椭圆上的距离最值与线性量范围

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先证明界，再构造合法等号点；缩放、配方与平行切线法都要保留原允许域。

一、知识点理解概念

1. 界、达到与确界要分清

最值证明既要说明全部合法点受某界约束，又要找到实际允许点达到。删点、限弧、两端点不同或非退化要求都可能排除等号点。界未取得不能叫最值；还须证明允许值可任意逼近它，才可称上、下确界，否则只是普通界，需重新优化。

距离非负，比较距离可等价比较距离平方；有向线性量或有向面积不能无条件平方保序。

2. 缩放椭圆得到线性量完整范围

横焦轴真椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ， $a>b>0$ ，设 $x=a\xi,y=b\eta$ ，则 $\xi^2+\eta^2=1$ 。对 $L=ux+vy$ ，有

[(au)^2+(bv)^2](\xi^2+\eta^2)-(au\xi+bv\eta)^2=(au\eta-bv\xi)^2\ge0.

记 $R=\sqrt{(au)^2+(bv)^2}$ 。若 $(u,v)\ne(0,0)$ ， $R>0$ ，取点 $(a^2u/R,b^2v/R)$ ，代回椭圆为 $1$ ，且 $L=R$ ；相反点给 $-R$ 。单位圆旋转坐标可写 $L=R\cos\theta$ ，故整个 $[-R,R]$ 均可达。若 $u=v=0$ ，则 $L\equiv0$ ，不除以 $R$ 。纵焦轴交换坐标和相应分母。

3. 点到无限直线的距离范围

对 $ux+vy+w=0$ ， $u^2+v^2>0$ ，距离 $d=|L+w|/\sqrt{u^2+v^2}$ 。由线性量完整范围得

d_{\min}=\frac{\max(0,|w|-R)}{\sqrt{u^2+v^2}},\qquad d_{\max}=\frac{|w|+R}{\sqrt{u^2+v^2}}.

$|w|\le R$ 时 $L=-w$ 可取，最小距离零； $|w|>R$ 时近侧端点给最小，远侧给最大。水平竖直线都包含。这里是到无限直线，不是到该线上的有限线段。

4. 轴上定点距是有区间约束的二次式

对 $Q(t,0)$ ，消去 $y^2=b^2(1-x^2/a^2)$ ，有

PQ^2=\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2-2tx+t^2+b^2,\qquad x\in[-a,a].

二次项正。配方顶点在允许区间内才能取下界；在区间外比较端点，最大值也比较端点。得到 $x$ 后代回曲线核实纵坐标。焦点可用焦半径 $a\pm ex$ ，非焦点不可擅用。

二、考点方法与例题

1. 合法域先行，按目标选方法

先列正且不等分母、原参数范围、两不同根、斜率存在、图形非退化及严格边界。线性式用缩放与平方恒等式，轴上点距用消元配方，焦点距离用定义。每条界保等号条件，坐标或参数回代后才说能取到。

从离心率求参数，先定 $a^2,b^2,c^2$ ，在正分母下用 $e^2=c^2/a^2$ 并与合法域相交。完整原四选项例见离心率条件下的参数范围。

2. 配方后核实等号点

配方得到下界，坐标范围与实纵坐标决定这个界是否真能达到。

例题 01 椭圆点到轴上定点的距离

椭圆 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$ 上任一点P到点 $Q(1,0)$ 的距离的最小值为（）

A． $\sqrt{3}$ B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C．2 D． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

答案与解析

设 $P(x,y)$ ， $x\in[-3,3]$ ， $y^2=5-5x^2/9$ ，则

PQ^2=(x-1)^2+y^2=\frac49x^2-2x+6=\frac49\left(x-\frac94\right)^2+\frac{15}{4}.

等号 $x=9/4$ 在区间内，回代 $y^2=35/16>0$ ，两点 $(9/4,\pm\sqrt{35}/4)$ 都实际达到。距离非负，故最小值 $\sqrt{15}/2$ ，选 B。A、D 平方为 $3,20/9$ ，低于下界；C 的距离 $2$ 虽在 $(3,0)$ 取得，但不是最小。

3. 平行切线分近侧与远侧

线性量范围能直接处理绝对值；用平行切线时也须比较近远，并核切点。

例题 02 椭圆与给定直线的最短距离

椭圆 $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$ 上的点到直线l： $x-2y-12=0$ 距离的最小值为（）

A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ D． $\frac{16\sqrt{5}}{5}$

答案与解析

令 $L=x-2y$ ，缩放 $x=4\xi,y=2\sqrt3\eta$ ， $\xi^2+\eta^2=1$ ，得 $L=4\xi-4\sqrt3\eta\in[-8,8]$ 。点 $(2,-3)$ 实际在椭圆上并给 $L=8$ 。

原直线为 $L=12$ ，恒在全部允许 $L$ 之上，所以距离为 $(12-L)/\sqrt5$ ，最小值 $4/\sqrt5=4\sqrt5/5$ ，选 B。A 低于下界，C、D 大于已取得的最小值。

保留原平行切线法：设 $x-2y+m=0$ ，代 $x=2y-m$ 到椭圆得

16y^2-12my+3m^2-48=0.

相切判别式为 $3072-48m^2=0$ ，得 $m=\pm8$ 。 $m=-8$ 对应近侧 $L=8$ ，距原线 $4/\sqrt5$ ； $m=8$ 对应远侧 $L=-8$ ，距原线 $20/\sqrt5$ 。不能任取切线，近侧点 $(2,-3)$ 的可达性已回核。