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外观

三列相关系数：界与可达性（拓展）

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同一批对象的三列数据共享配对。先从标准化序列求界，再证明所问最大值确能达到。

知识点

共用对象与标准化

设同一批对象三列 x,y,zx,y,z 各非恒定，已知 rxy=p,ryz=qr_{xy}=p,r_{yz}=q。各列减自己的均值，再除以自己的偏差平方和平方根，得到零和、平方和1的序列 X,Y,ZX,Y,Z。记 X⋅Y=∑XiYiX\cdot Y=\sum X_iY_i，∥X∥2=∑Xi2\|X\|^2=\sum X_i^2，则

X⋅Y=p,Y⋅Z=q,rxz=X⋅Z.X\cdot Y=p,\quad Y\cdot Z=q,\quad r_{xz}=X\cdot Z.

以下有限序列投影论证属于拓展，可用于本题。三组若来自不同对象，不能共用这个序列关系。

扣共同方向，再界定余项

设 U=X−pY,V=Z−qYU=X-pY,V=Z-qY。由 Y⋅Y=1Y\cdot Y=1，U⋅Y=V⋅Y=0U\cdot Y=V\cdot Y=0。展开得

∥U∥2=1−p2,∥V∥2=1−q2,X⋅Z=pq+U⋅V.\|U\|^2=1-p^2,\quad \|V\|^2=1-q^2,\quad X\cdot Z=pq+U\cdot V.

若 ∥V∥2=0\|V\|^2=0，VV 全为0，积和为0；否则对 ∑(Ui−tVi)2≥0\sum(U_i-tV_i)^2\ge0 取 t=(U⋅V)/∥V∥2t=(U\cdot V)/\|V\|^2，得到

(U⋅V)2≤∥U∥2∥V∥2.(U\cdot V)^2\le\|U\|^2\|V\|^2.

所以

pq−(1−p2)(1−q2)≤rxz≤pq+(1−p2)(1−q2).pq-\sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\le r_{xz}\le pq+\sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}.

不是简单相乘 pqpq，还有共享方向以外的余项。

上下界与能取到分开

情形需要检查
求上端非零余项同向，且零和序列空间有可用垂直方向
求下端非零余项反向，同样核可构造
pp 或 qq 等于正负1一项余项为0，范围收缩为 pqpq
只有两位对象零和空间一维，合法非恒定列彼此系数仅正负1，不能任取 p,qp,q
数据另限整数或指定范围须重新核构造是否满足，不仅代公式

一般高维夹角不只两种可能。即使已求到上界，没有可达构造仍不能直接叫最大值。

考点

六步求界与最大值

共同配对与非恒定检查 → 各列中心化标准化 → 扣共同方向 → 用余项平方和界 → 代值求界 → 构造符合全部条件的数据实现端点。

例题 01 三科成绩的相关系数

题目

研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为1213\frac{12}{13}，y，z的样本相关系数为45\frac{4}{5}，则x、z的样本相关系数的最大值为（    ）

附：相关系数r=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2r=\frac{\sum _{i=1}^{n} ({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {({x}_{i}-\overline{x})}^{2}\sum _{i=1}^{n} {({y}_{i}-\overline{y})}^{2}}}

A．4865\frac{48}{65} B．6365\frac{63}{65} C．6465\frac{64}{65} D．1

答案与解析

解析

同一50人，三列按人配对。按前述标准化，p=12/13,q=4/5p=12/13,q=4/5，余项长度平方分别 25/169,9/2525/169,9/25。所以

pq=48/65,(1−p2)(1−q2)=15/65,pq=48/65,\quad \sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}=15/65,

得到 33/65≤rxz≤63/6533/65\le r_{xz}\le63/65。还须证上端可取。

在50项序列中，取

Y=(1,−1,0,0,…,0)/2,W=(1,1,−2,0,…,0)/6.Y=(1,-1,0,0,\ldots,0)/\sqrt2,\qquad W=(1,1,-2,0,\ldots,0)/\sqrt6.

两序列都零和、平方和1、积和0，前三项以外47项全0。令

X=1213Y+513W,Z=45Y+35W.X=\frac{12}{13}Y+\frac5{13}W,\qquad Z=\frac45Y+\frac35W.

三列均零和且平方和1，因而非恒定。X⋅Y=12/13,Y⋅Z=4/5X\cdot Y=12/13,Y\cdot Z=4/5，

X⋅Z=4865+1565=6365.X\cdot Z=\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=\frac{63}{65}.

故确可达，最大值63/65，选B。若成绩需非负有限范围，可各列作足够平移和正缩放，不改变相关系数；题目未额外要求整数成绩，不擅自增加此限制。

将 ZZ 中 WW 的系数改为 −3/5-3/5 可达33/65。50项零和空间还有其他垂直方向，余项方向可以连续变化，所以两端不是仅有的夹角可能性；用夹角方式解释时，最大值对应 cos⁡(β−α)\cos(\beta-\alpha)，cos⁡α=12/13,cos⁡β=4/5\cos\alpha=12/13,\cos\beta=4/5，但不能声称夹角只可能为差或和。

本题结论

B（63/65，已给可达构造）

坑点

有上界还不够

别只乘两个系数、把高维夹角限定两种，或把上界直接叫最大值。共同配对、合法非恒定、样本维数和额外数据限制都要参与可达性检查。