；C 全翻，是关于原点；D 翻 $x,y$ 而保留 $z$ ，是关于 $z$ 轴。空间的轴是直线，垂直该轴的两个分量都要反向。

3. 几何体建系先证三轴正交，再逐点定位

选便于定位的原点与三条同起点正交方向，用同一实际单位。点先按边长、中点等条件定位，再取向量差；需要度量时才使用正交坐标三项乘积和。不同棱长不能各自改成 $1$ 后继续套通常度量公式。

例题 04 正方体中的建系与数量积

如图，在棱长为2的正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中，E是棱 ${A}_{1}{D}_{1}$ 的中点，则 $\vec{E{B}_{1}}\cdot \vec{EB}=$ （）

A．4 B．5 C．6 D． $4\sqrt{2}$

答案与解析

以 $A$ 为原点， $AB,AD,AA_1$ 为三轴正方向，共同单位长度为 $1$ 。正方体同顶点三棱两两垂直，故这是直角坐标系；棱长是 $2$ ，不能把每条棱的坐标自动设成 $1$ 。

于是 $B=(2,0,0),A_1=(0,0,2),D_1=(0,2,2),B_1=(2,0,2)$ 。 $E$ 为 $A_1D_1$ 中点， $E=(0,1,2)$ 。终点减起点，得

\vec{EB_1}=(2,-1,0),\qquad \vec{EB}=(2,-1,-2).

两向量分别在三条单位正交方向展开，交叉数量积为零、同轴为一，所以

\vec{EB_1}\cdot\vec{EB}=2\cdot2+(-1)(-1)+0\cdot(-2)=5,

选 B，其他三项均不等于此和。

原折线路径的完整核对。由上底面的平移关系， $\vec{A_1B_1}=\vec{AB}$ ，故

\vec{EB_1}=\vec{EA_1}+\vec{AB},\qquad \vec{EB}=\vec{EA_1}-\vec{AA_1}+\vec{AB}.

$EA_1$ 沿上底面的一条棱方向， $AA_1$ 竖直， $AB$ 沿另一条棱方向，三方向两两垂直； $|\vec{EA_1}|=1,|\vec{AB}|=2$ 。展开两式数量积，所有不同方向的交叉项都为零，所以同样得 $1^2+2^2=5$ 。

上传知识资料记录原解把 $\vec{EB}$ 的竖直项误写成正号；正确的是以下折线： $\vec{EB}=\vec{EA_1}+\vec{A_1A}+\vec{AB}=\vec{EA_1}-\vec{AA_1}+\vec{AB}$ ，这里竖直项必须为负。若写成 $+\vec{AA_1}$ ，所得向量并非 $\vec{EB}$ 。本题 $\vec{EB_1}$ 的竖直分量恰为零，这个正负错误对最终数量积无影响，仍会碰巧得到 $5$ ；答案恰对不意味着中间向量等式成立。