按同一对象保留坐标，先读图与表，再用中心化积和核实线性方向。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

散点保留每一对观测

横轴 $x$、纵轴 $y$，将 $n$ 对 $(x_i,y_i)$ 分别画点。先看轴、刻度、单位、观察范围与配对，再看点群方向、形状、散布和异常点，不单独排序两列。不同屏幕尺度下“带宽”不可直接比强弱，必要时中心化并标准化。

整体形态	可作的定性判断	限制
向右上方	整体正趋势	允许局部下降，不必正比例
向右下方	整体负趋势	可能围绕下降曲线，不必强线性
围绕直线	线性形状	强弱需看规范化尺度或计算
先降后升	全范围非同一方向，可能曲线关联	不凭外观宣布 $r=0$
未显明显结构	图示未提供明显趋势	不证明总体无关系或独立

无精确坐标时不编 $r$ 数值，曲线关系可能很清楚而线性相关弱。

中心化积和与线性方向

上升带中，同一对象的两个数常同时高于或低于各自均值，偏差乘积多为正；下降带中常一正一负，乘积多为负。精确计算

$$S_{xy}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y).$$

两列均不恒定时，$r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$ 分母正，所以积和正、负、零分别对应正、负、零样本线性相关。零积和不排除曲线结构，肉眼只是入口，不能用两个端点替代所有观测。

趋势、单调、正比例分开核

• 正负相关：同一对象的点群整体上升或下降，局部反向可存在。
• 逐点单调：按 $x$ 排列后，每一步都不下降或不增加，是更强的样本性质。
• 正比例：存在一个常数 $k\ne0$，使所有 $y_i=kx_i$，直线过原点；若本题两个量均为正，则 $k>0$。核非零 $x_i$ 对应比值时还须处理 $x_i=0$ 要求 $y_i=0$，不能盲除。

考点

由表到图再到精确符号

1. 按对象配对，读坐标轴，不能把各列分别重排。
2. 看全点群的趋势与形状，保留局部反向，不改数使其单调。
3. 不明显或需精确时，分别算均值、同对象偏差乘积与总和；核两列非恒定后判断符号。
4. 若问正比例，另查同一比值及零输入分支，不以整体方向代替。

例题 01 五幅散点图的方向

题目

下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）

原题图image9

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

①围绕下降直线；②沿下降曲线，总体也随 $x$ 增大而减小。因此负相关图为①②，共2幅，选B。

③整体右上；④先降后升的U形，不能用同一个全范围正负趋势概括，但有非线性结构；⑤未显明显趋势。②非线性不阻止本题定性说负相关。④坐标未知不能断言 $r$ 恰为0，⑤未显趋势也不证明总体独立。

本题结论

B（2幅）

例题 02 生产线与产量

题目

为制定某种产品的生产计划，某工厂统计得到生产线条数与该种产品产量的数据如下表：

$$\begin{array}{c|ccccc} \text{生产线条数}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \text{产量}y & 21 & 39 & 64 & 87 & 104 \end{array}$$

则下列说法正确的是（    ）

A．$y$与$x$负相关 B．$y$与$x$正相关

C．$y$与$x$不相关 D．$y$与$x$成正比例关系

答案与解析

解析

五对是 $(1,21),(2,39),(3,64),(4,87),(5,104)$，本样本随生产线条数增加产量都增，所以B正确。均值 $\bar x=3,\bar y=63$，

$$S_{xy}=(-2)(-42)+(-1)(-24)+0(1)+1(24)+2(41)=214>0.$$

两列非恒定，$r>0$，A、C不成立。五个比值依次21、19.5、$64/3$、21.75、20.8，不相同，所以D正比例不成立。

这五点逐步上升是此样本事实，不是一般正相关的必要条件，也不说明产量只由生产线数决定。

本题结论

B

例题 03 两组成对数据的方向

题目

根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ）

$$\begin{array}{c|cccccc} X & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ Y & 5 & 4.8 & 3.5 & 4 & 3 & 2 \end{array}$$

$$\begin{array}{c|ccccc} M & 2 & 4 & 6 & 7 & 9 \\ N & 3 & 4 & 9 & 7 & 11 \end{array}$$

A．$X$和$Y$呈正相关，$M$和$N$呈正相关

B．$X$和$Y$呈负相关，$M$和$N$呈负相关

C．$X$和$Y$呈正相关，$M$和$N$呈负相关

D．$X$和$Y$呈负相关，$M$和$N$呈正相关

答案与解析

解析

第一组均值 $\bar X=7.5,\bar Y=223/60$，第二组均值 $\bar M=28/5,\bar N=34/5$。保留各自配对，分别中心化：

$$S_{XY}=-199/20<0,\qquad S_{MN}=168/5>0.$$

两组各列都非恒定，因此第一组负线性相关，第二组正线性相关，选D。

但第一组 $X:7\to8$ 时 $Y:3.5\to4$ 局部上升；第二组 $M:6\to7$ 时 $N:9\to7$ 局部下降。只能说整体下降或上升，不能说每一步均反向或同向，局部反向也不否定全体积和的符号。

本题结论

D

坑点

任何一对点都不能代表全体

不拿局部上升下降、是否过原点、屏幕带宽或两个端点单独判断全体。局部反向如实保留，再算完整中心化积和。整体趋势、逐点单调和正比例分别满足不同条件；同涨同落不保证确定函数或因果。

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