定价与收入不等式

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把价格与销量写成同一变量的函数，收入条件才成为可解的不等式。解出的数学区间还须经过实际范围与离散条件的筛选。

一、知识点概念与依据

1. 收入、利润与经营条件分开

所求量	基本关系	成本如何使用
收入、营业额	单价乘售出数量	不自行扣除成本；成本可能只限制最低价
利润	收入减成本	各项须统一为同一经营时段的总量

每天销量乘单价得到每天收入，不能与整月固定支出直接相减。

实际建模的一般顺序见变量与可行域。选变量时同时写明含义、单位与限制：

变量	含义与单位	必查限制
$p$	最终售价，元/件	最低价、成本底线、调价方向、销量非负及容量
$t$	调价档数，档	每档金额、是否规定整数、允许档数范围
$x$	降价成数，成	降价给 $x\ge0$ ；成数不自动要求整数

2. 固定调价幅度对应固定销量变化

基准价格 $p_0$ 、销量 $q_0$ ，每涨价 $k>0$ 元少卖 $d$ 件，题设线性模型为

q(p)=q_0-d\frac{p-p_0}{k}.

这里 $(p-p_0)/k$ 是调价档数，不能漏除 $k$ 。降价时若每降 $k$ 元多卖 $d$ 件，则 $q=q_0+d(p_0-p)/k$ 。方向由本题给定，不能把这种关系当作所有市场都成立的规律。

收入 $R=pq(p)$ 是两个一次因子的乘积，展开须保留两个交叉项。若用档数 $t$ ，价格也须写成 $p_0+kt$ 或 $p_0-kt$ ，不可只把销量改成 $t$ 的函数而仍用旧价。

3. “成”以原值为基准

一成是原量的 $1/10$ 。价格降低 $x$ 成，剩余比例为 $1-x/10$ ；销量增加 $cx$ 成，倍率是 $1+cx/10$ ，不是 $1+cx$ 。两者都以各自原价格、原销量为基准。

降价给 $x\ge0$ ；“售价不低于成本”给另一个非严格上界。题中未要求成数为整数，就不能自行删除半成等值。反过来，明确规定整数调价档数时，就必须筛整数而不是把连续区间原样作答。

4. 不等号、取交和可达端点

“至少”“不低于”允许等号，“超过”不允许。二次不等式先求完整实数解集，再与价格底线、调价方向、非负销量、容量等实际条件取交。若变量离散，随后筛选合法格点并换回所问量。

对负数除法会改变不等号方向。找最低售价还要检查左端确实属于可行集；只有下界却不取到，不能说有最低值。最后回代价格、数量与收入，核对单位。文字与原答案端点口径矛盾时，应明确分别说明，不悄悄改题。

二、考点方法与例题

1. 降价求最低售价

把降价额与最终售价分清，按基准数据写销量。求出收入区间后，与降价允许范围相交；若选项有多个达标价格，还要比较是否最低。

例题 01 达标不等于最低

题目

某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（）

A．25元 B．20元 C．10元 D．5元

答案与解析

解析

设售价 $p$ 元，降价模型范围 $0<p\le30$ ，销量 $q=25+5(30-p)=175-5p>0$ 。要求

p(175-5p)\ge1250\iff p^2-35p+250\le0\iff(p-10)(p-25)\le0.

中间除以负数 $-5$ 时反向，得到 $p\in[10,25]$ ，已经包含在实际范围内。左端10可取，故最低售价10元。

四项回代：25元、20元、10元、5元分别销量50、75、125、150株，收入1250、1500、1250、750元。A、B达标但不最低；C达标且最低；D不达标。

本题结论

最低售价10元，选C。

2. 实数区间筛整数档数

用题目规定的调价档数建模。先求实数不等式，再与原档数范围取交，最后只保留整数；不要对区间端点随意四舍五入。筛出的档数还不是最终报价。

河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高 $10x$ 元（ $1\le x\le 10$ ， $x\in Z$ ），则被租出的客房会减少 $15x$ 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）

A．250元 B．260元 C．270元 D．280元

答案与解析

解析

保留 $1\le x\le10$ 、 $x\in\mathbb Z$ 。价格 $200+10x$ 元，租出 $500-15x$ 间，收入

R=(200+10x)(500-15x)=100000+2000x-150x^2.

$R>106600$ 等价于 $3x^2-40x+132<0$ ，即 $(x-6)(3x-22)<0$ ，得 $6<x<22/3$ 。其中唯一合法整数是7，换回价格270元，租出395间，收入106650元，确实超过106600元且不超容量。

A、B、D分别对应档数5、6、8，收入106250、106600、106400元，都失败。特别是B的等号被“超过”排除。不能把实数价格区间作为本题答案，也不能把“7档”写成“7元”。

本题结论

定价270元，选C。

3. 按成数调价并守成本底线

分别写价格与数量的倍率。成本限制用于确定变量范围，营业额仍是价格乘销量。两问中同一模型的定义域不能在第二问丢掉。

例题 03 营业额不扣成本，但价格受成本限制

题目

某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成 $=10\%$ ），售出商品的数量就增加 $\frac{8}{5}x$ 成，要求售价不能低于成本价．

(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；

(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．

答案与解析

解析

（1）降 $x$ 成后单价 $100(1-x/10)=10(10-x)$ ；数量增 $(8/5)x$ 成，增幅 $4x/25$ ，销量 $100(1+4x/25)=4(25+4x)$ 。营业额

y=40(10-x)(25+4x)=10000+600x-160x^2.

降价要求 $x\ge0$ ，单价不低于80元给 $100-10x\ge80$ ，故 $0\le x\le2$ 。

（2） $y\ge10260$ 等价于 $8x^2-30x+13\le0$ ，因式分解为 $(2x-1)(4x-13)\le0$ ，代数解 $[1/2,13/4]$ 。与模型域 $[0,2]$ 取交，得到 $[1/2,2]$ 。

$x=1/2$ 时价格95元、销量108件，收入恰10260元； $x=2$ 时售价恰80元、销量132件，收入10560元。两端均合格。 $13/4$ 虽是代数上界却低于成本价，不能保留；题目也没规定 $x$ 整数。

本题结论

（1） $y=40(10-x)(25+4x)$ ， $x\in[0,2]$ ；（2） $x\in[1/2,2]$ 。

三、坑点辨析与纠错

1. 数学区间不是经营方案

漏取交会保留低于底线、超过容量或负销量的值。漏筛整数则会给不允许的调价档数。应检查整数档数例题与成本限制例题的每一步，不能用“合理就行”代替明确约束。

2. 原文字与原答案的端点口径不同

“以上”通常允许等号，不能未经说明改成严格超过。“每提高1元”描述价格与销量之间的变化规律，不等于要求售价必须提高；具体端点是否保留，应检查最低售价、销量和收入条件。遇到题干与原答案边界不一致，分清两种口径并分别回验。

辨析 01 “以上”与严格超过不能静默互换

题目

某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价 $x$ （单位：元）的取值范围是（）

A． $\left( 10,20\right)$ B． $\left[ 15,20\right)$ C． $\left( 16,20\right)$ D． $\left[ 15,25\right)$

答案与解析

解析

“每提高1元”只描述变化率，不要求必须涨价，所以最低售价可以取。最低售价给 $p\ge15$ ，销量 $q=30-2(p-15)=60-2p$ 非负给 $p\le30$ 。收入为 $p(60-2p)$ ，不是利润。

沿原解析的严格口径： $R>400\iff p^2-30p+200<0\iff10<p<20$ 。取交 $[15,30]$ 得 $[15,20)$ ，对应B。A包含低于最低价的值；C漏了15至16；D多了不达标区间。

若依文字把“400元以上”理解为 $R\ge400$ ，则得到 $[15,20]$ ，原四项没有完全相符的选项。边界回代：15元时销量30、收入450；20元时销量20、收入恰400。差别只在20，但它决定闭开。题目未要求整数调价，不能另添整数条件替它消除歧义。

本题结论

原解采用严格超过时选B；按不低于400元解释则为 $[15,20]$ ，选项存在缺口。