归纳不等式与数列：衔接中间界，筛选合法下一项

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归纳假设可能给旧表达式的界，也可能只给前和的值。必须从这些已知内容推出真正下一目标，不能暗中加强假设或预设新增项。

一、知识点概念与依据

1. 不等式的中间界，还要接到目标

假设给的是L(k)与R(k)的大小关系，而非精确相等。新表达式是和就加对应增量，是积就乘新因子；得到L(k+1)的中间界B之后，仍须比较B与真正的R(k+1)。

推理环节	需要确认
乘或除新因子	正数保持方向，负数反向，0需单列
比较平方或取根	两边非负，根式有定义
使用弱或强假设	与正在证明的命题一致
获得严格结论	指出哪一步真正严格

基例来自实际整数范围。若想证明更强命题，先明确声明，再把加强后的基例、假设、递推全部完成，不从弱假设直接跳成强假设。

2. 通项猜想须连同递推合法性一起证明

用必要的前几项形成猜想，再把它写成P(n)。任取k代入原递推前，核分母非零、根式定义域、符号和整数条件；求出的候选公式不自动保证递推永远有定义。

完成基例与任意递推后，回代首项和原关系检验全体条件。有限数据是猜想或算术检查，不替代全体证明。

3. 假设只给前和，就把新增项作为未知量

若只知Sₖ的假设值，令x=aₖ₊₁=Sₖ₊₁−Sₖ，再用Sₖ₊₁=Sₖ+x把原关系变成x的方程。不能先写x等于期望答案。

若方程有多个根，全部列出，再用原正性、递增或其它限制筛选。正整数项保证Sₖ₊₁>Sₖ，既是方程选根依据，也是下一对象继续合法的条件。

二、考点方法与例题

1. 指数递推后的剩余比较

使用旧不等式后，另算中间界与下一目标之差。说明它在任意合法k范围内为正，而不是仅核一个数。

例题 01 指定整数范围的指数不等式

题目

用数学归纳法证明：对任意的正整数 $n>4,{2}^{n}>{n}^{2}$ ．

答案与解析

解析

n>4且n为整数，起点为5。2⁵=32>25=5²，基例成立。

任取整数k≥5，假设2ᵏ>k²。乘正数2得到2ᵏ⁺¹>2k²，而

2k^2-(k+1)^2=(k-1)^2-2\ge16-2=14>0.

所以2ᵏ⁺¹>2k²>(k+1)²，完成下一命题。由起点与任意递推，对全部正整数n>4结论成立；只核5、6不能替代这一步。

本题结论

对所有正整数 $n>4$ ， $2^n>n^2$ 。

2. 弱假设可以配合严格中间比较

按题目的非严格号假设旧积，不擅自加强；新因子为正，乘后仍是非严格界。若中间界严格超过下一目标，就可完成原命题。

例题 02 正因子连乘的不等式

题目

证明∶不等式 $\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}\times \frac{7}{6}\times \cdot \cdot \cdot \times \frac{2n+1}{2n}\ge \sqrt{n+1}$ 成立.

答案与解析

解析

以正整数n为范围，记左边乘积为Uₙ。起点n=1时U₁=3/2，两边非负且9/4>2，所以U₁≥√2，基例成立。

任取k≥1，按原命题只假设Uₖ≥√(k+1)。新增因子(2k+3)/(2k+2)>0，故

U_{k+1}=U_k\frac{2k+3}{2k+2}\ge\sqrt{k+1}\frac{2k+3}{2k+2}=B.

B为正，且

B^2=\frac{(2k+3)^2}{4(k+1)}=k+2+\frac1{4(k+1)}>k+2.

取非负平方根，B>√(k+2)，所以Uₖ₊₁≥B>√(k+2)，原弱命题得到证明。由基例与任意递推，所有正整数n均成立。

这里没有把原假设“≥”悄悄换成“>”；严格性来自最后的正分数。也可以另行声明并证明整个加强命题，但其基例和递推必须一并完成。

本题结论

对所有正整数 $n$ ，所给乘积 $\ge\sqrt{n+1}$ 。

3. 有理递推的分母随假设一起核

猜想后对任意k进行符号化代入，先确认下一项存在，再算其值。分母合法性不能用最初几项非零代替。

例题 03 由有理递推猜想通项并证明

题目

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{1}=0$ 且 ${a}_{n+1}=\frac{1}{2-{a}_{n}}$ .

(1)求数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的第2，3，4项；

(2)根据（1）的计算结果，猜想数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明.

答案与解析

解析

（1）a₂=1/(2−0)=1/2，a₃=1/(2−1/2)=2/3，a₄=1/(2−2/3)=3/4，各分母均非零。

（2）猜想aₙ=(n−1)/n。n=1时给0，符合首项。任取k≥1，假设aₖ=(k−1)/k，则

2-a_k=2-\frac{k-1}{k}=\frac{k+1}{k}>0,

所以递推合法，且

a_{k+1}=\frac1{2-a_k}=\frac{k}{k+1}=\frac{(k+1)-1}{k+1}.

这里将aₖ的假设值代入分母，正是实际使用归纳假设。于是通项对全部正整数成立，并且0≤aₙ<1，每一步分母都正。首项与原递推回代也均吻合；前几项只用于猜想，不是全体结论的证据。

本题结论

（1） $a_2=1/2,a_3=2/3,a_4=3/4$ ；（2） $a_n=(n-1)/n$ 。

4. 前和方程用实际新增量选根

每次新增量必须符合原项的正性或整数要求。算出前几项后，以任意k的前和为旧部分，解出合法的下一项，不能把另一个代数根无理由略掉。

例题 04 由前和关系猜想并证明公式

题目

设数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且 ${a}_{1}=1$ ．记 ${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{a}_{n}$ ．如果对于所有的正整数 $n$ 均有 ${S}_{n+1}+{S}_{n}={\left( {S}_{n+1}-{S}_{n}\right)}^{2}$ ．