先列真实约束，再比较完整统计量；人数问题还须把阈值与频数整数条件同时满足。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

固定哪些量，决定怎样比较

“固定边际”有时只固定部分行列合计，不能自行补成全部固定。四边际及 $n$ 都固定时，比较 $\chi^2$ 可化为比较 $(ad-bc)^2$；若部分边际随参数变化，则分母必须保留。

条件	可用方法	不能省的检查
$n$ 与四边际均固定且正	比较积差平方	四格非负、整数
仅部分边际或格固定	先消元，再代完整闭式	其余边际会变
固定各格比例，整体扩大人数	$\chi^2$ 按人数同比例变化	比例须对应整数人数

所有格乘正数 $t$，总量乘 $t$、积差平方乘 $t^4$、分母乘 $t^4$，故新统计量为原来的 $t$ 倍。用于人数时还需各格为整数。相同比例差不因扩样变大，只是统计证据可能更强；若两组比例相同，$ad=bc$，无论扩多少倍仍为0。

比例约束与人数参数

先以比例分母的公倍数设每组人数，再用正整数参数表示四格及总量。解阈值不等式时只乘除已知正量；得到实数下界后筛整数参数，再换回题问的男生人数、每组人数或总样本量。

不能先对人数随意向上取整而破坏比例。须在满足比例整除要求的整数中选取，不只对实数界向上取整。不同题的参数字母不一定表示总样本量，应先重新定义。

考点

从约束到候选的流程

1. 写固定格、边际及各比例，标明参数含义和合法范围。
2. 完整列四格、四边际、总量，确认非负整数与正边际。
3. 代卡方闭式化简，不只看频数差；有限候选可逐一精确计算。
4. 按题给水平比较阈值，再筛整数与原候选。边界等号依题给拒绝规则处理。
5. 结论说“给定条件下的统计证据”，不说关联的后验概率、因果或效应随样本量变大。

例题 01 四个受限列联表的比较

题目

假设有两个分类变量$X$和$Y$的$2\times 2$列联表如下：注：${K}^{2}$的观测值$k=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=n(\frac{a}{a+c}-\frac{b}{b+d})(\frac{a}{a+b}-\frac{c}{c+d})$.对于同一样本，以下数据能说明$X$和$Y$有关系的可能性最大的一组是（ ）

$y$ $x$	${y}_{1}$	${y}_{2}$	总计
${x}_{1}$	a	10	a+10
${x}_{2}$	c	30	$c+30$
总计	$60$	$40$	$100$

A．$a=45,c=15$ B．$a=40,c=20$

C．$a=35,c=25$ D．$a=30,c=30$

答案与解析

解析

由题得 $b=10,d=30,a+c=60,n=100$，所以 $c=60-a$。可行范围是整数 $0\le a\le60$，行总 $a+10,90-a$ 都正，但并非固定。

$$k(a)=\frac{100(30a-10(60-a))^2}{(a+10)(90-a)60\cdot40}=\frac{100(40a-600)^2}{2400(a+10)(90-a)}.$$

选项	$a,c$	$\chi^2$	近似值
A	$45,15$	$800/33$	24.2424
B	$40,20$	$50/3$	16.6667
C	$35,25$	$3200/297$	10.7744
D	$30,30$	$25/4$	6.25

A最大，故按题意选A。这里比较同一样本容量与题给约束下偏离独立的证据，不是计算“有关的可能性”。

原解用“$a,c$ 相差越大”解释答案，不能将它推广成一般规律，因为分母也在变，积差还含 $b,d$。甚至在同一约束下，$a=0,c=60$ 与 $a=60,c=0$ 有相同 $|a-c|=60$，卡方值分别 $50/3$ 与 $450/7$，并不相等。

题中两个比例差的乘积式确实成立：

$$\frac a{a+c}-\frac b{b+d}=\frac{ad-bc}{(a+c)(b+d)},\qquad \frac a{a+b}-\frac c{c+d}=\frac{ad-bc}{(a+b)(c+d)}.$$

两差同号，乘积产生平方；不能随意只比较其中一个差。

本题结论

A

例题 02 冰雪运动调查的人数

题目

针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的$\frac{5}{6}$，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的$\frac{2}{3}$，若有$90\%$的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（    ）

附：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$n=a+b+c+d$.

$\alpha =P\left( {χ}^{2}\ge k\right)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

A．54 B．48 C．42 D．36

答案与解析

解析

设男生、女生各 $6m$ 人，$m$ 为正整数，总量 $12m$。用不同于总量的参数避免混淆。

	男生	女生	合计
喜欢	$5m$	$4m$	$9m$
不喜欢	$m$	$2m$	$3m$
合计	$6m$	$6m$	$12m$

$$\chi^2=\frac{12m(5m\cdot2m-4m\cdot m)^2}{6m\cdot6m\cdot9m\cdot3m}=\frac{432m^5}{972m^4}=\frac{4m}{9}.$$

按题内“90%把握”对应 $\alpha=0.1$ 的约定，$4m/9\ge2.706$，故 $m\ge6.0885$。最小整数 $m=7$，最小男生人数42。

54、48、42分别对应 $m=9,8,7$，满足要求；36对应 $m=6$，卡方值 $8/3<2.706$，故不可能的是D。若先得每组人数 $\ge36.531$，仍须取6的倍数，不能取37。样本量增加并没有改变两组偏好比例差 $5/6-2/3=1/6$。

本题结论

D

例题 03 甜食偏好调查的人数

题目

为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的$\frac{2}{5}$，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的$\frac{4}{5}$，若有$99\%$的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（    ）

参考公式及数据：${K}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{\left( a+b\right)\left( c+d\right)\left( a+c\right)\left( b+d\right)}$，其中$n=a+b+c+d$.

附：

$P\left( {K}^{2}\ge {k}_{0}\right)$	0.05	0.010
${k}_{0}$	3.841	6.635

A．7 B．11 C．15 D．20

答案与解析

解析

设男生、女生各 $5m$ 人，$m$ 为正整数。

	男生	女生	合计
喜欢	$2m$	$4m$	$6m$
不喜欢	$3m$	$m$	$4m$
合计	$5m$	$5m$	$10m$

积差 $2m\cdot m-4m\cdot3m=-10m^2$，平方后 $100m^4$，

$$\chi^2=\frac{10m\cdot100m^4}{6m\cdot4m\cdot5m\cdot5m}=\frac{5m}{3}.$$

按题给0.01档及常用 $\ge$ 规则，$5m/3\ge6.635$，即 $m\ge3.981$，最小整数4，男生最少20人。

7、11不是5的倍数，不满足频数整数条件；15对应 $m=3$，卡方值5不足；20对应 $m=4$，$20/3>6.635$，D可行。

原解写严格不等式 $5m/3>6.635$，得每组人数 $>19.905$；本题候选没有恰好等于阈值者，答案仍为D，但不可把严格号推广到其他题。调查背景不构成肥胖或甜食的因果、健康结论。

本题结论

D

坑点

频数差与证据不是同一个量

原解的某个候选答案正确，不代表其中的泛化推理成立。固定了列和不等于固定了行和，比较时先看完整分母；不同样本容量也不能直接用卡方值解释效应大小。

阈值满足后还没结束

人数须使所有比例频数为整数，再区分所求是一组还是总量。拒绝边界、正参数条件与整数筛选三个环节都不能省。

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